2018年高考數(shù)學(xué)黃金100題系列第20題函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題理

1、1第 20 題函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題I I 題源探究黃金母題【例 1 1】求函數(shù) f(x)f(x) InxInx 2x2x 6 6 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】1 1.精彩解讀【解析】f x的定義域?yàn)?,.；f 2In2 4 6 0,f 3 In3 6 6 0,由零點(diǎn)存在性定理知f x有零點(diǎn).又f x -2 0, f x在0,上是單調(diào)遞增函數(shù),x【試題來源】人教版 A A 版必修 1 1 第 8888 頁例 1 1 .【母題評(píng)析】本題考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷.【思路方法】判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)可用零 點(diǎn)存在性定理或利用數(shù)形結(jié)合法而要判斷 函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，還需要借助函數(shù)的單調(diào) 性.2fx只有

2、一個(gè)零點(diǎn).IIII .考場(chǎng)精彩真題回放【例 2 2】【20172017 高考江蘇卷第 1414 題】設(shè)f(x)f(x) 疋疋乂在R且周期為 1 1 的函數(shù)，在區(qū)間0,1)0,1)上，f(x)f(x)2x x , ,x D,其中集合x,x, x x D,D,. .n nD Dx x x x是1 1 ,n,n n nN*N*，則方程 f(x)f(x)IgIg x x 0 0 的解的個(gè)數(shù)【答案】8 8【解析】由于f(x)0,1)，則需考慮1x 10的情況，在此范圍內(nèi)，xQ且x Z時(shí)，設(shè)x *,P,q N , p 2,P且p,q互質(zhì).若lg x Q，則由Ig x (0,1)，可設(shè)n*Ig x ,m,

3、n N ,m 2，且m, n互質(zhì).mn因此10mq，則10“(q)m，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊非整pP數(shù)，矛盾，因此Ig x Q因此Ig x不可能與每個(gè)周期內(nèi)x D對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮Ig x與每個(gè)周期x D的部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除1, 0外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均11 .Ig xxln 101，則在x 1附近僅有一個(gè)交點(diǎn),In 10【命題意圖】本題主要考查考查了零點(diǎn)存在 性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷本題能較好 的考查考生分析問題解決問題的能力.【考試方向】這類試題在考查題型上，通常 基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中 等偏易，考查基礎(chǔ)知識(shí)的識(shí)記、 理解與應(yīng)用.【難點(diǎn)中心】解答此類問題

4、，關(guān)鍵在于靈活 選擇方法，如直接求解，或數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為 兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，或借助于導(dǎo) 數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè) 數(shù).為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期x D的部分，且x 1處32,2有_ 個(gè)零點(diǎn).【答案】D.【解析】函數(shù)f X 2x2exi在2,2上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故先考慮其在0,2上有幾個(gè)零點(diǎn).00,f 10, f (2)8 e20, f x在0,2上有零點(diǎn)設(shè)g x；g 00,g 10,g 2點(diǎn).又由g x 0，可得4X1,2且g X!0, gX。且X。0,1從而當(dāng)0f x 4x ex.0, g x在0,2上有零ex 0，設(shè)其解為X1，易知x在0,2上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為

5、X Xg時(shí)，g X 0，即f x 0；當(dāng)x0 x 2時(shí)，g x 0,即fx 0,故x (0,Xc)時(shí)，f (x)為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x (Xc,2)時(shí)，f (x)為單調(diào)遞增函數(shù).又f 00, f 10, f (X0)0, f x在0,2上有唯一零點(diǎn).由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知f x在0,2上有兩個(gè)零點(diǎn).【例 4 4】【20152015 年高考江蘇卷】已知函數(shù)f x ln x,次方程解的個(gè)數(shù)為 8 8.40,0 x 1gxx242,x1，則方程f X gX 1實(shí)根的個(gè)數(shù)為_ .【答案】4 4.【解析】方程等價(jià)于f x g x 1，即f x g x 1或fxg x 1共多少個(gè)根,【命題意圖】本題主要考查

6、考查了零點(diǎn)存在性定理、 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷本題能較好 的考查考生分析問題解決問題的能力.【考試方向】 這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大.【難點(diǎn)中心】一些對(duì)數(shù)型方程不能直接求出5y 1 g x有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共計(jì)4個(gè).III理論基礎(chǔ)解題原理y f x x D的零點(diǎn).2 2 .函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且至少有函數(shù)f x的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)x0a,b，使得f x0(1)f x在a,b上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提;(2)零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”(假設(shè)f x連續(xù))1若fafb0，貝V f x的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以

7、有多個(gè)；2若fafb0,那么f x在a, b不一定有零點(diǎn)；3若f x在a,b有零點(diǎn)，則fafb不一定必須異號(hào).3 3.若f x在a,b上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則fafb 0 f x在a,b的零點(diǎn)唯一.4 4 .函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系：設(shè)函數(shù)為y f x，則f x的零點(diǎn)即為滿足方程f x 0的根，若f x g x h x，則方程可轉(zhuǎn)由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題 以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化.5 5.函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問題中的作用(1 1)函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性

8、定理；作用：通過代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)；1,0 x 1y 1 g x x21,1 x 2，數(shù)形結(jié)合可得：f x與7 x2, x 2y 1 g x有兩個(gè)交點(diǎn)；1,0 x 12 _y 1 g x x 3,1 x 2，同理可得f x與5 x2, x 2其零點(diǎn)，常通過平移、對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)這時(shí)函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵，不僅要研究其走勢(shì)(單調(diào)性，極值點(diǎn)、漸近線等) 而且要明確其變化速度快慢.1 1 .零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)yx x D，我們把方程f x0的實(shí)數(shù)

9、根x稱為函數(shù)a f b 0,那么在開區(qū)間a,b內(nèi)變?yōu)間 xh x，即方程的根在坐標(biāo)系中為g x ,h x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到.6缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無法判斷個(gè)數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān).(2)方程的根：工具：方程的等價(jià)變形；作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)；缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個(gè)數(shù).(3 3 )兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合；作用：前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變

10、為圖形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)通過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù))或者確定參數(shù)的取值范圍；缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)(故當(dāng)方程含參時(shí)，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含x的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察)，另一方面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的平衡.IVIV .題型攻略深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較小若涉及的函數(shù)為分段函數(shù)，則難度加大.【技能方法】1 1.零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但無法直接求出時(shí)，可考慮將方

11、程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi).例如：對(duì)于方程Inxx0,無法直接求出根，構(gòu)11造函數(shù)f x In x x，由f 10, f -0即可判定其零點(diǎn)必在 一，1中.222 2 判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法(1) 解方程，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上.(2) 利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；(3)畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.3 3 斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常見方法(1 1 )直接法：解方程f x 0，方程有幾個(gè)解，函數(shù)f x就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2 2)圖象法：畫出函數(shù)f x的圖象，函數(shù)f x的圖象與

12、x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)將函數(shù)f x拆成兩個(gè)常見函數(shù)g x和h x的差，從而f x 0 g x h x0 gxh x，則函數(shù)f x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y g x與函數(shù)7y h x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4(4)二次函數(shù)f xax2 2bx c a0的零點(diǎn)問題主要從三個(gè)方面考慮：判別式 確定零點(diǎn)是否存在；對(duì)稱軸的位置控制零點(diǎn)的位置；端點(diǎn)值的符號(hào)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【易錯(cuò)指導(dǎo)】對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷需要注意以下兩點(diǎn)：（1 1）函數(shù)f x在a,b上連續(xù)；（2 2）滿足f a f b 0.上述方法只能求變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)于非變號(hào)零點(diǎn)不能用上述方法求解.另外需要注意的是：（1 1）若函數(shù)f x的圖象

13、在x x0與x軸相切，則零點(diǎn)X。通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；（2 2）函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，它是函y f x數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程f x 0的根.V V.舉一反三觸類旁通【例 1 1】【20182018 云南昆明一中高三一?！?若函數(shù)f x x,則函數(shù)y f x logjx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）2A A. 5 5 個(gè) B B . 4 4 個(gè) C C . 3 3 個(gè) D D . 2 2 個(gè)【答案】D D【解析】如圖：函數(shù)f x與函數(shù)g xlogjx有 2 2 個(gè)交點(diǎn)，所以選 D.D.【例 2 2】【20182018 河南漯河高中高三上學(xué)期二?！?已知函數(shù) FWFW 是上的偶函數(shù)，且J-A-v,當(dāng) mlml

14、時(shí)：則函數(shù)汁 g-環(huán)貳的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A A. 3 3 B B . 4 4 C C . 5 5 D D . 6 6【答案】B B【解析】函數(shù)是艮上的偶函熱 可得=f（心 又f （1-x）=4 （可得班三（心 故可-x） =f即備-f（X-2）,即國數(shù)的周期是又妖61吋f（X）7,要研究跚円-logsxft區(qū)間仙習(xí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化曲 h 3 與？-3曲在區(qū)間6 打有幾個(gè)交點(diǎn)如虱 由哥山有四個(gè)交乩故選B.8【例 3 3】【20182018 遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】函數(shù)則函數(shù)h x f xlog4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A A. 2 2 個(gè) B B . 3 3 個(gè) C C .

15、4 4 個(gè) D D . 5 5 個(gè) 【答案】D Dr解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足；/V)二iog4x,則原問題等價(jià)于考查函數(shù)尸嗨產(chǎn)與函數(shù)川刃的交點(diǎn)的個(gè)(1 1 )直接求零點(diǎn)：令 f(x)f(x) = 0 0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2 2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間aa , bb上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(a) f(b)f(b)v0 0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)( (如單調(diào)性、奇偶性) )才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3 3 )禾 9 9 用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不8sin2x x 01f X x2 2數(shù).

16、考查函數(shù)川力的性肚 當(dāng)曽時(shí),據(jù)此可得:xC-1汽2)T14sin2 x2sin2x;當(dāng)2 2SsinSlX- 7T=斗sin2z 當(dāng)一叫盂蘭兀時(shí),7TJT心寸亍據(jù)此可得;，據(jù)此可得:1f12sin2 x sin2x;當(dāng)x224時(shí)，sin1，而log441，則函數(shù)ylogqx與函數(shù)f x在區(qū)間3-上有 2 2 個(gè)交點(diǎn)，很明顯，當(dāng)x2繪制函數(shù)圖象如圖所示，觀察可得：函數(shù)xlog4X的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5 5 個(gè).函數(shù)圖象沒有交點(diǎn),【名師點(diǎn)睛】 函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法:9同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).【答案】C C方程/( =盤有兩個(gè)不相等的實(shí)姍蒔價(jià)于I數(shù)y =C的團(tuán)象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，有團(tuán)可知,f 591

17、“a L廠一u(故選Gi 24【名師點(diǎn)睛】方程的根或函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用方法和思路 (1(1 )直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3(3 )數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.【例 5 5】【20182018 黑龍江海林模擬】設(shè)f X x3bx2cx d，又k是一個(gè)常數(shù)，已知k 0或k 4時(shí),f x k 0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)0 k 4時(shí)，f X k 0有三個(gè)相異實(shí)根，給出下列命題:1f x 40和f x 0有一個(gè)相同的實(shí)根；2f x 0和f

18、 x 0有一個(gè)相同的實(shí)根；3f x 3 0的任一實(shí)根大于f x 1 0的任一實(shí)根；4f x 5 0的任一實(shí)根小于f x 2 0的任一實(shí)根.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A A. 3 3 B B . 2 2 C C . 1 1 D D . 0 0【答案】A A【例 4 4】【20182018 貴州黔東南州第一次聯(lián)考】已知函數(shù)x29x9,x 0 42,x，若方程f xa有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,B B2,C.C.2,5 92 42,【解析】作出函數(shù)f9,x42,x00的圖象如下:10【解析】扌嬲三次囲數(shù)/%） = ,d,滿足對(duì)氏罡一個(gè)常數(shù)當(dāng)0或心4時(shí)，f（x）-k=Q只有一個(gè)實(shí)根，

19、肖0*時(shí)，何-上有三個(gè)相異實(shí)根這樣的條件，商足畫出働（刃的模擬團(tuán) 象如圄；當(dāng)0 k 4時(shí)，fx k 0有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即有極大值，又有極小值，且極小值為0 0,極大值為 4 4，故fx 40與fx 0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，即極大值點(diǎn)，故（1 1）正確.f x 0與f X 0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故（2 2）正確；f x 30有一實(shí)根且函數(shù)最小的零點(diǎn)，f x 10有 3 3 個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)的最小零點(diǎn)，故（3 3）錯(cuò)誤；f x 50有一實(shí)根且小于函數(shù)最小零點(diǎn)，f x 2 0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（4 4）正確；所以 A A 選項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】三次函數(shù)圖象時(shí)，要關(guān)注三次函數(shù)

20、的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正，如果有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么函數(shù)為先再減最后增，滿足對(duì)k是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)k 0或k 4時(shí)，fx k 0只有一個(gè)實(shí)根， 當(dāng)0 k 4時(shí)，fx k 0有三個(gè)相異實(shí)根這樣的條件，說明有極小值為 0 0,極大值為 4 4，據(jù)此可畫出 函數(shù)的模擬圖像，數(shù)形結(jié)合，逐一驗(yàn)證.【例 6 6】【20182018 安徽阜陽臨泉一中高三上學(xué)期二?！恳阎?曰両，若關(guān)于K的方程+ I ）/（x） + m2+ = 0恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 _.【答案】：1痢11時(shí)丁 （町當(dāng)UC占L尸（戈）0八寸仗）在1）上單調(diào)遞聲在（丄，上單調(diào)遞減，在囲4-M）上單調(diào)遞増，可作出代

21、刃犬致巒數(shù)圉象如團(tuán)所示：令-.:,則當(dāng)（ -時(shí)，方程/（z：-：有一解；當(dāng):“時(shí)，方程-.；有兩解；，；制時(shí)，方程m -1有 三解關(guān)于的方程嚴(yán) H，住陽-：）胚巧“亦w：i,恰好有 4 4 個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，.關(guān)于的方程-1：:，故答案為-i. /【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題 加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求 解.g x f x m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】【解析】g x f

22、x m有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意可得x 1時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；x 1時(shí)， 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x 1時(shí)，1 1 1f xInx,f x2x 10恒成立f x1,，故m 1；當(dāng)x 1xx xx【解析】?。篺=両燼）=1 -In*rtl T3-，01 0e -(2m + l)c? + + ?n 0，解得【例 7 7】【20182018 江蘇南通如皋高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)Inx1,x1,x52m2x mxx28若1,12時(shí)，fc2x 2xm 5mx，要使得g x f xm有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足813【例 8 8】【20172017 江西宜春豐城九中、高安二中、宜春一中、萬載中學(xué)、樟樹中學(xué)、宜豐中學(xué)屆高三六校聯(lián)

23、考】11111111已知函數(shù)f x In x 1|，f x m的四個(gè)零點(diǎn) x x1， x x2，x x3， x x4，且 k k 一 一一一，則XiX X2X X3X X4kf k e的值是_【答案】e e2【解析】分類討論求解方程的零點(diǎn)：(I1In x-l|=wsb兀一=尹巧二1+杞1.花二1一尹j(2)血|1|二一肚鼻一1|二嗎二1+嚴(yán)兀二1一曠從而左二丄+丄+丄+丄電擔(dān)此計(jì)算常期jq碼 斗皿冷的值是宀【例 9 9】【20182018 遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.(1(1 )求函數(shù)卜的解析式；(2(2)若方程皿7在1上有且僅

24、有一個(gè)實(shí)根，求【解析】試題分析：(1 1)借助平移的知識(shí)可以直接求出函數(shù)解析式(2 2)先換元才二，將問題轉(zhuǎn)化為= 有且只有一個(gè)根，再運(yùn)用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解.(1 1) 孑(2 2)設(shè)才二【，則任1.2|1.2|, ,原方程可化為= = 0 0，于是只須= 在-二 1 1.刀上有且僅有一個(gè)實(shí)根. 6 = 0da2t=-rI-2法 1 1：設(shè)WW-m,對(duì)稱軸，則“，“或 I I 2 2a afafa2 2+ + 4u4u = = 0 02冬口討由得；【-加)(4 4 - - 3 3 町 (：,即 加-1J-1J -4)c-4)c Z Z 3 3 .由得!. 2 2 u u *1*1

25、 無解，則 2 21 11 111111 1 I I 1111, ,2o5mm80,82mm m -，綜上可得 1,1,7 7，故答案為4 44 4的取值范圍.【答案】(1)(1)(2)(2)，解得 1 114法 2 2：由-汎-口二 D D, , f fll2 2，得 t t, ,吐1122, ,設(shè) ，則 2 2,.15記機(jī)1 1 色則期=+ 在刁 上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須即I 4 a -從而【名師點(diǎn)睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時(shí)可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問題，根據(jù)題目要求,如需要分類討論，再加入分類討論.【例 1010】【江蘇揚(yáng)州模擬】(1)若a2, 求f X(2)

26、若a2,寫出f(3)若存在a2,4【答案】(1 1)fxmaxa 2,a(3 3)1 t298設(shè)2x( (aR)R)在區(qū)間0,3上的最大值;x的單調(diào)區(qū)間;，使得方程f x tf a有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍.f 39(2 2)f x的單調(diào)增區(qū)間為和a,，單調(diào)減區(qū)間2【解析】試題分析：首先巴甘2代入函數(shù)式口分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成分段團(tuán)數(shù)，根據(jù)函數(shù)團(tuán)象看 出函數(shù)的里刪L在閉區(qū)間6 刃上求出函數(shù)的最大值j第二步先去掉絕対值符號(hào)，扌賜條件說利用二次函數(shù)研究單調(diào)性 第三步注意耳往卜2, 4)11,所臥分從-2到2區(qū)間以及從2到4區(qū)間兩種情況分別 考慮，借助轉(zhuǎn)化思想求出t的范圍.試題解析:

27、(1)當(dāng)a 2時(shí)，f xxx 2 2x= =2x2x ,4x,x 2x 2 f x在 R R 上為增函數(shù),0,3上為增函數(shù)，則fmax(2)2x2xa x,xa時(shí),a時(shí),函數(shù)，則fx,xx在a,為增函數(shù)，2-為增函數(shù)，在2竽,a為減x的單調(diào)增區(qū)間為匚2和2a,，單調(diào)減區(qū)間a2 ,a2162時(shí)，f x為增函數(shù)，方程不可能有三個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,(3(3)由(2 2)可知，當(dāng)2 a17【答案】（1 1）1 m 3或m 2； （2 2）a,.e 2【解析】試題分祈：（1）研究國數(shù)的單調(diào)性找常國數(shù)和所研知雪數(shù)的交點(diǎn)Q）分段巒數(shù)恒成立 宋參，分段求旨段的最值，每段上的最値都 kp.解析：當(dāng)“0時(shí)，廣00=的

28、？_6廠 令廣（力=0曲尋令/得“I丁（兀）遞增段討論最值即可.4時(shí)，由（2)得fa tf a,2aa 22at42a 2在8a2a 22,4有解，由8a2,4上為增函數(shù),4時(shí),a8a2的最大值為9，則18【例1111】【20182018 海南中學(xué)、文昌中學(xué)、?？谑械谝恢袑W(xué)、農(nóng)墾中學(xué)等八校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)x嚴(yán)33x21，X 0，其中a 0.2axeX1,x 0（1 1）若直線 y ym與函數(shù)f x的圖象在0,2上只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍;(2)若f Xa對(duì)x R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍./f01,f23,由數(shù)形結(jié)合可得1 m3或m 2.(2 2) 當(dāng)x0時(shí)，f x2a x 1 ex,a0，令

29、f x0得x1;令f x0得1x0,f x遞增；令fx 0得x1,fx遞減，. f:x在x1處取得極小值，且極小值為f彳2a彳11 , a0,2a1 0，-t2a當(dāng)12即0 a-時(shí),eee2f xminf 12,a 2，即a 2,無解,當(dāng) -空1e2即a時(shí),e22a2a eeeef xf 11, a1,即a，又-，amaxeee 2e2 2e 2綜上，aeJe 2令fx 0得0 x 1,f x遞減,x在x 1處取得極小值，且極小值為f 12,【名師點(diǎn)睛】函數(shù)交點(diǎn)問題，研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值，求參；恒成立求參，對(duì)于分段函數(shù)來講，分18【跟蹤練習(xí)】191 1 .【20182018 江蘇南寧模擬

30、】設(shè)函數(shù)“爐m:，貝 y y 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A A. 3 3 B B . 2 2 C C . 1 1 D D . 0 0【答案】B B【解析】 由題意可得毛詈， 導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)為所以跚恥他 單調(diào)通增， 在&十 單調(diào)遞減；略=-4為 VDln2亠弓0 J(滬)=8-2= 0.由a”弋叮(擁)f所以函數(shù)在缶卻心兇啟有一零為所以專點(diǎn)個(gè)數(shù)為工個(gè)，選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)數(shù)零點(diǎn)問題，常根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來判斷，如果函數(shù)y y= f(x)f(x)在區(qū)間a a , b b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有 f(a)f(a) f(b)0f(b)QP即加在(QHD)上里調(diào)邊魯 同理可得：航在(TG.O)上單調(diào)遞減用

31、)“現(xiàn)口,故h(h(Q = Q,所以不存在審點(diǎn).【答案】A A【評(píng)注】(1)本題由于f x解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決;0呈現(xiàn)出f x輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形xf x后可得0,而g x的零點(diǎn)問題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的xf x相聯(lián)系，從而構(gòu)x造出h x.4 4.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f x滿足對(duì)x R，有f x 2f x2x212x 18，若函數(shù)y f x logax 1在0,( )0舍 D D .0沓【答案】B.B.當(dāng)x 0時(shí)，fx(2(2)所給不等式f x f 1，且當(dāng)x 2,3時(shí),上至少有三個(gè)

32、零點(diǎn)， 則a的取值范圍22【解析】現(xiàn)的是間隔2個(gè)單位的自孌量，其函數(shù)值差，聯(lián)壇惆期性，考 慮先求出/的值，宙/（刃対偶函數(shù)，可令乂 =1,得（1）=/（-1）-/（1）,. ./（A+ 2）=/（X）,心為周期是2的周期國數(shù)已知條件中SI數(shù)7=人刃-1嗎伽+1）有三個(gè)軍 鼠 可將露點(diǎn)問題蒔化為方程/（工）-1。気（閏十1）二0即于（巧二lo肌佃十1）至少有三個(gè)根，所以_/（力與y = logffl（|x|+l）有三個(gè)交點(diǎn).先剎用/（乂）在*E2.3的國數(shù)解折式及剛性時(shí)稱性作團(tuán)，通過團(tuán)像可蒔2 1時(shí)，不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)j考慮“Xi的團(tuán)像設(shè)貞蓋）=1。5兀則F =（岡十1）=耳（兇十1）,利用團(tuán)像孌換

33、作團(tuán)，適或I嚓可 只需當(dāng)工時(shí)，r=iogfl（|x|+i）的團(tuán)像在應(yīng)筑）上萬即可，即 闔|2|十1 af2） = -2呃3a么呃/所以存3亠 s 孚【評(píng)注】本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：（1 1）f x的周期性的判定：f x 2 f x f 1可猜想與f x周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出f 1，進(jìn)而判定周期，配合對(duì)稱性作圖；（2 2） 在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，f x的圖像可做，且y logax 1可通過圖像變換做出.5 5 已知定義在R上的函數(shù)f x滿足f x 2 f x，當(dāng)x 1,3時(shí)，f x訥t 12x ,xx 21 1，其中t,x 1,30，若

34、方程3f xx恰有二個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )4242A A.o,B B-,2C C- ,3D D.一233333【答案】B.B.24【解析】由/匕斗2）/匕）可得/（習(xí)=/（巧和/（刃的周期為 4 所解方程可視 為y=f）與貞力詣的交點(diǎn)而f的作用為影響了胡1十-町團(tuán)像直線的斜率，也絕對(duì)此段的最值 兒刃兒先做出加=扌的圖像,再根據(jù)三個(gè)交點(diǎn)的條件作出/（刃的圖像如團(tuán)片可岌現(xiàn)只要在乂 =2皿 /（刃的團(tuán)像高于戒乂）團(tuán)像且在土=應(yīng)竝/（刃的團(tuán)像（刃團(tuán)像即可.所以有ft2 t -312x 1，x 1，貝y函數(shù)g x2xf x 2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)x 4x 2, x 1,為_ 個(gè).【答案】2.7

35、.7.【20182018 全國名校第二次大聯(lián)考】 函數(shù)f x有 4 4 個(gè)零點(diǎn)，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數(shù)解析式是（），即2t【解析】g x 2岡f x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是方程22x的根的個(gè)數(shù)，也就是的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出y2x與yx的圖象，如圖所示，由圖象知y22x的圖6 6.【20182018 廣東廣州模擬】已知函數(shù)象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g x有2個(gè)零點(diǎn).y25【答案】D D【解析】根據(jù)圖像及零點(diǎn)的意義可知圖僚為兩個(gè)國數(shù)的交區(qū) 分別為y=sinx和y = |際|. 故/（X）=SIHX-1E 故選D.得解：本函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好

36、求解就轉(zhuǎn) 化為哪個(gè)，判斷函數(shù)y f x零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1 1）直接法： 令f x 0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2 2）零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f a f b 0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性 ）可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3 3）數(shù)形結(jié)合法： 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一 個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性， 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.8.8.【2

37、0182018 四川綿陽高三第一次診斷性考試】 函數(shù)卜滿足,且當(dāng)丄-S-S . .時(shí)，丁；=汨.若 函數(shù)卜 pml 的圖象與函數(shù)（ I,I,且 1 1 八|）的圖象有且僅有 4 4 個(gè)交點(diǎn)，則 的取值集合為（ ）A A.： B B .C C 隠 D D .【答案】C C【解析】因?yàn)楹瘮?shù) 也工：滿足，所以函數(shù)的周期為又在一個(gè)周期-蟲1 1 內(nèi)，函數(shù)解析式為負(fù)門一 .-丫，所以可作出函數(shù)圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù):.y畑沖的圖象，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，只需 駅可二巾用=:，所以口二，故選 c.c.9 9.【20182018 安徽十大名校高三1111 月聯(lián)考】若函數(shù)f xsinx x,x

38、 132x 9x 24 x m, x 1有 4 4 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)A A.16,20B B20, 16C C .,2016,D D .,1620,【答案】B B【解析】當(dāng)x1時(shí)，fx cosx 10恒成立，又f 00,則函數(shù)f X在,1上有且只有 1 1 個(gè)零點(diǎn)；sinx Igxx sinxIgx262當(dāng)x 1時(shí)，函數(shù)f x 3x 18x 24 3 x 2 x 4，則函數(shù)f x在1,2上單調(diào)遞增，在2,4上單調(diào)遞減，在4,上單調(diào)遞增，所以此時(shí)函數(shù)f x的極大值為f 2 2m，極小值為f 416 m f 1,要使得f x有 4 4 個(gè)零點(diǎn)，則16 m 0，解得20 m 16，故

39、選 B B.20 m 0【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍問題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，禾U用函數(shù)的極值求解是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.10.10. 20182018 江蘇淮安盱眙中學(xué)高三第一次學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)f x2x2m的圖象與函數(shù)g x In x的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 _ .1【答案】,1In22【解析】由于圉數(shù)/（刃和函數(shù)雷（勿制是偶函如 圖象關(guān)于$揶寸積 故這兩個(gè)囲數(shù)

40、在上有兩個(gè)A（JC）= 4x- ,令用0 = 0可得工=丄丿由 =0可得4-wa-lnx在x2x1 121，+上個(gè)遞增，由h x 4x 0可得函數(shù)h x 2x m Inx在0,-上個(gè)遞減，所以函2x2211 11 1數(shù)h x2x2m Inx最小值為h 2mln，令h 0，可得m In2，此時(shí)函2 2 2 2 2數(shù)h x2x2m Inx有兩個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f x2x2m的圖象與函數(shù)g x In x的圖象有四個(gè)交1點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為，1In2，故答案為2【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，屬于難題函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)

41、好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判斷函數(shù)y f x零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1 1）直接法： 令f x 0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2 2）零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f a f b 0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性 ）可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3 3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)In227個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間28內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要 利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.1

42、1,0 x 11111. 20182018 安徽滁州高三 9 9 月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)】已知f x f X 1，若方程X, 1 X 0f x ax 2a 0 a 0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _.7-7 + =-+ 1 ./(乂-1)X-1若方程于(兀)-皿+加“仗工耳有唯一解即/(x)=or-2a ,有唯一解. 作出y=fx)和y =a-2a的團(tuán)象根據(jù)題意兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn).3【名師點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題,(1 1 )利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；(2 2 )分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參 數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3 3 )轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.1212. 20182018 遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已