彎曲應力的推導 1

1、彎曲應力的推導彎曲應力的推導純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力純彎曲純彎曲橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的切應力橫力彎曲時的切應力LaaFFFFF圖sF(+)(-)-FFa(+)M-圖圖純彎曲純彎曲梁彎曲變形時，梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩而無剪橫截面上只有彎矩而無剪力（力（ ）。）。0, 0sFM0, 0sFM橫力彎曲橫力彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又時，橫截面上既有彎矩又有剪力（有剪力（ ）。）。純彎曲純彎曲橫力橫力彎曲彎曲橫力橫力彎曲彎曲純彎曲時，橫截面上有正純彎曲時，橫截面上有正應力而無切應力應力而無切應力純彎曲純彎曲等直梁純彎曲梁正應力分析等直梁純彎曲

2、梁正應力分析前提前提: :(a)(a)小變形小變形, ,在彈性變形范圍內在彈性變形范圍內(b)(b)滿足對稱彎曲條件滿足對稱彎曲條件(c)(c)純彎曲純彎曲實驗觀察實驗觀察: :2.凹邊縮短，凸邊伸長凹邊縮短，凸邊伸長(d)(d)縱向纖維間無擠壓縱向纖維間無擠壓1.橫向線保持為直線；縱橫向線保持為直線；縱向線與橫向線依然垂直。向線與橫向線依然垂直。橫向線保持為直線；縱向線與橫向線依然垂直。橫向線保持為直線；縱向線與橫向線依然垂直。由現(xiàn)象由現(xiàn)象1梁在純彎曲時的梁在純彎曲時的平面假設平面假設： 梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線

3、，只是橫截面繞某一軸旋轉了一個角度。變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉了一個角度。由現(xiàn)象由現(xiàn)象2中性層中性層中性軸中性軸凹邊縮短，凸邊伸長凹邊縮短，凸邊伸長中性層中性層桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不縮短的層面。又不縮短的層面。中性軸中性軸中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。理論分析理論分析（1 1）變形幾何關系）變形幾何關系變形后變形后P曲率中心曲率中心y任意縱向纖維至任意縱向纖維至中性層的距離中性層的距離 中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑mmnndxooabyabaabbonmPod純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力縱向纖維縱向纖維bb:變形

4、前變形前 oobbd變形后變形后 bb dy)( 所以縱向纖維所以縱向纖維bb的應變?yōu)榈膽優(yōu)?bbbbdddy)(dydy橫截面上距中性橫截面上距中性軸為軸為y y處的軸向變處的軸向變形規(guī)律。形規(guī)律。y.,1yCmmnndxooabyabPaabbonmod（2 2）物理關系）物理關系-應力分布規(guī)律應力分布規(guī)律在線彈性范圍內，應用胡克定律在線彈性范圍內，應用胡克定律EyE對一定材料，對一定材料，E=常數(shù)常數(shù)；對一定截面，對一定截面，.常數(shù)y橫截面上某點處的應橫截面上某點處的應力與此點距中性軸的力與此點距中性軸的距離距離y y成比例。成比例。；時當0,0y.,maxmax時當yyyz中性軸中性

5、軸M（3 3）靜力平衡關系）靜力平衡關系z(中性軸中性軸)y(對稱軸對稱軸)xMM由由 得得0 xFdAA=0將將( (* *) )式代入，得式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z軸通過截面形心，即軸通過截面形心，即中性軸通過形心，并垂直于載荷作用面中性軸通過形心，并垂直于載荷作用面。dAdA(*)yEzS 截面對z軸的靜矩考慮平衡條件考慮平衡條件0yM0)(zdAMAyAdAyzE0AyzdAE0yzIz(中性軸中性軸)y(對稱軸對稱軸)xMMdAdAyzI截面對y、z軸的慣性積Y軸是截面的對稱軸軸是截面的對稱軸所以所以0yzI(*)yE考慮平衡條件考慮平衡條件MMz

6、ydAMAz)(AdAyE2MdAyEA2MIEzz(中性軸中性軸)y(對稱軸對稱軸)xMMdAdAzI 截面對截面對z軸軸(中性軸中性軸) 的慣性矩的慣性矩(*)yE可得可得撓曲線的曲率方程撓曲線的曲率方程：zEIM1zEI抗彎剛度抗彎剛度。正應力的計算公式為正應力的計算公式為zIMy橫截面上最大正應力為橫截面上最大正應力為zIMymaxmaxmax/ yIMzzWMMIEzyE抗彎截面模量抗彎截面模量maxyIWzz截面的截面的抗彎截面模量，抗彎截面模量，反映了截面反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響。的幾何形狀、尺寸對強度的影響。矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：矩形、圓形

7、截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：豎放：豎放：,1213bhIz261bhWzzbhz hb,1213hbIz261hbWz平放：平放：zd,644dIz,323dWz)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWzdzD純彎曲純彎曲推導得到的結果可推廣到推導得到的結果可推廣到橫力彎曲橫力彎曲的梁。的梁。前提：前提： 細長梁，即梁的跨高比細長梁，即梁的跨高比L/ /h55時，其誤差時，其誤差 不大；不大；zIMy橫力橫力彎曲時的正應力彎曲時的正應力 有一模量為有一模量為E 1 的矩形截面懸臂梁的矩形截面懸臂梁AB ， A 端固定，端固定， B 端自端自由。梁長為由。梁長為

8、L ，截面高度為，截面高度為h1 ，寬度為，寬度為b 。梁上表面粘著模量。梁上表面粘著模量為為E2 = 2E1 的增強材料層，該層高度的增強材料層，該層高度h2 = 0.1h1 ，長度和寬，長度和寬度與梁度與梁AB相同。工作臺面相同。工作臺面D距離距離B端下表面高度為端下表面高度為。在在B端作端作用垂直向下的載荷用垂直向下的載荷 FP 。不考慮各部分的自重。不考慮各部分的自重。（1）求組合截面中性軸的位置。）求組合截面中性軸的位置。（2）求使梁）求使梁B 端下表面剛好接觸端下表面剛好接觸D 臺面所需的力臺面所需的力 FP 。（3）求此時粘接面無相對滑動情況下的剪力。）求此時粘接面無相對滑動情況

9、下的剪力。（4）計算梁的剪應力值并畫出其沿梁截面高度的分布圖。）計算梁的剪應力值并畫出其沿梁截面高度的分布圖。xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分幾種截面形狀討論彎曲切應力分幾種截面形狀討論彎曲切應力一、矩形截面梁一、矩形截面梁( /)sF1 1、橫截面上各點的切應力方向平行于剪力、橫截面上各點的切應力方向平行于剪力2 2、切應力沿截面寬度均勻分布、切應力沿截面寬度均勻分布關于切應力的分布作兩點假設：關于切應力的分布作兩點假設：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz彎曲切應力彎曲切應力dxm1n1nmMM+dMypp1m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1AyIMAy

10、IMApnAzzAAdddF:111N111AyIMMnpAzddF:1N2111xbFppdd:s1討論部分梁的平衡討論部分梁的平衡0dddd , 01111xbAyIMAyIMMXAzAzAybIxMAzd)1(dd11*szzF SI bd,dsMFx,d*11zASAym1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1b矩型截面的寬度矩型截面的寬度bISFzzS* yA*z整個橫截面對中性軸的慣性矩整個橫截面對中性軸的慣性矩zI距中性軸為距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩Sz*切應力沿截面高度的變化規(guī)律切應力沿截面高度的變化規(guī)律 沿截面高度的變化由靜矩沿截面高度的變化由靜矩 與與y之間的關系確定之間的關系確定Sz* *d1*AzAyS)4(2d