四年級數(shù)學(xué)競賽全講

1、- 41 - 學(xué)而思（四年級）第1講 速算與巧算（一） 第2講 速算與巧算（二） 第3講 高斯求和 第4講 4，8，9整除的數(shù)的特征 第5講 棄九法 第6講 數(shù)的整除性（二） 第7講 找規(guī)律（一）第8講 找規(guī)律（二）第9講 數(shù)字謎（一）第10講 數(shù)字謎（二）第11講 歸一問題與歸總問題第12講 年齡問題第13講 雞兔同籠問題與假設(shè)法第14講 盈虧問題與比較法（一）第15講 盈虧問題與比較法（二）第16講 數(shù)陣圖（一）第17講 數(shù)陣圖（二）第18講 數(shù)陣圖（三）第19將 乘法原理第20講 加法原理（一）第21講 加法原理（二）第22講 還原問題（一）第23講 還原問題（二）第24講 頁碼問題第2

2、5講 智取火柴第26講 邏輯問題（一）第27講 邏輯問題（二）第28講 最不利原則第29講 抽屜原理（一）第30講 抽屜原理（二）第1講 速算與巧算（一）計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。例1 四年級一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

3、求這10名同學(xué)的總分。分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個數(shù)與80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數(shù)比80小。于是得到總和=80×10（6-2-3311-8009809。實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結(jié)果為809。例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方

4、法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)×加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計差÷加數(shù)的個數(shù)。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。例2 某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準(zhǔn)數(shù)為450，則累計差=123073023

5、211811251150，平均每塊產(chǎn)量=45050÷10455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×749（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3 求292和822的值。解：292=29×29（291）

6、5;（29-1）1230×281840+1841。82282×82（822）×（822）2280×8446720+46724。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。由湊整補零法計算352，得35×3540×3052=1225。這與三年級學(xué)的個位數(shù)

7、是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4 求9932和20042的值。解：9932=993×993（9937）×（993-7）+721000×9864998600049986049。20042=2004×2004（2004-4）×（2004+4）422000×2008164016000164016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都

8、是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例5 88×64？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64（808）×（604）（808）×60（808）×480×608×6080×48×480×6080×680×48×480×（6064）8×480×（6010）8×48×（61）×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看

9、出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×（61）。例6 77×91？解：由例3的解法得到由上式看出，當(dāng)兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應(yīng)在十位上補一個0，本例為7×107。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。練習(xí)11.求下面10個數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，2

10、5，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個零件？4.計算：131610+1117121512161312。5.計算下列各題：（1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。6.計算下列各題：（1）77×28；（2）66×55；（3）33×19；（4）82×44；（5）37×33；（6）46×99。 練習(xí)1 答

11、案1.1596。 2.26厘米。3.711個。 4.147。5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；（4）4624； （5）11664； （6）157609。6.（1）2156； （2）3630； （3）627；（4）3608； （5）1221； （6）4554。第2講 速算與巧算（二）上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72×78的被乘

12、數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。例1 （1）76×74？ （2）31×39？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74（76）×（70+4）（706）×70（76）×470×706×7070×46×470×（7064）6

13、×470×（7010）6×47×（7+1）×1006×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如1×909），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。“同補”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們在三年級時學(xué)到的15×15，25×25，95×95的速算，實際上就是“同補”速算法。

14、例2 （1）78×38？ （2）43×63？分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38（708）×（308）（708）×30（708）×870×30+8×3070×88×870×308×（3070）8×87×3×1008×1008×8（7×38）×1008×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾

15、相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如3×309），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當(dāng)兩個數(shù)的和是10，100，1000，時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位

16、數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如， 因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，7723100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792？解：（1）（2）計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘

17、積的后2n位，不足的位補“0”。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例4 2865×7265？解： 練習(xí)2計算下列各題：1.68×62； 2.93×97；3.27×87； 4.79×39；5.42×62； 6.603×607；7.693×607； 8.4085×6085。 第3講 高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時

18、代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：123499100？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：110029939849525051。1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷25050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前

19、項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。例1 1231999？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（11999）×1999÷21999000。注意：利用等差數(shù)

20、列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11121331？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11121（項）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。例3 371199？分析與解：3，7，11，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（993）÷4125，原式=（399）×25÷212

21、75。例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=253×（40-1）142，和=（25142）×40÷23340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（13515）×12（

22、115）×8÷2×12768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為369+24（324）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次

23、后，多了2×12×22×102×（1210）2×55110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1210）32×（110）×10÷23113（只）。 練習(xí)31.計算下列各題：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝

24、夜敲打多少次？5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個

25、數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×763整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或12

26、5）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。（6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學(xué)過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。8378003078×1003×1078

27、15;（991）3×（91）78×9983×937（8×993×9）（837）。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x993x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（837）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4）一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6）一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，7

28、89，7756，8865，3728.8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064；能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。例2 在四位數(shù)562中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果562能被9整除，那么56213應(yīng)能被9整除，所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；如果562能被8整除，那么62應(yīng)能被8整除，所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；如果562能被4整除，那么2應(yīng)能被4整除，所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，

29、5692時能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為62×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三

30、位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和270與570都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4 五位數(shù)能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？分析與解：已知能被72整除。因為728×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定B6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A329BA3f296A20，因為lA9，所以21A2029。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代

31、表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？分析與解：因為62×3，且2與3互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3ABABA33A2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求AB，所以符合條件的六位數(shù)共有5×420（個）。例6 要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數(shù)字？分析與解：因為3

32、64×9，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12BC。它應(yīng)能被9整除，因此BC6或BC15。因為B，C應(yīng)盡量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B1，C5。當(dāng)A=0，B=1，C5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷364171。練習(xí)416539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2個位數(shù)是

33、5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4五位數(shù)能被12整除，求這個五位數(shù)。5有一個能被24整除的四位數(shù)23，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？7在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。8學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那

34、么這個數(shù)能被9整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為364573230，30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。但是，當(dāng)一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，如369，459，729，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用

35、剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。例1 求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。只剩下7，6，1，5四個數(shù)，這時口算一下即可?？谒阒?，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。例2 將自然數(shù)1，2，3，依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)1234567891011213如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為

36、9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知123945，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，9都可以劃掉。在199這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，9，也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)除以9余1。在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與12100除以9的余數(shù)相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數(shù)字和為5050=10，利

37、用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。例3 檢驗下面的加法算式是否正確：26384573521983674578512907225。分析與解：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因為01，所以這個算式不正確。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：7832145-21679535664192。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個

38、減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-66知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為66，所以這個減法運算可能正確。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：46876×9537447156412。分析與解：兩個因數(shù)

39、的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×624，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。67，所以這個算式不正確。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。練習(xí)51求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：（1）7468251； （2）36298745；（3）2657348； （4）66782541

40、93。2求下列各式除以9的余數(shù)：（1）6723582564； （2）97256-47823；（3）2783×6451； （4）3477+265×841。3用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）228×22250616；（2）334×336112224；（3）23372428÷62363748；（4）12345÷678983810105。4有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。第6講 數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一

41、個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1363=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為897=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。一個數(shù)除以11的余數(shù)，與

42、它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）41873； （2）296738185。分析與解：（1）（483）（17）÷11=7÷1107，所以41873除以11的余數(shù)是7。（2）奇數(shù)位之和為26315=17，偶數(shù)位之和為978832。因為1732，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。（17+11×2）-327，所以296738185除以11的余數(shù)是7。需要說明的是，當(dāng)奇

43、數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷1114，所求余數(shù)是11-4=7。例3 求除以11的余數(shù)。分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=727，11-7=4，所求余數(shù)是4。例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-18， 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當(dāng)于求

44、最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。例4 用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。例5 用19九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。分析與解：最大的沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)是987654321，由（97531）-（8642）5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?3×2=11，這個數(shù)就能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到

45、奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達(dá)到目的。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。所求數(shù)為987652413。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。分析與解：由99=9×11，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。因為六位數(shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B22+A+B應(yīng)能被9整除，由此推知AB5或14。又因為六位數(shù)能被11整除，所以（A85）（27B）A-B4應(yīng)能被11整除，即A-B+4=0或A-B+4=11。化簡得B-A4或A-B7。因為A+B與A-B同奇同偶，所以有在（1）中，A5與A7不能同時滿足，所以無解。在（2）中，上

46、、下兩式相加，得（BA）（B-A）144，2B18，B=9。將B=9代入AB=14，得A5。所以，A=5，B9。 練習(xí)61為使五位數(shù)6295能被11整除，內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3求能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。4求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485； （2）63582； （3）987654321。5求除以11的余數(shù)。6六位數(shù)5A634B能被33整除，求A+B。7七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。第7講 找規(guī)律（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這

47、一講重點學(xué)習(xí)具有“周期性”變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，是按照0，1，2三個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、這樣排下去。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多

48、少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。（1）100÷1284，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。（2）150÷12=126，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍(lán)燈4×1248（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈481=49（盞）。例2 有一串?dāng)?shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串?dāng)?shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。

49、進一步可推知，第1，5，9，13，個數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，個數(shù)都相同，第3，7，11，15，個數(shù)都相同，第4，8，12，16個數(shù)都相同。也就是說，這串?dāng)?shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25-（3+6+7）=9。這串?dāng)?shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。由77÷491知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為25×19+3=478。例3 下面這串?dāng)?shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串?dāng)?shù)中第88個數(shù)

50、是幾？628088640448分析與解：這串?dāng)?shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位：當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=48知，第88個數(shù)與第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在

51、這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？135761939237134分析與解：無休止地將這串?dāng)?shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各

52、取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子當(dāng)100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表：可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。（100-1）÷4243，所以第100次后的情況與第4次（314）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。 練習(xí)71有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。問：

53、第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2將1，2，3，4，除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。3有一串?dāng)?shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5小明按13報數(shù)，小紅按14報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當(dāng)兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？6A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各

54、1個球；第2個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球當(dāng)100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，9共十種情況，故我

55、們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當(dāng)a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當(dāng)a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按

56、3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個位數(shù)字。分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷42493，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4223，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4723，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3 求28128-2929的個位數(shù)字。解：由128÷432知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。由29÷2141知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。因為69，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16