人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)講義

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第 11 章 三角形三角形的概念三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形 要點(diǎn)：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接.2 三角形的表示 ABC 中，邊：AB, BC, AC 或 c, a, b 頂點(diǎn)：A, B, C 內(nèi)角：/ A,ZB,ZC.三角形的邊1.三角形的三邊關(guān)系：（證明所有幾何不等式的唯一方法）三角形任意兩邊之和大于第三邊：b+ca（2）三角形任意兩邊之差小于第三邊:b-ca時(shí)，就可構(gòu)成三角形.確定三角形第三邊的取值范圍：兩邊之差 第三邊 3，n 是正整數(shù))。任意凸形多邊形的外角和等于 360多邊形外角和恒等于360 ，與邊數(shù)的多少無關(guān)

2、.多邊形最多有 3 個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角(如矩形)；多邊形的外角中最多有3 個(gè)鈍角，最少?zèng)]有鈍角.5、 實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件： 拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360 ;相鄰的多邊形有公共邊?！究键c(diǎn)三】判斷三角形的形狀8、若厶 ABC 的三邊 a、b、c 滿足(a-b)( b-c)( c-a) =0，試判斷ABC 的形狀 9、已知 a， b， c 是厶ABC 的三邊，且滿足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，試判斷ABC 的形狀三角形中至少有 2 個(gè)銳角可見一三角形中至多有 1 個(gè)鈍角10、若厶 ABC 的三邊為 a、b、c （a 與 b 不相等），且滿足 a3-a2b+ab2-ac2+bc

3、2-b3=0,試判斷ABC 的形狀二、三角形角有關(guān)計(jì)算1.如圖 ABC 中 AD 是高,AE、BF 是角平分線，它們相交于點(diǎn)解 AD 是厶 ABC 的高，/ C = 70 / DAC =180-90 -70 =20 / / BAC =50 / ABC =180-50 -70 =60 O,ZA= 50 ,ZC = 70 求ZDAC,ZAOB AE 和 BF 是角平分線/BAO =25 ,ZABO =30ZAOB =180 -25 -30 =1252.如圖，ABC 中，D 是 BC 邊上一點(diǎn)，Z仁Z2,Z3=Z4,解設(shè)1x0Q 12,20 x312 2x0又 Q3442x0又 Q24BAC 180

4、0ZBAC= 63，求ZDAC 的度數(shù)x 2x 6301800 x 390DAC 6303902403.已知：P 是厶 ABC 內(nèi)任意一點(diǎn).求證：ZBPOZA解涎喪BP支AC于點(diǎn)DV ZBPC是APDC的外角：ZPDC同理可4ZPDOZA7BD是AC邊上的高:.ZBPCZA4.如圖，Z1 =Z2,Z3=Z4,ZA= 100，求 x 的值?：VZ1=Z2 Z3=Z4AZABC=2Z2 ZACB2Z4&AABC tZA+ZABC+ZACB=lOeAZA+2(Z2+Z4H80T ZA= 100AZ2+Z4=J07Z2+Z4+x=180a5.已知 ABC 的/ B、/ C 的平分線交于點(diǎn) 0。

5、求證：/ BOC=90/ A （角平分線模型）證明；TBO、CO 是 ZB. Z?的平分線 A Z1=Z2Z3=Z4AABCM1中 ZIMH + Z2+ Z3= 1 Wl* AZ2+Z3=l( (r ZB(M在NIK 中 Z A+ Z VIK + ZAC B= 180AZA+2(Z2+Z3)=180oA ZA+2(l0dZBOC)=1807.AABC 中，/ ABC 的平分線 BD 和厶 ABC 的外角平分線 CD 交于 D，求證：/ A=2/ D （角平分線模型）ZBOC=9U + ZA6.已知：BP、CP 是厶 ABC 的外角的平分線，交于點(diǎn) P。 求證：/ P=90 注明:： RP、CP

6、A 外角平分線 Z1=Z2 Z3=ZJ 7ZEBC是AE(啲外甬 :、ZEBC-ZA+ZA( B=ZA+(1NIID-Z3-Z4)A ZEBC=Z1+Z12Zl=ZA+(180* -2ZJ)iZI+lZA-ZA+IM0APBt 沖 ZP* / 汁 Z3=iS0e-ZI+Z3=lR0a-ZPZ.ZA+lNiP =2(lSir ZP)AZl9fl* - ZAA/ A （角平分線模型）證明：TBD、CDA角平分線:.Z2Z3=Z4在BDC中Z4-Z2+ZD二Z3=Z2+ZD在ABC中ZACE=ZA+ZABCA2Z3=ZA+2Z2 A2(Z2+ZD)= ZA+2Z2:.ZA=2ZI)8.AAOB 中，

7、/ AOB=90 , / OAB 的平分線和W：VAP. RP 是荷平分踐A Z1=Z2Z3=Z4在ABI*中 Z4=Z2+Zr /-Z3=Z2+ZP在 ARO 中ZOBD=ZO+ZOAB 2ZJ=ZO+2Z2 2(Z2+ZP)=ZO+1Z2:.ZO=2ZP:.ZP=45*9.如圖：求證：/ A+ZB+ZC=ZADC （飛鏢模型）證明:連接 BD 并建長 MEVZAE=ZABIHZAZCDE=zXBIH ZCZADC=ZABIHZCBD ZAB2AD.連接 AD 是中線 DC=DB在厶 CDE 和厶 BDA 中DE=AD/CDE=/ BDADC=DB CDEABDA(SASCE=AB在厶 AE

8、C 中 CE+ACAE CE=ABAB+ACAEvDE=ADAE=2ADvAB+ACAEAB+AC2AD證明：延長 CD 至，使DF=CD,連接 BF,在/ ADF 和/ BDC 中AD=BD倍長中線法的過程：延長 方法總結(jié)：遇中線，要倍長【例題精講】例 1、如圖1,在ABC 中， 分析：因?yàn)?AD 為中線，_,轉(zhuǎn)移邊、轉(zhuǎn)移角/ADF=ZBDCFE HECEF 也 BEHEFC EHB,CF BH BG二EHBBGE，而BGE AGF AFGAGF又:EF II ADAFG CAD,AGF BAD例 4、如圖，在ABC中，AD是BC邊的中線，E 是 AD 上一點(diǎn)，且 BE= AC,延長 BE交

9、 AC 于點(diǎn) F.求證:證明：延長 AD 到點(diǎn) G，使 AD=DG,連結(jié) BG.丁AD是BC邊的中線在厶ADC 和厶 GDB 中AD=DG從/ ADC=Z GDB1DC=DB ADC GDB ( SSS/CAD=ZBGDBG=AC又/ BE=AC,BE=BG. / BED=ZG/ /BED=ZAEF,/AEF=ZCAD,_ _ _即：/ AEF=ZFAEAF=EF.AF= EFDC=DBDC二截長補(bǔ)短法截長:1.過某一點(diǎn)作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另 短邊相等。補(bǔ)短:1.延長短邊 2.通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起?！纠}精講】例 1.如圖，AAB

10、C 中，/ ACB= 2 / B, / 1=Z2 求證：AB= AC+ CD證法一：(補(bǔ)短法)延長 AC 至點(diǎn) F,使得 AF= AB在厶 ABD 和厶 AFD 中AB= AFZ1=Z2AD = AD:.ABHAAFD(SAS / B=Z F / AC吐2/ B / AC吐2/ F而/ AC吐/ F+ / FDC / F=Z FDC CD= CF而 AF= AC+ CFAF= AC+ CDAB= AC+ CD證法二：(截長法)在 AB 上截取 AE= AC,連結(jié) DE在厶 AED 和厶 ACD 中AE = ACZl= Z2AD = ADi AEDAACD(SAS:.DE=DCfZAED=ZC：

11、AED = ZE +丄丄EDB, ZACB =2Z5/.2ZJ5= Z占十.EDB/. ZB=ZEDB：.EB = ED = DCAS = A + EB = AC + DC例 2、 如圖，在 ABC 中，AD 為 BC 邊上的高， / B=2/ C 求證：CD=AB+BD. 證明：在DC 上截取 DE=DB,連接 AE，在厶 ADB 和厶 ADE.中 DE=DB, / ADB=ZADE,AD=AD. ADE ADB ( SAS)i AE=AB,/AEB=ZB，/AEB=ZC+ZCAE,/B=2ZC,ED=BD,( /AEB=2/C. /C=ZCAE,故 CE=AE=AB. CD=CE+ED=A

12、E+ED=AB+BD.例 3、如圖，ADABCAAD AD、/C/E)Z BAC ABD 也C B/AB定義 3如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊C直線兩旁的部分能夠互相重兔,BAD這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形這條直線就是它的對(duì)AB 由ABDDAC2CEEBDABDABCD BCBDE軸D稱/BD 2CEiAB ACAOCODPOP OPBA AD軸對(duì)稱ABCBAD 180CEBA FDAEDEAA兩個(gè)圖形成軸C稱2或一個(gè)AB形是軸對(duì)稱圖形AC,則對(duì)應(yīng)線段性質(zhì)(對(duì)折后重合的線段 j 相等；對(duì)應(yīng)角(對(duì)折后重合的角3)相等！EADDC珂Z對(duì)稱軸垂直平分Z接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的角DDED丄AB BAOEDDFCN 叫ZCC

13、3BD B圖AEDDEDFBADBE垂ABC扁廣定義：CD線段中RtC 且垂做這條線段的垂真平分線1性質(zhì)0線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條離相等ZBCFZFFBC CE FE圖CF判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段C一直平分線上RtABAD 也 Rt CAF BDCF軸對(duì)稱變換：由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形，叫做軸對(duì)稱變換作軸對(duì)稱圖形乂等腰三角形OPOEPPD用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱A - AA一.1P(x, y)關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 P (x, - y) . A P(x,y)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 P (-x, y) I /_J定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等