橢圓大題中的向量問題—基礎(chǔ)篇

1、同理，若點 P(0,t),則 PAPB=t2222222abm-abki_2mtb2212.2akb2.2,2akb特殊情況：當(dāng)P為原點 O 時，OAOB=a2b2m2-a2b2k21橢圓中的向量問題一、基礎(chǔ)知識部分：向量的數(shù)量積運算、垂直關(guān)系&角度判斷、橢圓內(nèi)的平行四邊形問題.1.向量的數(shù)量積問題記點 P(t,0 青x軸上的一點，A(Xi,yi卜 B(X2,y2)是直線l:y=kx+m(l 不經(jīng)過橢圓22的頂點)和橢圓與+4=1(ab：0)的兩個交點，則 PAPB 計算過程可分為以下三步：abI.寫出向量的坐標(biāo)(末-初)，并將 lAPB 表示成 f(XiX2，Xi十 X2)的形式PA

2、PB=Xi-t,yiiX2-t,y2=Xi-t,kxim)1X2-t,kx2m=(k2+1=x+(km-tkx+x2)+(m2+t2)X1X2=fi(k,m),Xi+X2=f2(k,m);2/22、2am-b2kma二k1-kmTakbakb2.a2b2m2-a2b2k212kmta22.2.22.2.2akbakb其中 I、II 兩步可以互換順序基礎(chǔ)練習(xí)：請按照以下條件作答II.聯(lián)立直線 l 和橢圓，得出聯(lián)立y=kXm22222,2bxay-ab=0得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,22kma則Xi.長二一至2，akbXiX2222am-bIII .將 Xi+X

3、2,XiX2代入式中,得到 PA，PB=g(k,m),將 PAPB 轉(zhuǎn)化為含 k,m 的式子PAPBm2t22X21.已知斜率為 k 的直線 l 經(jīng)過點(1,0)與橢圓+y=1 交于 A、B 兩點,(1)若點 o 為原點，請寫出節(jié) AOB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；(2)已知點 P(2,0)，請寫出PAEB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；22xy、2.若斜率為 k 的直線 l 經(jīng)過點(0,2)與橢圓-y+5=1 交于 A、B 兩點(注意 A0),(1)若點 O 為原點，請寫出 OAOB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；(2)若點 P(1,0)，請寫出 7AKB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；(3)若點 P(2,0)

4、,請寫出 PA 彘關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；1.1 求向量數(shù)量積的問題(給出點P的坐標(biāo))22例 1:已知橢圓 C:七+上=1,直線 l 經(jīng)過 C 的右焦點F與橢圓交于43(2)若 pApB=22,求直線 l 的方程；(y=x1)7(3)若 OAOB=N,求貳 PB 的值；(k2=2,pA,PB9)11求 PAPB 的取值范圍；(PA，PBW,51)_4(5)若 AP+PB11,PAPBP%I)7，471(6)記 D、E 分別為橢圓 C 的左右頂點，-1TTI90ADEB+AE，DB=一，求直線 l 的萬程；(y=x1)7ADEB+AEDB 的取值范圍.(ADEB+羨 DBW 尺,16I)_2A、

5、B 兩點，點 P(3,0(1)寫出PAPB 關(guān)于直線 l 的斜率 k 的關(guān)系式；(27k15、PA.PB=2)4k23D.練習(xí) 1.1x2231.已知橢圓 4+y=1 的離心率e e= =, ,右直線 l l: :y=kx+無與橢圓恒有兩個不同的父點 A A、 B B 且 OAOB2,2,求 k k的取值范圍.222 .已知橢圓之+工=1的左焦點為F,設(shè) A A、B B 分別為橢圓的左右頂點，過點F且斜率為 k k3 2的直線與橢圓交于 C C、D D 兩點.，若品前+ADCB=8,求 k k 的值.1.2 動點分析問題(直線l過橢圓頂點的問題)22以 l 經(jīng)過橢圓x2+y2=l(ab0)的左

6、頂點 A(-a,0)為例.ab設(shè) l:l:y=k(x+a)且 l 過點A與橢圓交于點 B(x2,y2),聯(lián)立222222bxay-ab=0動點分析問題的過程如下：I .分析問題中涉及的動點；II .按難易程度，通過聯(lián)立的方法用直線斜率 k 表示出問題中所涉及的動點坐標(biāo);III .按照目標(biāo)向量所涉及的點，將向量坐標(biāo)運用直線斜率 k 表示出來；IV .將向量的數(shù)量積運用含 k 的式子表示出來.,得(a2k2+b2)x2+2k2a4x+a4k2-a2b2=0,xx2ax2-2a422ak-abk2b2、，ab2-a3k2、，2ab2kx2=-2.2.2，y2=2.2,.2，akbakbab即點B箕2

7、-a3k22ab2k例 2:如圖，橢圓 E:+y2=1,記 A、B 為橢圓的左右頂點，點 C 為橢圓的上頂點，直4線 l 經(jīng)過點 C 與橢圓交于另一點D,并與x軸交于點P,直線 AC 與BD相交于點Q.當(dāng)點P異于點B時.(1)記 k 為直線 l 的斜率，用 k 表示點 P、D 的坐標(biāo);OPOQ=4)練習(xí) 1.2:21.已知橢圓 C C:x-+y2=1,若 F 為橢圓 C C 的右焦點，經(jīng)過橢圓的上頂點B的直線 l 與橢圓2L 人、T另一個交點為 A,且滿足 BA-BF=2(1)用直線 l 的斜率 k 表示點A的坐標(biāo)；T-I(2)用含 k 的式子表示 BA 的坐標(biāo)，同時表示出 BF 的坐標(biāo)；(3

8、)用含 k 的式子表示 BABF,構(gòu)建方程 f(k)=2;(4)解出 k 的值，寫出直線 l 的方程.28k1-4k24k2+14k2+1(2)2k1用 k 表不出IBD的斜率；(kBD=)4k-2(3)用 k 表示出點 Q 的坐標(biāo)；(Q(Sk,2k+1)用 k 表示出 OP、OQ的坐標(biāo)，并求OPOQ.1(OP=_4k,2k1,22.2.已知橢圓2+y2=1若 C C、D D 分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足 MDJ_CDMDJ_CD, ,連接2CMCM 交橢圓于點 P,P,證明：OM*OP 為定值.(1)記直線1CM的斜率為 k,用含 k 的式子表示出點 M 的坐標(biāo)；(2)用含 k 的式

9、子表示出點 P 的坐標(biāo)；(3)用含 k 的式子分別表示出 OP、OM 的坐標(biāo)；(4)證明 OMOP 為定值.2X23.已知橢圓一+y=1,點A-2,0,設(shè)直線 l l 過點A與橢圓交于另一點 B,點 Q(0,y0)在4線段AB的垂直平分線上，且 QAQB=4,求 y0的值.(1)設(shè)直線 l 的斜率為 k,用含 k 的式子表示點B的坐標(biāo)；(2)用含 k 的式子表示出AB的中點坐標(biāo)，并寫出AB的中垂線方程；(3)用含 k 的式子表示出點 Q 的坐標(biāo)；e 人心一八一rT(4)用含 k 的式子分別表不出 QA,QB;(5)運用QAQB=f(k)=4,求直線 l 的方程，并求出點 Q 的坐標(biāo).2.數(shù)量積

10、問題的延伸一一垂直問題和角度判斷問題2.1 直線的垂直問題，可以轉(zhuǎn)換為向量的數(shù)量積為零的問題.記點 P(t,0 聲x軸上的一點，A(xi,yiB(x2,y2)是直線l:y=kx+m 和橢圓22xy二十嘉=1(ab0)的兩個交點，由之刖的討論可知，a2b2m2-a2b2k212kmta2OTTTT若PA1PB,則 PA7B=0.22例 3：如圖，記A為橢圓x2+與=1(ab0)的上頂點，F(xiàn)i、F2ab為橢圓的兩焦點，BPB2分別為 OF。OF2的中點,(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率;(2)過點 B,作直線 l l 與橢圓相交于 P、Q 兩點，若 PB2IQB2,求直線 l l 的方程.練習(xí) 2.

11、121.已知橢圓 C：x+y2 2= =1,FpF2分別為橢圓的左、右焦點，若過點 F2的直線 l l 與橢圓 C C2一_rT相父于 P、Q 兩點，且 FF_LFQ,求直線 l l 的萬程.2PAPB 二 tAB1B2是面積為4的直角三角形.22 .已知橢圓 G G：x-+y2=1,短軸上、下頂點分別為A、B,B,若 C、D 是橢圓 G G 上關(guān)于y軸2對稱的兩個不同點，直線 BCBC 與 x 軸交于點M,判斷以線段MD為直徑的圓是否過點A,并說明理由.223.如圖，已知橢圓士+上=1，設(shè)點 P、Q 分別是橢圓和圓 O O 上42位于y軸兩側(cè)的動點，若直線 PQ 與 x 軸平行，直線 APA

12、P、BPBP2.2 角度問題與y軸的交點記為M M、N N,試證明 ZMQN 為直角.點P在以AB為直徑的圓外點P在以AB為直徑的圓上點P在以AB為直徑的圓內(nèi)判斷角度為鈍角、直角還是銳角，以及點與圓的位置關(guān)系.若.APB：:90,貝 UcosZAPBUcosZAPB0,即PAPB=PA!PBcosAPB0.若.APB=90；,貝 Ucos/APBUcos/APB即PAPB-PA后cosAPB=0.若.APB90；,貝 Ucos.APBUcos.APB即PAPB-PA點cos/APB:二02.2.1角度判斷2X2例 4：記E、F2分別是橢圓了+y=1的左、右焦點，設(shè)過定點M(0,2)的直線 l

13、與橢圓交于同的兩點 A A、B B, ,且/AOB/AOB 為銳角，求直線 l l 的斜率 k 的取值范圍.練習(xí) 2.2.1221.已知點F是橢圓人+L=1的右焦點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)過點F,斜率為k的直線l交43222橢圓于AB B 兩點，右 OA+OB,b0）的兩交點,點 P（x3,y3底橢圓上，且四邊形 OAPB 為平行四邊形，如下圖.114m2x3=1（X1+X2）,vfy）,進而彳到久干二九,這也是一個很有用的結(jié)論橢圓Iy=kxm 聯(lián)立2222bxay=1子日22222222付(ak+b)x+2kmax+a(m-b)=1)c.22kma,xx=222akb,-2132m，yy2=k用長

14、2m=22，akb再由平行四邊形的性質(zhì)可得溫=OA+OB,1-X3=x+x2,y3=yi+丫2,則點 P22kma22bm(1)(2)(3)將點P代入橢圓中可得在橢圓方程已知的情況下2244kma2222akb42工4bmb22222bakb4m22222=1,倚4m=ak+b.akb當(dāng)直線 l 過定點，或直線斜率確定，我們可以求出直線的方程；若直線 l 不過定點，也未知直線斜率，我們可以得到 k,m 的關(guān)系，結(jié)合 A0,我們可以求出 OP、AB、點 O 到直線 l 的距離 d,4AOB 或平行四邊形 OAPB 的面積等幾何量的取值范圍.若點P在以 OA、OB 為鄰邊的平行四邊形的對角線上，則

15、KOP=OA+OB,可以得出BP例 6:6:已知橢圓 C:x_+=1,C:x_+=1,直線 l l 經(jīng)過點 P P( (0,10,1) )交橢圓于 A A、 B B 兩點， 以 OAOA、 O OB B 為鄰邊做平行四邊形 OAPBOAPB, ,其中頂點P在橢圓上，O O 為坐標(biāo)原點.(1)驗證當(dāng)直線 l 斜率 k 不存在時，是否存在這樣的點 P;(2)記直線 l 的斜率為 k,用含 k 的式子表示 x1+x2,y1+y2；(3)由 OA+OB=OP,將點 P 的坐標(biāo)用含 k 的式子表示；(4)將點 P 代入橢圓方程，得到方程 f(k 尸 1；(5)(5)解方程，求出直線方程.練習(xí) 3:221.1.已知橢圓 C C：/+/+ =1,=1,點 F F 為橢圓的右焦點，則橢圓上是否存在點 P P, ,使得當(dāng) l l 繞32點F轉(zhuǎn)動到某一位置時， 四邊形 OAPBOAPB 為平行四邊形？若存在， 求出點P的坐標(biāo)和直線方程； 反之，請說明理由.2X2.已知橢圓 C C：一+y2=1,直線 l l 過點M2,0酌橢圓