簡(jiǎn)諧振動(dòng)與頻譜

1、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系力學(xué)與工程科學(xué)系 二00三年八月一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三角函數(shù)表示法一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三角函數(shù)表示法 )sin()(tAtxfT12f2特點(diǎn)：（特點(diǎn)：（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)是等幅振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是等幅振動(dòng)。（2）是最簡(jiǎn)單的周期振動(dòng)。是最簡(jiǎn)單的周期振動(dòng)。 )()(nTtxtx 簡(jiǎn)諧函數(shù)簡(jiǎn)諧函數(shù)二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法 任意簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量任意簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量A來(lái)表示來(lái)表示。 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A在鉛垂軸上的投影表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)，旋轉(zhuǎn)矢在鉛垂軸上的投影表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)，旋轉(zhuǎn)矢量量A的模就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，它的旋轉(zhuǎn)角速度就是簡(jiǎn)諧的模就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，它

2、的旋轉(zhuǎn)角速度就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。振動(dòng)的圓頻率。 速度、加速度也可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示。速度、加速度也可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示。 旋轉(zhuǎn)矢量 旋轉(zhuǎn)矢量三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示法三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示法1i)sin()cos(AtiAtAtitiitieeeAeAF)(AiFeAA 復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量 復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量ImAImAImFtiitieAeex)sin(Im)(tAAeti復(fù)振幅復(fù)振幅三種表示方法各有特點(diǎn)：三種表示方法各有特點(diǎn)： 三角函數(shù)三角函數(shù) 表示法形式簡(jiǎn)單，比較直觀；表示法形式簡(jiǎn)單，比較直觀； 矢量表示法矢量表示法 幾何意義十分明確；幾何意義十分明確； 復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法 便

3、于分析計(jì)算。便于分析計(jì)算。以后若不加說(shuō)明，即表示省略虛部符號(hào)以后若不加說(shuō)明，即表示省略虛部符號(hào) ，即，即Im)(AtitiitiFAeAeex)(AtitiFAeieix )(22AtitiFAeex 3 , 2 , 1 )()(nnTtxtx)sincos(2)(1110tnbtnaatxnnnTnTnTtdtntxTbtdtntxTadttxTa110sin)(2 cos)(2)(2T21基頻：基頻：02/T可取可取，或，或傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù))sin(2)(110nnntncatxnnnnnnbabacarctg ,22 表示周期振動(dòng)的表示周期振動(dòng)的平均值；平均值； 是頻率為是頻率為 的

4、簡(jiǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅；諧振動(dòng)振幅； 為相位角為相位角。20anc1nn 周期函數(shù)的頻譜圖周期函數(shù)的頻譜圖相頻譜圖相頻譜圖幅頻譜圖幅頻譜圖例例1-11-1已知矩形波如圖所示，試作出諧波分析。已知矩形波如圖所示，試作出諧波分析。解：圖示矩形波為周期性方波解：圖示矩形波為周期性方波TtTPTtPtP2 20 )(00計(jì)算傅氏系數(shù)：計(jì)算傅氏系數(shù)：02202000TTTdtPdtPTa0coscos22021010TTTndttnPdttnPTa 矩形波矩形波矩形波的傅氏級(jí)數(shù)為矩形波的傅氏級(jí)數(shù)為:tnbtPnn11sin)(tnnPn15 , 3 , 10sin14)5sin513sin31(sin4111

5、0tttP 矩形波的振幅頻譜圖矩形波的振幅頻譜圖nPPn04 考慮傅里葉級(jí)數(shù)前三項(xiàng)的影響考慮傅里葉級(jí)數(shù)前三項(xiàng)的影響 基頻的諧波分量基頻的諧波分量占主要地位，它的幅占主要地位，它的幅值最大。值最大。 在基頻分量上迭在基頻分量上迭加上三階諧波分量得加上三階諧波分量得到的波形已逐漸接近到的波形已逐漸接近矩形波。矩形波。 若再迭加上五階若再迭加上五階諧波分量，已近似諧波分量，已近似于矩形波。于矩形波。用復(fù)數(shù)形式表示傅里葉級(jí)數(shù)用復(fù)數(shù)形式表示傅里葉級(jí)數(shù))sincos(2)(1110tnbtnaatxnnntintintintineeitneetn11112sin21cos11tinnnntinnnneib

6、aeibaatx11110222)(an是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，bn是是n的奇函數(shù)，即：的奇函數(shù)，即：nnaannbb根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式：例例1-2 1-2 圖示的矩形脈沖在一個(gè)周期內(nèi)可以表示為：圖示的矩形脈沖在一個(gè)周期內(nèi)可以表示為： 其中其中T為周期，為周期，t1為脈沖為脈沖寬度。求寬度。求x(t)的復(fù)數(shù)形式的的復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并畫(huà)出傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并畫(huà)出t1=T/3時(shí)的頻譜圖。時(shí)的頻譜圖。22 022 22 0)(11101TtttttxttTtx 矩形脈沖矩形脈沖解：解：dtexTXtttinn2201111因?yàn)橐驗(yàn)?2T22101111tttinneinTxXd

7、txTXtt22001110n時(shí)時(shí)dtentnxtxtinn12sin)(1102sin110tnnxTtx102sinlim1100tnnxn 矩形脈沖傅里葉譜圖矩形脈沖傅里葉譜圖 相鄰兩條譜線(xiàn)之間的距離為相鄰兩條譜線(xiàn)之間的距離為 ，如果脈沖寬度，如果脈沖寬度不變，而周期不變，而周期 T 變得越來(lái)越大，譜線(xiàn)就會(huì)變得越來(lái)越密集。變得越來(lái)越大，譜線(xiàn)就會(huì)變得越來(lái)越密集。T21 兩個(gè)頻率比為無(wú)理數(shù)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行合成，其兩個(gè)頻率比為無(wú)理數(shù)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行合成，其合成的結(jié)果就是一種非周期的一般振動(dòng)。合成的結(jié)果就是一種非周期的一般振動(dòng)。tBtAx2sinsin有阻尼的衰減振動(dòng)有阻尼的衰減振動(dòng))sin()(t

8、Aetxdtn矩形脈沖函數(shù)矩形脈沖函數(shù)取其余值tttxtx 00 )(00非周期的一般振動(dòng)不能應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)作譜分析非周期的一般振動(dòng)不能應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)作譜分析 一個(gè)一般函數(shù)可以用傅里葉積分表示，只要一個(gè)一般函數(shù)可以用傅里葉積分表示，只要它是分段單調(diào)連續(xù)，而且是絕對(duì)可積的，即：它是分段單調(diào)連續(xù)，而且是絕對(duì)可積的，即：dttx )( 非周期振動(dòng)函數(shù)非周期振動(dòng)函數(shù)收斂收斂tinnnTneXtx )(21lim)(T當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,d,n得到得到:deXtxti)(21)(dtetxXTTtiTnn22)( dtetxXti)()(傅立葉積分傅立葉積分傅立葉變換傅立葉變換)(F)(txX傅立葉逆變

9、換傅立葉逆變換)(F)(-1Xtx若用頻率若用頻率 代替代替 ，則表示為：，則表示為： fdfefXtxtfi2)()(dtetxfXtfi2)()(傅立葉變換對(duì)傅立葉變換對(duì) 一個(gè)非周期振動(dòng)可以表示成一個(gè)非周期振動(dòng)可以表示成無(wú)窮簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊無(wú)窮簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加加，這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)的，這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不是離散分布頻率不是離散分布，而是連而是連續(xù)分布續(xù)分布。是是 的復(fù)數(shù)函數(shù)的復(fù)數(shù)函數(shù))(X)(tx)(X也稱(chēng)為也稱(chēng)為 的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。例例1-3 1-3 求圖示單個(gè)矩形脈沖的傅里葉積分，并作出頻譜圖。求圖示單個(gè)矩形脈沖的傅里葉積分，并作出頻譜圖。解：解： 單個(gè)矩形脈沖單個(gè)矩形脈沖 tttttxtttx2 02 2 2 0)(11101的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為：)(tx )()(dtetxXti22011 tttidtex2sin2 10tx的傅立葉積分為：的傅立葉積分為：)(txdetxtxti2sin221)(10計(jì)算出頻譜函數(shù)的值為：計(jì)算出頻譜函數(shù)的值為：2sin2)(10txX22sin1101ttxt 單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖非周期振動(dòng)頻譜圖的譜線(xiàn)是連續(xù)分布而不是離散分布。非周期振動(dòng)頻譜