高數(shù)A1知識(shí)點(diǎn)回顧

1、定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小 .0sinlimxxx二、 極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 . 若若推論: 若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf則則.BA定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理利用極限與無窮

2、小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明證明 .: 定理定理 4 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )BA定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00

3、ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)定理定理7. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時(shí)時(shí),)(ax 又又,)(limAufau則有則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim極限存在準(zhǔn)則Axfxx)(lim0:nx,0 xxn),(0nxxnAxfnn)(lim有有)(nxf定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義有定義, )(0nxxn且且.)(limAxfnn有有: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個(gè)數(shù)列找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個(gè)趨于

4、找兩個(gè)趨于0 x的不同數(shù)列的不同數(shù)列nx及及,nx使使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nxxx1sinlim0不存在不存在 .二、導(dǎo)數(shù)()的定義0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000切線方程切線方程:000()()fxyyxx法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x注意注意: 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyo在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).xy 處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(定理定理1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)()(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),

5、)(baCxf定理定理3. 函數(shù)函數(shù)例例. . 函數(shù)在函數(shù)在0 0處連續(xù)但不可導(dǎo)。處連續(xù)但不可導(dǎo)。注意注意: )()(00 xfxf？一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv積、在點(diǎn) x 可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則( )定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufx

6、y 在點(diǎn) x 可導(dǎo),關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).思考題)0, 0(ybaaxxbbaybax，求求已已知知： 數(shù)數(shù)。提提示示：對(duì)對(duì)等等式式兩兩邊邊取取對(duì)對(duì)來來解解決決。對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)恒恒等等式式可可以以利利用用形形如如下下節(jié)節(jié)課課再再討討論論）但但對(duì)對(duì)于于種種方方法法叫叫對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法然然后后求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的方方法法，這這取取兩兩邊邊取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)時(shí)時(shí)，往往往往采采形形式式的的函函數(shù)數(shù)和和形形如如對(duì)對(duì)于于表表達(dá)達(dá)成成積積、商商、冪冪xexlng(x)g(x)f(x)(f(x) ).0( ,ln xxbxabayy四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函

7、數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )( x1 x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x 2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)

8、在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有都有 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) , 則則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù)為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲() 公式公式)(xuu 及及)(xvv 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)vunn) 1(高階導(dǎo)數(shù)的基本公式高階導(dǎo)數(shù)的基本公式)0a (alna)a (nx)n(x)2nxsin()x

9、(sin)n()2nxcos()x(cos)n(n1n)n(x)!1n() 1()x(lnnm)n(mx) 1nm() 1m(m)x(n)n()ax)(1n() 1()ax(隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y)(xfy , )(0 xfAxxfy)(d0定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x二、二、 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(

10、xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax(s ) )(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(limxFxfax)()(limxFxfax(洛必達(dá)法則)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的

11、的某某個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí), , )(xf可可以以表表示示為為)(0 xx 的的一一個(gè)個(gè)n次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與一一個(gè)個(gè)余余項(xiàng)項(xiàng))(xRn之之和和: : xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2

12、)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx AB定義定義 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf圖形是凹的圖形是凹的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)稱為拐點(diǎn) .圖形是凸的圖形是凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf,0)

13、()(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點(diǎn)拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點(diǎn)為極大點(diǎn)52,xx為極小點(diǎn)為極小點(diǎn)3x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2) 對(duì)常見函數(shù)對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或或 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).12xoy12定理 1 (極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時(shí)由小

14、到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “左正右負(fù)左正右負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左負(fù)右正左負(fù)右正” ,.)(0取極大值在則xxf(自證自證)點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放暫停暫停定理2 (極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 且且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x定理3 (判別法的推廣)階導(dǎo)點(diǎn)有直到在若函數(shù)nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn則

15、則:數(shù)數(shù) , 且且1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),n,0)(0)(時(shí)xfn0 x是極小點(diǎn)是極小點(diǎn) ;,0)(0)(時(shí)xfn0 x是極大點(diǎn)是極大點(diǎn) .2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí),n0 x為極值點(diǎn)為極值點(diǎn) , 且且0 x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) .特別: 當(dāng)當(dāng) 在在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí)內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng)當(dāng) 在在 上單調(diào)時(shí)上單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)處達(dá)到最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大若在此點(diǎn)取極大 值值 , 則也是最大則也是最大 值值 . (小小) 對(duì)應(yīng)用問題對(duì)應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大可疑點(diǎn)是否為最大

16、 值點(diǎn)或最小值點(diǎn)值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小小)1. 水平( )與鉛直漸近線( )若若,)(limbxfx則曲線則曲線)(xfy 有水平漸近線有水平漸近線.by )(x或若若,)(lim0 xfxx則曲線則曲線)(xfy 有垂直漸近線有垂直漸近線.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲線求曲線211xy的漸近線的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線為垂直漸近線.212. 斜漸近線( )有則曲線)(xfy 斜漸近線斜漸近線.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(b

17、xk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P75 題題13)二、函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. :確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域 ,及周期性及周期性 ; ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn)確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形 .為為 0 和不存在和不存在的點(diǎn)的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱性并考察其對(duì)稱性則弧長(zhǎng)微分公式為則弧長(zhǎng)微分公式為t

18、yxsdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或或22)(d)(ddyxs若曲線由參數(shù)方程表示若曲線由參數(shù)方程表示:)()(tyytxx弧長(zhǎng)微分弧長(zhǎng)微分故曲率計(jì)算公式為故曲率計(jì)算公式為23)1(2yyK : 直線上任意點(diǎn)處的曲率為直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !sKs0limR1可見可見: R 愈小愈小, 則則K 愈大愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害圓弧彎曲得愈厲害 ;一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué),)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf上在則Ixf)( 存在原函數(shù)存在原函數(shù) .簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上

19、有原函數(shù),)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理 2. 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .三、不定積分的性質(zhì)xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k二、 基本積分表 (P186)利用逆向思維利用逆向思維xkd) 1 ( k 為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxd

20、sin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeexxxxfd)()(換元積分法第二類換元法第一類換元法uufd)(分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudduvvuvudd解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 ,按按 “ 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” 的的順序順序,前者為前者為 后者為后者為u.v反

21、反: 反三角函數(shù)反三角函數(shù)對(duì)對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪冪: 冪函數(shù)冪函數(shù)指指: 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三三: 三角函數(shù)三角函數(shù)一、 有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù)有理函數(shù):nm 時(shí)時(shí),)(xR為假分式為假分式;nm 時(shí)時(shí),)(xR為真分式為真分式有理函數(shù)有理函數(shù)相除相除多項(xiàng)式多項(xiàng)式 + 真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式為其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2

22、xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分再分項(xiàng)積分 定積分的幾何意義:Axxfxfba d)(,0)(曲邊梯形面積曲邊梯形面積 baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba 各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和A定理定理1.上上連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù),)(baxf.,)(可積可積在在baxf定理定理2.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 可積的充分條件:.,)(可積可積在在baxf三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4ab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5其中 a , b ,