高等數(shù)學(xué)上53定積分的換元法ppt課件

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五章 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例 計算計算).0(d022axxaa解解: (1)公式公式:,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx時當(dāng).,2tax時 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且.arcsin22d0222022aaaxaxaxxxa (2)換元:(3)幾何意義:P246-1上頁下頁結(jié)束返回首頁一

2、、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ,)(baCxf單值函數(shù)單值函數(shù))(tx滿足滿足: :1)1), ,)(1Ct 2) 2) 在在,上上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: : 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù)所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù), , 因此積分都存在因此積分都存在 , ,且它們的原函數(shù)也存在且它們的原函數(shù)也存在 . .,)()(的一個原函數(shù)是設(shè)xfxF是是的原函數(shù)的原函數(shù) , , 因此有因此有那那么么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t那么那么上頁下頁結(jié)束返回首頁說明說明:

3、:1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時,定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必換限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1 1 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 t

4、t.4 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例2 2 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 205sincos xdxx 205coscos xxd206cos61 x 或或.61 P246-2上頁下頁結(jié)束返回首頁例例3 3 計算計算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sins

5、inxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 P246-3上頁下頁結(jié)束返回首頁例例4 4 計算計算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 或換元或換元:3413ln ,;,;24dxtx xe txetdtx 原式原式 4321)1(ttdt 43212)(1ttd.6 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例 5 5 若若)(xf在在,aa 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , aaaxfx

6、fdxxfdxxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)，0,)(2)(0 0)(adxxf 0)(adttf adttf0)( ,)()()(0 aaadxxfxfdxxf adxxf0)(P247-5上頁下頁結(jié)束返回首頁)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 ,)()()(0 aaadxxfxfdxxf上頁下頁結(jié)束返回首頁奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原

7、式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積上頁下頁結(jié)束返回首頁例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，證證明明 證證（1設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t ;)(cos)(sin)1(2200 dxxfdxxf 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxfP248-6上頁下頁結(jié)束返回首頁（2設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(s

8、indxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft,)(sin2)(sin)2(00 dxxfdxxxf由此計算由此計算: 02cos1sindxxxx 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf證證上頁下頁結(jié)束返回首頁 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 .)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 0)(sindxxxf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf上頁下頁結(jié)束返回首頁例例8 8 證明若函數(shù)證

9、明若函數(shù) f(x) f(x) 是周期為是周期為T T 的連續(xù)函數(shù)，那么的連續(xù)函數(shù)，那么.)()(0 TTaadxxfdxxfdtdxTtx ,設(shè)設(shè) 000)()()()(aTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00證證 aTaTdtTtfdxxf0)()(.)(0 Tdxxf 0)(adxxf adttf0)(P248-7上頁下頁結(jié)束返回首頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有導(dǎo)數(shù)，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuv

10、uuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、定積分的分部積分法上頁下頁結(jié)束返回首頁例例9 9 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40cosln218 x .42ln8 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例10 10 計計算算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx

11、 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例11 11 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx, 0sin)1(11 dtttf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf) 1 (21f 102)(21dxxfx 102sin221dx

12、xx 1022sin21dxx).11(cos21 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例12 12 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1 1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 20sin xdxInn 201cossin xxdn 220101sincoscossin xxdxxnnP252-12上頁下頁結(jié)束返回首頁 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nn

13、InnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止上頁下頁結(jié)束返回首頁,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI于是于是 nnnnnnnnnnIn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)上頁下頁結(jié)束返回首頁 206cos) 1 ( xdx 205sin)2( xdx例例13 13 計計算算.3252214365 .1583254 20224)3(dxxx)si

14、n2(tx 令令dtttt 202cos2cos2sin4 dttt 2022sin1sin16 2214322116上頁下頁結(jié)束返回首頁例例14 14 計計算算 292sin2sinsin2 dxxxx解解 xxxsin2sinsin2 是周期為是周期為 的函數(shù)的函數(shù) 原式原式 22sin2sinsin42 dxxxx偶偶偶偶奇奇 203sin8 xdx316328 上頁下頁結(jié)束返回首頁3. 幾個公式幾個公式1. 定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(小 結(jié) “ “換元要換限換元要換限”2. 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvud

15、v aaaxfxfdxxfdxxf為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時當(dāng)當(dāng)為偶函數(shù)時為偶函數(shù)時當(dāng)當(dāng)，0,)(2)()1(0上頁下頁結(jié)束返回首頁;)(cos)(sin)3(2200 dxxfdxxf,)(sin2)(sin)4(00 dxxfdxxxf.)()()2(0 TTaadxxfdxxf 2200cossin)5( xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1 1的正奇數(shù)的正奇數(shù)上頁下頁結(jié)束返回首頁解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 433

16、2.12 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin上頁下頁結(jié)束返回首頁思考題解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 上頁下頁結(jié)束返回首頁3. 設(shè)設(shè),0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf3