美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育中的“數(shù)學(xué)交流”-

1、美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育中的“數(shù)學(xué)交流”山西師范大學(xué) 李 祎一 美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的“數(shù)學(xué)交流”1989 年全美數(shù)學(xué)教師理事會發(fā)表了 美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn) ( 以下簡稱 課程標(biāo)準(zhǔn)) , 明確地把 “數(shù)學(xué)交流”列為課程的 5 個總目標(biāo)之一。在他們看來, 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于應(yīng)用, 而應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程即是數(shù)學(xué)交流的過程。 課程標(biāo)準(zhǔn)在論述數(shù)學(xué)交流時指出: “發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力最佳途徑是通過問題情境, 使學(xué)生有機會閱讀、寫作和討論思想, 從而自然地應(yīng)用數(shù)學(xué)語言?！?1 為了達(dá)成這一目標(biāo), 課程標(biāo)準(zhǔn)詳細(xì)制定了幼兒園4 年級、58 年級、912 年級各學(xué)段有關(guān)數(shù)學(xué)交流的具體要求。譬如: 對于 58年

2、級的要求是: 用口頭、書面的語言及具體的圖畫、圖表和代數(shù)的方法模擬情景; 反映并理清對數(shù)學(xué)思想和情景的認(rèn)識; 發(fā)展對數(shù)學(xué)思想的一般理解, 包括定義的作用; 運用讀、聽和觀察的技能來評估數(shù)學(xué)思想; 討論數(shù)學(xué)思想, 進行推斷、澄清疑問; 欣賞數(shù)學(xué)符號的價值及其在數(shù)學(xué)思想發(fā)展中的作用。 2000 年頒布的 美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn) ( 以下簡稱 原則與標(biāo)準(zhǔn)), 是對 課程標(biāo)準(zhǔn)的進一步發(fā)展。 原則與標(biāo)準(zhǔn)共列 10 條標(biāo)準(zhǔn), 前 5 條涉及的是數(shù)學(xué)內(nèi)容, 包括數(shù)與運算、代數(shù)、幾何、度量、數(shù)據(jù)分析與概率; 后 5 條涉及的是過程, 包括問題解決、推理與證明、交流、關(guān)聯(lián)、表征。前者具體指明了學(xué)生應(yīng)當(dāng)知道

3、什么, 后者則明確了實現(xiàn)上述目標(biāo)的具體途徑。 原則與標(biāo)準(zhǔn)對 “數(shù)學(xué)交流”給予了特別的關(guān)注。首先在 “總標(biāo)準(zhǔn)”中論述了 “數(shù)學(xué)交流”的重點和主要觀點, 概括討論了如何在 4 個學(xué)段發(fā)展和具體實現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流, 特別指出從學(xué)前期到十二年級的數(shù)學(xué)教 育 在 “數(shù) 學(xué) 交 流 ” 方 面 應(yīng) 達(dá) 到 的 共 同 要 求 , 即 :“通過交流組織和鞏固他們的數(shù)學(xué)思維”, 使之能 “清楚連貫地與同伴、教師或其他人交流他們的數(shù)學(xué)思維”“分析和評價他人的數(shù)學(xué)思維和策略” “用數(shù)學(xué)語言精確地表達(dá)數(shù)學(xué)觀點” 2。以 “總標(biāo)準(zhǔn)”為依據(jù), 原則與標(biāo)準(zhǔn)分別對 4 個學(xué)段學(xué)前期2 年級、35年級、68 年級、912 年

4、級, 結(jié)合豐富的實例具體描述了數(shù)學(xué)交流的 “理想狀態(tài)”以及教師在其中應(yīng)發(fā)揮的作用。從課程的總目的看, 數(shù)學(xué)交流事實上包括了兩個方面: 通過交流學(xué)習(xí)數(shù)學(xué); 學(xué)會數(shù)學(xué)地交流。從交流的方式看, 數(shù)學(xué)交流包括聽、說、讀、寫 4 種基本形式。從交流的內(nèi)容看, 數(shù)學(xué)交流既關(guān)涉知識形態(tài)的交流, 也關(guān)涉情感形態(tài)的交流。從交流的主體看, 數(shù)學(xué)交流包括師生交流、生生交流、生本交流以及自我交流等。 二 美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育中 “數(shù)學(xué)交流”的特點仔細(xì)分析 原則與標(biāo)準(zhǔn), 不難發(fā)現(xiàn), 美國數(shù)學(xué)教育中的 “數(shù)學(xué)交流”呈現(xiàn)以下一些特點。1 強調(diào)數(shù)學(xué)交流在數(shù)學(xué)理解中的作用美國的數(shù)學(xué)教育之所以如此重視數(shù)學(xué)交流, 原因就在于其充分認(rèn)識

5、了數(shù)學(xué)交流在促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解方面的重要作用。首先, 通過數(shù)學(xué)交流的驅(qū)動力作用,學(xué)生可以在非正式的、直覺的觀念與抽象的數(shù)學(xué)語言之間建立起聯(lián)系, 從而加深對數(shù)學(xué)概念的理解。對此,原則與標(biāo)準(zhǔn)通過許多實例給予了解釋和說明。其次, 數(shù)學(xué)交流可以使學(xué)生對自己的數(shù)學(xué)思想進行組織和澄清。組織和澄清的過程也是一個反思的過程, 它有利于 “反思、精煉、討論和修正數(shù)學(xué)觀點, 也有助于理解觀點的意義” 2。最后, 數(shù)學(xué)交流可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有可見性。在此基礎(chǔ)上, 教師通過調(diào)整、理順、激活學(xué)生的思維, 使學(xué)生間的思維差異得到補救,從而達(dá)到促進深層理解、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的。同時,對他人思維策略的考察也有助于學(xué)生學(xué)會批

6、判性的思維。也就是說, “從多種角度探討數(shù)學(xué)思想的交談, 有助于參與者改進他們的思路并做出有機的聯(lián)系。參與為自己的解答過程辯護的討論, 特別在答案不一致的情況下, 學(xué)生說服持不同觀點的同伴的同時, 也加深了自己對數(shù)學(xué)的理解” 2。 2 注重 “數(shù)學(xué)寫作”的交流形式美國的數(shù)學(xué)教育特別重視 “數(shù)學(xué)寫作”這種交流形式。 “數(shù)學(xué)寫作”不是對數(shù)學(xué)知識與解題過程進行簡單的書面表達(dá), 它具有明顯的反思特征。學(xué)生進行數(shù)學(xué)寫作的過程, 也是對數(shù)學(xué)知識進行整理和再認(rèn)識的過程。這一過程可以使學(xué)生的思維變得清晰, 也能使教師詳細(xì)地了解學(xué)生的思維過程。正如 原則與標(biāo)準(zhǔn)所表明的: “數(shù)學(xué)中的寫作能幫助學(xué)生鞏固他們的思維,

7、 因為這需要他們對解答過程的反思和搞清楚在課堂上形成的對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識。以后他們也許發(fā)現(xiàn)重讀自己思維過程的書面記錄是有幫助的。” 2 數(shù)學(xué)寫作的形式多種多樣。例如: 讓學(xué)生對他們在一堂課或幾堂課中所學(xué)到的知識和還不明了的內(nèi)容寫出評論; 為了清楚地解釋他們的想法, 學(xué)生可以給更年輕的學(xué)生寫一封信, 解釋一個較難的概念。 2 “數(shù)學(xué)日記”是許多美國教師常用的一種數(shù)學(xué)寫作方式。 “數(shù)學(xué)日記”的內(nèi)容和操作方式非常靈活。例如: 美國教師 C.斯圖亞特 (Carolyn Stewart)將 “數(shù)學(xué)日記”的寫作安排在課堂上進行, 其內(nèi)容包括以下 3 個方面, 但每次只進行其中一個方面的活動: 1)數(shù)學(xué)概念和

8、計算推理程序。比如: 在講完有理數(shù)的減法后, 讓學(xué)生在 “數(shù)學(xué)日記”中表述一下自己對 “減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”這個運算的理解并舉例說明。2) 對教學(xué)過程和方式的評價。允許學(xué)生對課程內(nèi)容、課堂講授方式以及課外活動、作業(yè)、考試等各類問題發(fā)表意見。3) 自由發(fā)表意見。學(xué)生可以自由地表達(dá)自己關(guān)心的或者渴望傾訴的問題, 其中包括自己的成就、失望以及學(xué)習(xí)中存在的問題, 等等。 3 3 注重數(shù)學(xué)交流的評價課程標(biāo)準(zhǔn)中的 “評價標(biāo)準(zhǔn)”部分專門列有一節(jié)(標(biāo)準(zhǔn) 6) 論述數(shù)學(xué)交流的評價。該部分指出: 評價學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力, 應(yīng)提供證據(jù)表明學(xué)生能夠 “通過口頭表達(dá)、書寫、證明和形象描述的方式來表達(dá)數(shù)學(xué)思

9、想;理解、表述和評論通過文字、口頭或圖像形式表達(dá)的數(shù)學(xué)思想; 使用數(shù)學(xué)詞匯、記號和語法來表達(dá)思想, 描述關(guān)系, 建立模型” 1。在此基礎(chǔ)上, 課程標(biāo)準(zhǔn)具體闡述了幼兒園-4 年級、5-8 年級、9-12 年級數(shù)學(xué)交流評價的要求和方式。 原則與標(biāo)準(zhǔn)是在 課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上修訂而成的, 它雖然沒有明確地提出數(shù)學(xué)交流的評價問題, 但處處體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)交流評價的重視。4 強調(diào)教師在數(shù)學(xué)交流中的重要作用原則與標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)交流的闡述均從兩個方面進行, 即: 學(xué)生的數(shù)學(xué)交流應(yīng)該是什么樣的? 教師在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)交流中應(yīng)扮演什么樣的角色? 后一部分詳細(xì)論述了教師在數(shù)學(xué)交流中的重要地位及其應(yīng)發(fā)揮的主要作用。概括而言,

10、主要包括 3 個方面: 第一, 建立課堂上支持全體學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)共同體。為此, “教師需要創(chuàng)設(shè)一種相互信任、相互尊重的氣氛, 這一氣氛的取得可以通過在學(xué)生本人和同學(xué)們?yōu)樗麄兊臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)而承擔(dān)責(zé)任時給予支持?！?2 第二, 選擇和使用能出現(xiàn)有意義的交流的數(shù)學(xué)活動。為此, 教師在設(shè)計數(shù)學(xué)活動時, 應(yīng)使其與重要的數(shù)學(xué)概念有關(guān), 有不同的解題方法。同時, 教師要允許多種不同方法表征的存在, 給學(xué)生以解釋、提供依據(jù)和做出猜想等的時間。第三, 教師對課堂討論的指導(dǎo)應(yīng)建立在對學(xué)生學(xué)習(xí)觀察的基礎(chǔ)上。 “教師必須幫助學(xué)生理清他們的論述, 把注意力集中在問題的條件及其數(shù)學(xué)意義上, 并且提煉他們的思想?！?2 三 對

11、我國數(shù)學(xué)教育改革的啟示1 應(yīng)進一步加強數(shù)學(xué)交流在課程與教學(xué)中的地位近年來, 我國數(shù)學(xué)教育理論界逐步認(rèn)識到 “數(shù)學(xué)交流”的重要價值。教育部 2001 年頒布的 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 實驗稿) 中提到: “數(shù)學(xué)同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段” 4;“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶, 動手實踐、自主探索與合作交流也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式” 4。這里需要指出的是, 數(shù)學(xué)交流是數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)的一個環(huán)節(jié), 不等同于數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)。合作學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征在于 “分工”與 “協(xié)作”, 其目標(biāo)不僅在于使學(xué)生獲得更多、更深刻的數(shù)學(xué)知識, 還在于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與合作能力。而數(shù)學(xué)交流的

12、實質(zhì)是信息溝通、思想共享和意義生成, 其根本作用在于促進學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知與數(shù)學(xué)理解。但不少研究者包括 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都將二者混為一談, 籠統(tǒng)、含混地稱為 “合作交流”。在教學(xué)實踐中, 人們也往往將數(shù)學(xué)合作與數(shù)學(xué)交流等同起來。其實, 這是一個認(rèn)識上的失誤與觀念上的誤區(qū)。2003 年出臺的 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) ( 實驗) 也強調(diào)要 “提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力” 5。但從總體上看, 我國的 “數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”對數(shù)學(xué)交流的重視程度仍然不夠, 對數(shù)學(xué)交流的作用缺乏深入細(xì)致的分析,對數(shù)學(xué)交流的具體實施形式以及評價等相關(guān)問題則幾乎沒有涉及。 2 教學(xué)中實施數(shù)學(xué)交流應(yīng)注意的兩個問題(1) 應(yīng)以數(shù)學(xué)理解和認(rèn)知

13、發(fā)展作為數(shù)學(xué)交流的根本目的息的傳輸和編碼為基礎(chǔ), 根據(jù)已有的信息建構(gòu)內(nèi)部心理表征, 進而獲得心理意義的過程。數(shù)學(xué)交流的實質(zhì)是信息的溝通和意義的生成。美國的學(xué)校數(shù)學(xué)教育之所以如此重視數(shù)學(xué)交流, 原因就在于他們認(rèn)識到了數(shù)學(xué)交流在形成個人深刻理解方面的重要作用。我國目前課堂教學(xué)中比較多的是表層的數(shù)學(xué)交流。這種徒具形式而無實質(zhì)內(nèi)容的交流, 不能促進學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展。事實上,數(shù)學(xué)交流只有建立在個人深入思考的基礎(chǔ)上, 并以促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和認(rèn)知發(fā)展作為根本目的, 才能起到其應(yīng)有的作用。所以, 教師在教學(xué)中一定要著眼于學(xué)生深層次的理解和認(rèn)知, 并通過數(shù)學(xué)交流內(nèi)容和方式的科學(xué)選擇和設(shè)計, 真正促進學(xué)生思維的發(fā)展。(2) 應(yīng)注重自我交流在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用所謂 “自我交流”, 就是學(xué)習(xí)者對自身學(xué)習(xí)活