2016挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題精選

1、目 錄第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2015年上海市寶山嘉定區(qū)中考模擬第24題例2 2014年武漢市中考第24題例3 2012年蘇州市中考第29題例4 2012年黃岡市中考第25題例5 2010年義烏市中考第24題例6 2009年臨沂市中考第26題1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2015年重慶市中考第25題例2 2014年長沙市中考第第26題例3 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題例4 2012年揚州市中考第27題例5 2012年臨沂市中考第26題例6 2011年鹽城市中考第28題1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2015年上海市

2、虹口區(qū)中考模擬第25題例2 2014年蘇州市中考第29題例3 2013年山西省中考第26題例4 2012年廣州市中考第24題例5 2012年杭州市中考第22題例6 2011年浙江省中考第23題例7 2010年北京市中考第24題1.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2015年成都市中考第28題例2 2014年陜西省中考第24題例3 2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題例4 2012年福州市中考第21題例5 2012年煙臺市中考第26題例6 2011年上海市中考第24題例7 2011年江西省中考第24題1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題例1 2015年上海市徐匯區(qū)中考模擬第24題例2 2014年上海

3、市金山區(qū)中考模擬第24題例3 2012年上海市松江中考模擬第24題例4 2012年衢州市中考第24題 例5 2011年義烏市中考第24題1.6 因動點產(chǎn)生的面積問題例1 2015年河南市中考第23題例2 2014年昆明市中考第23題例3 2013年蘇州市中考第29題例4 2012年菏澤市中考第21題例5 2012年河南省中考第23題例6 2011年南通市中考第28題例7 2010年廣州市中考第25題1.7 因動點產(chǎn)生的相切問題例1 2015年上海市閔行區(qū)中考模擬第24題例2 2014年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例3 2013年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題1.8 因動點產(chǎn)生的線段和差問題例1

4、2015年福州市中考第26題例2 2014年廣州市中考第24題例3 2013年天津市中考第25題例4 2012年濱州市中考第24題第二部分 圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題2.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2015年呼和浩特市中考第25題例2 2014年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例3 2013年寧波市中考第26題例4 2012年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題2.2 由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例1 2015年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例2 2014年黃岡市中考第25題例3 2013年菏澤市中考第21題例4 2012年廣東省中考第22題 例5 2012年河北省中考第26題 例6 2011年淮安

5、市中考第28題第三部分 圖形運動中的計算說理問題3.1 代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進(jìn)行說理問題例1 2015年北京市中考第29題例2 2014年福州市中考第22題例3 2013年南京市中考第26題3.2幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題例1 2015年杭州市中考第22題例2 2014年安徽省中考第23題例3 2013年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題第四部分 圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)4.1圖形的平移例1 2015年泰安市中考第15題例2 2014年江西省中考第11題4.2圖形的翻折例1 2015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第18題例2 2014年上海市中考第18題4.3圖形的旋轉(zhuǎn)例1 2015年揚州市中考

6、第17題例2 2014年上海市黃浦區(qū)中考模擬第18題4.4三角形例1 2015年上海市長寧區(qū)中考模擬第18題例2 2014年泰州市中考第16題4.5四邊形例1 2015年安徽省中考第19題例2 2014年廣州市中考第8題4.6圓例1 2015年蘭州市中考第15題例2 2014年溫州市中考第16題4.7函數(shù)圖像的性質(zhì)例1 2015年青島市中考第8題例2 2014年蘇州市中考第18題第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（k0）與直線yx2都經(jīng)過點A(2, m) （1）求k與m的值；

7、（2）此雙曲線又經(jīng)過點B(n, 2)，過點B的直線BC與直線yx2平行交y軸于點C，聯(lián)結(jié)AB、AC，求ABC的面積；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線yx2與y軸交于點D，在射線CB上有一點E，如果以點A、C、E所組成的三角形與ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標(biāo)圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“15寶山嘉定24”，拖動點E在射線CB上運動，可以體驗到，ACE與ACD相似，存在兩種情況思路點撥1直線AD/BC，與坐標(biāo)軸的夾角為45°2求ABC的面積，一般用割補法3討論ACE與ACD相似，先尋找一組等角，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例分兩種情況列方程滿分解答（1）將點A(2, m)代入yx2，得

8、m4所以點A的坐標(biāo)為(2, 4)將點A(2, 4)代入，得k8（2）將點B(n, 2)，代入，得n4所以點B的坐標(biāo)為(4, 2)設(shè)直線BC為yxb，代入點B(4, 2)，得b2所以點C的坐標(biāo)為(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B兩點間的水平距離和豎直距離都是2，B、C兩點間的水平距離和豎直距離都是4所以AB，BC，ABC90° 圖2所以SABC8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD，AC由于DACACD45°，ACEACD45°，所以DACACE所以ACE與ACD相似，分兩種情況：如圖3，當(dāng)時，

9、CEAD此時ACDCAE，相似比為1如圖4，當(dāng)時，解得CE此時C、E兩點間的水平距離和豎直距離都是10，所以E(10, 8)圖3 圖4考點伸展第（2）題我們在計算ABC的面積時，恰好ABC是直角三角形一般情況下，在坐標(biāo)平面內(nèi)計算圖形的面積，用割補法如圖5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y軸由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得SABC8圖5例2 2014年武漢市中考第24題如圖1，RtABC中，ACB90°，AC6 cm，BC8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻

10、速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）如圖2，連接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在ABC的一條中位線上圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動點P運動，可以體驗到，若BPQ可以兩次成為直角三角形，與ABC相似當(dāng)AQCP時，ACQCDPPQ的中點H在ABC的中位線EF上思路點撥1BPQ與ABC有公共角，按照夾角相等，對應(yīng)邊成比例，分兩種情況列方程2作PDBC于D，動點P、Q的速度，暗含了BDCQ3PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然滿分解答（1）RtABC中，AC6，B

11、C8，所以AB10BPQ與ABC相似，存在兩種情況： 如果，那么解得t1 如果，那么解得圖3 圖4（2）作PDBC，垂足為D在RtBPD中，BP5t，cosB，所以BDBPcosB4t，PD3t當(dāng)AQCP時，ACQCDP所以，即解得圖5 圖6（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E由于H是PQ的中點，HF/PD，所以F是QD的中點又因為BDCQ4t，所以BFCF因此F是BC的中點，E是AB的中點所以PQ的中點H在ABC的中位線EF上考點伸展本題情景下，如果以PQ為直徑的H與ABC的邊相切，求t的值如圖7，當(dāng)H與AB相切時，QPAB，就是，如圖8，當(dāng)H與BC相切時，PQBC

12、，就是，t1如圖9，當(dāng)H與AC相切時，直徑，半徑等于FC4所以解得，或t0（如圖10，但是與已知0t2矛盾）圖7 圖 8 圖9 圖10例3 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標(biāo)為_，點C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均

13、相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在OQAB的時刻，也存在OQAB的時刻思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上滿分解答

14、（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時，BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點

15、伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例4 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條

16、件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠(yuǎn)處也不等于45°觀察右圖，可以體驗到，CBF保持45°，存在BFCBCE的時刻思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45°，或者作

17、BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時，BCEFBC設(shè)點F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點F作FFx

18、軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例5 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、

19、B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點M時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可

20、以體驗到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方滿分

21、解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時， 解得 此時點A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過

22、程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例6 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo),圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”

23、、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，DCA的面積最大思路點撥1已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）

24、設(shè)點P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，x4，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，x1，解方程，得此時點P的坐標(biāo)為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，那么點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時，DCA的面積最大，此時點D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構(gòu)造矩形OAMN

25、，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2015年重慶市中考第25題如圖1，在ABC中，ACB90°，BAC60°，點E是BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DHAC，垂足為H，連接EF，HF（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC，求AB、BD的長；（2）如圖1，求證：HFEF（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫

26、板文件名“15重慶25”，拖動點E運動，可以體驗到，F(xiàn)AE與FDH保持全等，CMF與CAE保持全等，CEF保持等邊三角形的形狀思路點撥1把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊2中點F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了滿分解答（1）如圖3，在RtABC中，BAC60°，AC，所以AB在RtADH中，DAH30°，AH，所以DH1，AD2在RtADB中，AD2，AB，由勾股定理，得BD（2）如圖4，由DAB90°，BAC60°，AE平分BAC，得DAE60°，DAH30°在RtADE中，A

27、E在RtADH中，DH所以AEDH因為點F是RtABD的斜邊上的中線，所以FAFD，F(xiàn)ADFDA所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF圖3 圖4 圖5（3）如圖5，作FMAB于M，聯(lián)結(jié)CM由FM/DA，F(xiàn)是DB的中點，得M是AB的中點因此FM，ACM是等邊三角形又因為AE，所以FMEA又因為CMCA，CMFCAE30°，所以CMFCAE所以MCFACE，CFCE所以ECFACM60°所以CEF是等邊三角形考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺如圖6，如圖7，當(dāng)點F落在BC邊上時，點H與點C重合圖6 圖7如圖8，圖9，點E落在BC邊上如圖10，圖1

28、1，等腰梯形ABEC圖8 圖9 圖10 圖11例2 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的P總經(jīng)過定點A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點，當(dāng)AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況思路點撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得

29、的弦長MN4是定值2等腰三角形AMN存在三種情況，其中MAMN和NANM兩種情況時，點P的縱坐標(biāo)是相等的滿分解答（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負(fù)值）（2）拋物線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點P運動的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AMAN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3如圖4，當(dāng)MAMN時，在RtAO

30、M中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時xOH2所以點P的縱坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)NANM時，點P的縱坐標(biāo)為也為圖4 圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的P總經(jīng)過定點B(0, 1)，那么在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切這是因為：設(shè)點P的坐標(biāo)為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切例3 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點D為邊BC的中點，DEBC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且PDQ90&#

31、176;（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況思路點撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差

32、關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過點D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90

33、°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當(dāng)QCQD時，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點伸展如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例4 2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直

34、線l上的一個動點，當(dāng)PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，當(dāng)點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小拖動點M在拋物線的對稱軸上運動，觀察MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點M有1次機會落在AC的垂直平分線上；點A有2次機會落在MC的垂直平分線上；點C有2次機會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P

35、在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21

36、(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖5例5 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點

37、P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，O和B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當(dāng)點P運動到O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P，發(fā)現(xiàn)存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形思路點撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy

38、軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標(biāo)為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時，BP216所以解得當(dāng)PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30°，ODA1

39、20°例6 2011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當(dāng)點P到達(dá)點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗請

40、打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖象中可以看到，APR的面積有一個時刻等于8觀察APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在APAQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，APQ是等腰三角形思路點撥1把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題2求APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0t

41、4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時，解方程，得如圖6，

42、當(dāng)QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時，也可以用來求解1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2015年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，ACB90°，AB13，CD/AB，點E為射線CD上一動點（不與點C重合），聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F，BAE的平分線交BC于點G （1）當(dāng)CE3時，求SCEFSCAF的值；（2）設(shè)CEx，AEy，當(dāng)CG2GB時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)AC5時，聯(lián)結(jié)EG，若AEG為

43、直角三角形，求BG的長圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“15虹口25”，拖動直角頂點C運動，可以體驗到，CG2GB保持不變，ABC的形狀在改變，EAEM保持不變點擊屏幕左下角的按鈕“第（3）題”，拖動E在射線CD上運動，可以體驗到，AEG可以兩次成為直角三角形思路點撥1第（1）題中的CEF和CAF是同高三角形，面積比等于底邊的比2第（2）題中的ABC是斜邊為定值的形狀不確定的直角三角形3第（3）題中的直角三角形AEG分兩種情況討論滿分解答（1）如圖2，由CE/AB，得由于CEF與CAF是同高三角形，所以SCEFSCAF313（2）如圖3，延長AG交射線CD于M 圖2由CM/AB，得所以CM2

44、AB26由CM/AB，得EMABAM又因為AM平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x圖3 圖4（3）在RtABC中， AB13，AC5，所以BC12如圖 4，當(dāng)AGE90°時，延長EG交AB于N，那么AGEAGN所以G是EN的中點所以G是BC的中點，BG6如圖5，當(dāng)AEG90°時，由CAFEGF，得由CE/AB，得所以又因為AFGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH，那么BHAH在RtGBH中，由cosB，得BG÷圖5 圖6考點伸展第（3）題的第種情況，當(dāng)AEG90°時的核心問題是說理GAGB如

45、果用四點共圓，那么很容易如圖6，由A、C、E、G四點共圓，直接得到24上海版教材不學(xué)習(xí)四點共圓，比較麻煩一點的思路還有：如圖7，當(dāng)AEG90°時，設(shè)AG的中點為P，那么PC和PE分別是RtACG和RtAEG斜邊上的中線，所以PCPEPAPG所以122，325如圖8，在等腰PCE中，CPE180°2(45)，又因為CPE180°(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB圖7 圖8例2 2014年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)ya(x22mx3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a0，m0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側(cè)），與

46、y軸交于點C(0,3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD/AB，聯(lián)結(jié)AD過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14蘇州29”，拖動y軸正半軸上表示實數(shù)m的點運動，可以體驗到，點E、D、F到x軸的距離都為定值思路點撥1不算不知道，一算真奇妙通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標(biāo)后，點D的坐標(biāo)也可以寫出來點E的縱坐標(biāo)為定值是算出來的2在計算的過程中，第（1）題的結(jié)論及其變形反復(fù)用到3注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G滿分解答（1）將C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(