高數(shù)33泰勒公式ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用目的用多項式近似表示函數(shù).理論分析近似計算泰勒公式 第三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf )(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?xx 的一次多項式xy)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf

2、,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn那么)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1(

3、 )(0)(xnRnnnn)()()(xpxfxRnn令(稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xf

4、xRnnn時的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為 的 n 階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx泰勒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Pe

5、ano) 余項 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 當(dāng) n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()

6、(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 ., 00 x則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR

7、2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式, ) 10(x記目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(

8、12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx!) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!

9、2)0(xf nnxnf!)0()() 10(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1()1ln()()5(xxxf知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)

10、(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 在近似計算中的應(yīng)用在近似計算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限

11、 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .106解解: 知知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(!) 1(e!1!2111nn) 10(由于,3ee0欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計算可知當(dāng) n = 9 時上式成立 ,因而e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本例若每項四舍五入到小數(shù)點后 6 位,那么 各項舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差限為6105 . 076106105這時得到

12、的近似值不能保證誤差不超過.106因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 !21cos2xx計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2

13、xo用洛必達法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例4. 證明證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(

14、21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 泰勒公式泰勒公式其中余項)(0nxxo當(dāng)00 x時為麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,ex, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數(shù) xsin例如例如 12!

15、) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin6422464224xyO12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算.3cos2elim402xxxx)(!211e4422xoxxx)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2e44

16、2xoxxx127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四節(jié) 作業(yè)作業(yè) P145 1 ; 4 ; 5 ; 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一點)(xf)(21之間與在其中x, 1,0 x證證: 由題設(shè)對由題設(shè)對321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf內(nèi)至少存在證明) 1,0(且得分別令, 1,0 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(21之間與在其中x)()(21fxf221)( x)(!2121f 321)(!31 xf)(241f 24)( f), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3