一題多解曲線的公切線

1、例：(2016 全國 2 卷 16)若直線ykxb是曲線y1nx2的切線，也是曲線y1n(x1)的切線，則b【分析】考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線公切線方程的求解，是基礎(chǔ)中檔題，難點(diǎn)是整體法消元解方程組。又2Inx1方法二、參數(shù)法:題多解曲線的公切線【解析】方法一、常規(guī)解法:設(shè)ykxb與y1nx2和y1n(x1)分別切于點(diǎn)(為,%)、(x2,y2),則曲線y1nx2的切線方程為:1.x1nxi1.x1曲線y1n(x1)的切線方程為:1x1n(x21)x2+1X2x2+1Xx2+11nxiln(x21Inx111n(x21)-xx2+1Inx111n(x2x2,解得x11);x2+1kxb與y1nx

2、2和y1n(x1)分別切于點(diǎn)(x1,y1)、(x2,y2).x1kxf+v即x1rViy21nx1221nk.y11,而1n(x21)1nky2kx1b1bkx2b1kb21nk1b故1nk1kb兩式相減得：k2,所以b11n2.方法三、數(shù)形結(jié)合法(平移)：設(shè)ykxb與ylnx2和yln(x1)分別切于點(diǎn)(x1，y1)、M).函數(shù)yInx2和yln(x1)都是由yInx平移而來，一個向上平移 2 單位，一個向左平移 1 單位，故切線的斜率k2.(只有是同一個函數(shù)平移成兩函數(shù)，才能應(yīng)用)由ylnx2得k21，即x11,故y11nxi22ln2x12將切點(diǎn)(1,2ln2)代入y2xb,可得b1ln

3、2.2深化應(yīng)用：12.1.若曲線yx2與曲線yalnx在它們的公共點(diǎn)P(s,t)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)a的值2e為()A.2B.1C.12D.2C【解析】曲線y：x2的導(dǎo)數(shù)為：y-x在P(s,t)處的斜率為：k-;2eee曲線ya1nx的導(dǎo)數(shù)為：ya,在P(s,t)處的斜率為：k2.曲線yx2xs2e與曲線yalnx在它們的公共點(diǎn)P(s,t)處具有公共切線，可得9且并essa且t工s2,talns即es解得lns1,解得s2e.可2e12，2，salns2e得a1.2.若曲線G：yax2(a0)與曲線C2：yex存在公共切線，則a的取值范圍為()切線重合，則a的取值范圍是()像可知x10 x2

4、,則函數(shù)fx在A(x1,y1)處y(x；xa)(2x11)(xX),即y(241)xx；a;函數(shù)fx在B(x2,y?)處切線方程為yInx2(xx2),即y-xInx21；依題意兩切線重合，x2x22x111知x2,由x0 x2知01。所以2.x2x1aInx2122A,)B嗚2CT,2e)D.(0,-4C【解析】Ci：yax2(a0)；C2：yex,yex.設(shè)公切線與Ci：yax2(a0)切于點(diǎn)/一2、(x1,ax1),與C2:yex切于(X2,e、2),則2axi422x2eax1ex2x1,可得2X2Xi2所以a月1e22x1f(x)之1e2(x2)2(2x1)2知在x(0,2)時,(X

5、)0,即f(x)在x(0,2)上單調(diào)遞減，x(2,)時,(x)0,即f(x)x(2,2)上單調(diào)遞增，f(x)m.3.已知函數(shù)fx2xInxxax0,若函數(shù)x0fx的圖象在點(diǎn)A、B處的A.(1,)B.(In2,)C.(2,1)D.1,2A解析設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)為此函數(shù)上兩點(diǎn),且xix2,觀察函數(shù)圖切線方程為g(t)l(t1)2lnt1(0t1),貝Ug(t)4在0t1上是單調(diào)遞減函數(shù)，則g(t)*1)；/0,所以g(t)g(1)1,又當(dāng)t0時，g(t)所以a的取值范圍是（1,）.【點(diǎn)撥】從切線重合（即同一條切線）得到兩切點(diǎn)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化所求變量a與其中一個切點(diǎn)變量的函數(shù)關(guān)系，考查化歸轉(zhuǎn)化與函數(shù)的思想,構(gòu)造函數(shù)，并