常微分方程試題庫

1、常微分方程一、填空題1 .微分方程(曳)n曳y2x20的階數是dxdx答：12 .若M(x,y)和N(x,y)在矩形區(qū)域R內是(x,y)的連續(xù)函數，且有連續(xù)的一階偏導數，則3)方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只與y有關的積分因子的充要條件是(y)3 .稱為齊次方程.答：形如曳g(2)的方程dxx4 .如果f(x,y)M,dyf(x,y)存在dx唯一的解y(x)，定義于區(qū)間xxh上,連續(xù)且滿足初始條件y(x)，其中答：在R上連續(xù)且關于y滿足利普希茲條件b、hmin(a,)m5 .對于任意的(x,y1)，(x,y2)R(R為某一矩形區(qū)域)，若存在常數N(N0)使則稱f(x,y)在R上關于y

2、滿足利普希茲條件.答：f(x,y1)f(x,y2)Ny1y26 .方程曳x2y2定義在矩形區(qū)域R:2x2,2y2上，則經過點(0,0)的解的dx存在區(qū)間是由11答：-x-447 .若x)(i1,2,.n)是齊次線性方程的n個解，w(t)為其伏朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程答：wa1(t)w08 .若x(t)(i1,2,.n)為齊次線性方程的一個基本解組，X(t)為非齊次線性方程的一個特解,則非齊次線性方程的所有解可表為n答：xcixixi19 .若(X)為畢卡逼近序列n(x)的極限，則有(X)n(x)答：金心(n1)!10 .稱為黎卡提方程，若它有一個特解y(x),則經過變換,可化為

3、伯努利方程.答：形如dyp(x)y2q(x)yr(x)的方程yzydx11 .一個不可延展解的存在區(qū)間一定是區(qū)間.答：開12 .方程dy61滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是.dx答：D(x,y)R2y0,(或不含x軸的上半平面)13 .方程曳x2siny的所有常數解是.dx答：yk,k0,1,2,14 .函數組i(X),2(x),n(x)在區(qū)間I上線性無關的條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不包等于零.答：充分15 .二階線性齊次微分方程的兩個解y1(x),y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是.答：線性無關(或：它們的朗斯基行列式不等于零)16 .方程y2yy0的基本解組是xxe,xe1

4、7 .若y(x)在(,)上連續(xù)，則方程曳(x)y的任一非零解與dxx軸相交.答：不能18 .在方程yp(x)yq(x)y0中，如果p(x),4屋)在(,)上連續(xù)，那么它的任一非零解在xoy平面上與x軸相切.答：不能19 .若yi(x),y2(x)是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們共同零點.答：沒有20 .方程曳小y2的常數解是.dx答：y121 .向量函數組Y(x),Y2(x),Yn(x)在其定義區(qū)間I上線性相關的條件是它們的朗斯基行列式W(x)0,xI.答：必要22 .方程型x2y2滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是.dx答：xoy平面23 .方程x(y21)dxy(x21)dy0所有

5、常數解是.答：y1,x124 .方程y4y0的基本解組是.答：sin2x,cos2x25 .一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.答：2二、單項選擇題1 .n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是(A)個.(A) n(B) n-1(C) n+1(D) n+22 .如果f(x,y),f(X，y)都在xoy平面上連續(xù)，那么方程？f(x,y)的任一解的存在ydx區(qū)間(D).(A)必為(，)(B)必為(0,)(C)必為(，0)(D)將因解而定13 .方程在x3y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是(D).dx(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面4 .一階線

6、性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差(C).(A)不是其對應齊次微分方程組的解(B)是非齊次微分方程組的解(C)是其對應齊次微分方程組的解(D)是非齊次微分方程組的通解5 .方程以vly2過點(一,1)共有(dx2(A)一6 .方程曳xxydx(A)有三個(B)無數7 (B)奇解.(B)無7 .n階線性齊次方程的所有解構成一個(A)n維(B)n1維8 .方程曳3y3過點(A).dx(A)有無數個解(B)只有三個解B)個解.(C)兩(C)有一個A)線性空間.(C) n1維(C)只有解y(D)三(D) 有兩個(D)n2維0(D)只有兩個解9 .fy(x,y)連續(xù)是保證f(x,y)對y滿足李普希茲條

7、件的(B)條件.(A)充分(B)充分必要(C)必要(D)必要非充分C).(B)構成一個3維線性空間(D)構成一個無限維線性空間10 .二階線性非齊次微分方程的所有解(A)構成一個2維線性空間(C)不能構成一個線性空間11 .方程電/7的奇解是(D).dx(C) y1(D) y0(A)yx(B)y112 .若y1（x）,y2（x）是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解可用這兩個解表示為（C）.(A) 1(x)2(x)(B) 1(x)2(x)(C) C(1(x)2(x)1(x)(D) C1(x)2(x)13 .fy（x,y）連續(xù)是方程曳f（x,y）初值解唯一的（D）條件.dx（A）

8、必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）充分14 .方程dy1（C）奇解.dx（A）有一個（B）有兩個（C）無（D）有無數個15 .方程dy3y3過點（0,0）有（A）.dx（A）無數個解（B）只有一個解（C）只有兩個解（D）只有三個解三、求下列方程的通解或通積分1 .曳dxxy,3113解：dxx-xyx1(x)0xx2(x)0x，則xey(y2eydyc)所以xcydyyy2另外y0也是方程的解2 .求方程生xy2經過（0,0）的第三次近似解dx解：0（x）020(x)dx2,、，1(x)dx12一x21215x一x2203(x)o2,2(x)dx1511118一xxx2044001603

9、.討論方程dydxy(i)1的解的存在區(qū)間解：dyydx兩邊積分所以方程的通解為故過y(i)1的解為通過點(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到2,所以解的存在區(qū)間為(，2)4.求方程(曳)2y210的奇解dx解：利用p判別曲線得p2y2102p0消去p得y2所以方程的通解為sin(xc),1是方程的奇解5.，1、，(cosx)dxy(;x.一)dy0y解:N,所以方程是恰當方程.cosx-xsinx一y(y)yx2y2xy(y)所以(y)lny故原方程的解為sinxlny2-.26. yy2ysinxcosxsinx解：yy22ysinxcosxsin2x故方程為黎卡提方程.它的一個

10、特解為zsinx,則方程可化為dz1即ysinx,故yxcsinxdx1_2_3_27. (2xy23y3)dx(73xy2)dy8.解:2xdxdx2所以dydx兩邊同除以y2得3ydx工dyy3xdy0d3xy3xyxy2x也是方程的解0時，分離變量得dyy等式兩端積分得lnyln(1x2)InC即通解為yC1x29.dydx解2x3ye齊次方程的通解為3xyCe令非齊次方程的特解為yC(x)e3x代入原方程，確定出C(x)1e5xC5原方程的通解為3x12xyCe+-e5dy510.yxydx解方程兩端同乘以y5,得5dy4yyxdx令y4z,則4y5電主，代入上式，得dxdx1dzzx

11、4dx通解為4xCe原方程通解為4Ce4x22、11. 2xydx(xy)dy0解因為龍2x龍，所以原方程是全微分方程.yx取(x,y)(0,0),原方程的通積分為xy2o2xydx0ydyCc1。即xyyC312. dyyInydx通積分為解：當y0,y1時，分離變量取不定積分，得dxCyinyinyCex2_2一13. yy(y)3x0解原方程可化為/2、(yyx)0于是yx2Cidx積分得通積分為1y2C1x1x3C22314. ?義dx.xx解：令yxu,貝Udydxduxdxdux-dx1u2,代入原方程，得dxInC分離變量，取不定積分，得(C0)通積分為：arcsin-InCxx

12、dy15.dx解令)x_yxtanxu,則包dxduux一dxux業(yè)，代入原方程，得dxduutanu,xtanudx當tanu0時，分離變量，再積分，得dudxInCtanuxInsinuInxInC即通積分為：sinCxx16.出乂1dxx解：齊次方程的通解為yCx令非齊次方程的特解為yC(x)x代入原方程，確定出C(x)lnxC原方程的通解為yCx+xlnx17. (x2eyy)dxxdy0解積分因子為(x)x原方程的通積分為xxyy1 (e4)dx0dyCix即ex-C,CeCix2 一18. yy(y)0解：原方程為恰當導數方程，可改寫為(yy)0即yyCi分離變量得ydyC1dx積

13、分得通積分1y2CixC219. y(xIny)1解令yp,則原方程的參數形式為1.xlnpPyp由基本關系式dyy,有dx,11、，dyydxp(2)dpPP1(1)dpP積分得ypInpC得原方程參數形式通解為1x-lnppypInpC220.yyy2x0解原方程可化為(yyx2)0于是ydyx2C1dx積分得通積分為1213yC1xxC223322321.(xxy)dx(xyy)dy0解：由于網2xy,所以原方程是全微分方程.yx取(x,y)(0,0),原方程的通積分為x32、y3.人0(xxy)dx0ydyC1即x42x2y2y4C四、計算題1、1.求方程yy-e的通斛.2解對應的齊次

14、方程的特征方程為：特征根為:1,故齊次方程的通解為：yCiexC2ex因為1是單特征根.所以，設非齊次方程的特解為yi(x)xAxe代入原方程，有2AeAxeAxe故原方程的通解為CexC2e1-e21-xe42.求下列方程組的通解dxdtdydt3x2y4y方程組的特征方程為特征根為11對應的解為其中ab1是11對應的特征向量的分量，滿足112al0341b0可解得a11,b11.同樣可算出22對應的特征向量分量為a22,b13.所以，原方程組的通解為C1C22e2t3e2t3.求方程y5ysin5x的通解.解：方程的特征根為i0,25齊次方程的通解為yCiC2e5x因為i5i不是特征根。所

15、以，設非齊次方程的特解為y1(x)Asin5xBcos5x代入原方程，比較系數得25A25B125A25B0，11確止出A,B50501原方程的通解為yC1C?e(cos5xsin5x)504.求方程y5y5x2的通解.解對應齊次方程的特征方程為250,特征根為10,25,齊次方程的通解為yC1C2e5x因為0是特征根。所以，設非齊次方程的特解為2y1(x)x(AxBxC)代入原方程，比較系數確定出A原方程的通解為yC1五、證明題1cle2一,B一，C一3525c5x13122C2e-x-xx3525)上連續(xù)，且(1)1 .在方程dyf(y)(y)中，已知f(y),(x)在(dx證：對任意x0

16、和y01,滿足初值條件y(xo)y。的解y(x)的存在區(qū)間必為()證明：由已知條件，該方程在整個xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件.顯然y1是方程的兩個常數解.任取初值(x。，y。),其中x。(,),y。1.記過該點的解為yy(x),由上面分析可知，一方面yy(x)可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過y1,下方不能穿過y1,否則與惟一性矛盾.故該解的存在區(qū)間必為(，).2 .設y1(x)和y2(x)是方程yq(x)y。的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式W(x)C,其中C為常數.證明：如果y1(x)和y2(x)是二階線性齊次方程yp(x)yq(x)y。的解，那么由劉

17、維爾公式有xP(t)dtW(x)W(x0)eX0現在，p(x)。故有x0dtW(x)W(x0)ex0W(x0)C3 .在方程yp(x)yq(x)y。中，已知p(x),4他)在(，)上連續(xù).求證：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.證明：由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是(，).顯然，該方程有零解y(x)0.假設該方程的任一非零解y1(x)在x軸上某點x。處與x軸相切，即有y1(x。)y(x。)=0,那么由解的惟性及該方程有零解y(x)?？芍獃i(x)0,x(),這是因為零解也滿足初值條件yi(xo)yi(xo)=0,于是由解的惟一性，有

18、yi(x)y(x)0,x(,).這與yi(x)是非零解矛盾.4 .在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x),4他)在(，)上連續(xù)，求證：若p(x)恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式川(刈是(，)上的嚴格單調函數.證明：設yi(x),y2(x)是方程的基本解組，則對任意x(,)，它們朗斯基行列式在(，)上有定義，且W(x)0.又由劉維爾公式xp(s)dsW(x)W(x0)ex0,xO(,)xp(s)dsW(x)W(x0)ex0p(x)由于W(x0)0,p(x)0,于是對一切x(,)，有W(x)0或W(x)0故川)是(，)上的嚴格單調函數.5 .試證：若已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等積分法求它的通解證明：設黎卡提方程的一個特解為dydzdy令yzy,工一又dxdxdxdzp(x)(zy)2q(x)(zy)r(x)dx由假設dyp(x)y2q(x)yr(x)dx此方程是一個n2的伯