微分方程穩(wěn)定性

1、數(shù)學(xué)建模 微分方程專(zhuān)題part1：微分方程：微分方程微分方程模型微分方程模型差分方程模型差分方程模型 在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí), , 我們常常不能直接我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系，但卻能容易得出包含得出變量之間的關(guān)系，但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式，這就是微分方程變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式，這就是微分方程. . 在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，又有許多變量是離散變?cè)诂F(xiàn)實(shí)社會(huì)中，又有許多變量是離散變化的，如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等化的，如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等, , 而且離散的運(yùn)算具有可操作性而且離散的運(yùn)算具有可操作性, , 差分正是聯(lián)差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁系連續(xù)與離散變量

2、的一座橋梁. . 不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得到其解析解無(wú)法得到其解析解 ( (必要時(shí)，可以利用計(jì)算機(jī)必要時(shí)，可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解求其數(shù)值解 ) )，既使得到其解析解，尚有未知，既使得到其解析解，尚有未知參數(shù)需要估計(jì)參數(shù)需要估計(jì) ( (這時(shí)可利用第二章參數(shù)估計(jì)方這時(shí)可利用第二章參數(shù)估計(jì)方法法). ). 而在實(shí)際問(wèn)題中，討論問(wèn)題的解的變化趨而在實(shí)際問(wèn)題中，討論問(wèn)題的解的變化趨勢(shì)很重要，因此，以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性勢(shì)很重要，因此，以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論加以討論. .如果如果0)(limxtxt則稱(chēng)平衡點(diǎn)則稱(chēng)平衡點(diǎn)x0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的

3、.) 14()(ddxftx稱(chēng)代數(shù)方程稱(chēng)代數(shù)方程 f (x)=0 的實(shí)根的實(shí)根x = x0為方程為方程(4-1)的的平平衡點(diǎn)衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)或奇點(diǎn)). 它也是方程它也是方程(4-1)的解的解.設(shè)設(shè)一維微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由于由于),)()(00 xxxfxf在討論方程在討論方程(4-1)的的)24()(dd00 xxxftx來(lái)代替來(lái)代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用穩(wěn)定性時(shí)，可用一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn). (4-2)的通解為的通解為,e)(0)(0 xCtxtxf關(guān)于關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：是否穩(wěn)定有以下結(jié)論： 若若, 0)(0 xf則則

4、x0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的； 若若則則x0是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. ., 0)(0 xf這個(gè)結(jié)論對(duì)這個(gè)結(jié)論對(duì)于于(4-1)也是也是成立的成立的.一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性)34().,(dd),(ddyxgtyyxftx代數(shù)方程組代數(shù)方程組. 0),(, 0),(yxgyxf的實(shí)根的實(shí)根x = x0, y = y0稱(chēng)為方程稱(chēng)為方程(4-3)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn), 記作記作P0 (x0, y0). 它也是方程它也是方程(4-3)的解的解.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt則稱(chēng)平衡點(diǎn)則稱(chēng)平衡點(diǎn)P0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 下面給出判別平衡點(diǎn)

5、下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則判別準(zhǔn)則. 設(shè)設(shè)00()(),f Pg Ppxy 0000()()()()f Pf Pxyqg Pg Pxy 則當(dāng)則當(dāng)p0且且q0時(shí)，平衡點(diǎn)時(shí)，平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的； 當(dāng)當(dāng)p0或或q0時(shí)，平衡點(diǎn)時(shí)，平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的.微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)化趨勢(shì) 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 再生資源（漁業(yè)、林

6、業(yè)等）與非再生再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā)再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問(wèn)題問(wèn)題及及 分析分析 在在捕撈量穩(wěn)定捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁場(chǎng)漁場(chǎng)魚(yú)量將保持不變魚(yú)量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。背景背景實(shí)例： 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF 記記假設(shè)假設(shè) 無(wú)捕撈

7、時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比建模建模 捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿(mǎn)足捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿(mǎn)足r固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率, N最大魚(yú)量最大魚(yú)量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場(chǎng)魚(yú)量，漁場(chǎng)魚(yú)量，產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型0)( xF0),1(10 xrENxErxFrExF )(,)(10平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0)(10 xFxFrEx0 穩(wěn)定穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定穩(wěn)定, 漁場(chǎng)干枯漁場(chǎng)干枯E捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度r固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率

8、不穩(wěn)定穩(wěn)定10,xx穩(wěn)定不穩(wěn)定10,xx產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型圖解法圖解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)( xFP的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo) x0平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)2/*0*rxhEm y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量產(chǎn)量)4/, 2/(*0*rNhNxPm 產(chǎn)量最大產(chǎn)量最大f 與與h交點(diǎn)交點(diǎn)P穩(wěn)定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚(yú)量為最大魚(yú)量的一半控制漁場(chǎng)魚(yú)量為最大魚(yú)量的一半產(chǎn)量模型最大產(chǎn)量產(chǎn)量模型最大產(chǎn)量cErEpNEESETER)1 ()()()()1(4222NpcrNhR cEpExSTR效益模型效益模型假設(shè)

9、假設(shè) 魚(yú)銷(xiāo)售價(jià)格魚(yú)銷(xiāo)售價(jià)格p 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c 單位時(shí)間利潤(rùn)單位時(shí)間利潤(rùn))/1 (0rENx穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22 )1(rENxRR 漁場(chǎng)漁場(chǎng)魚(yú)量魚(yú)量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cE對(duì)于對(duì)于k階差分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (4-6)若有若有xn = x (n), 滿(mǎn)足滿(mǎn)足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱(chēng)則稱(chēng)xn = x (n)是差分方程是差分方程(4-6)的的解解, 包含包含k個(gè)任個(gè)任意常

10、數(shù)的解稱(chēng)為意常數(shù)的解稱(chēng)為(4-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已為已知時(shí)稱(chēng)為知時(shí)稱(chēng)為(4-6)的的初始條件初始條件,通解中的任意常數(shù)都通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱(chēng)為由初始條件確定后的解稱(chēng)為(4-6)的的特解特解.差分方程模型 若若x0, x1, , xk1已知已知，則形如則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn). 若有常數(shù)若有常數(shù)a是差分方程是差分方程(4-6)的解的解，即即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱(chēng)則稱(chēng) a是差分方程是差分方程(4-6)的的平衡點(diǎn)平

11、衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程又對(duì)差分方程(4-6)的任意由初始條件確定的任意由初始條件確定的解的解 xn= x(n)都有都有xna (n), 則稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)則稱(chēng)這個(gè)平衡點(diǎn)a是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的.差分方程模型 一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數(shù)，且為常數(shù)，且a -1, 0)的通解為的通解為xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)，由上式知，當(dāng)是其平衡點(diǎn)，由上式知，當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí)，時(shí)，b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn). 差分方程模型 二階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程二階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程x

12、n+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數(shù)為常數(shù). 當(dāng)當(dāng)r = 0時(shí)，它有一特解時(shí)，它有一特解x* = 0； 當(dāng)當(dāng)r 0，且，且a + b + 1 0時(shí)，它有一特解時(shí)，它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形，不管是哪種情形，x*是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征設(shè)其特征方程方程 2 + a + b = 0的兩個(gè)根分別為的兩個(gè)根分別為 = 1, = 2. 差分方程模型 當(dāng)當(dāng) 1, 2 是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，二階常系二階常系數(shù)線(xiàn)性差分?jǐn)?shù)線(xiàn)性差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當(dāng)當(dāng) 1,

13、2= 是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，二階常系二階常系數(shù)線(xiàn)性差分?jǐn)?shù)線(xiàn)性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n; 則則差分方程模型 當(dāng)當(dāng) 1, 2= (cos + i sin ) 是一對(duì)共軛復(fù)根是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，時(shí)，二階常系數(shù)線(xiàn)性差分二階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的通解為方程的通解為xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 | i |1時(shí)時(shí), 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的. 差分方程模型對(duì)于一階非線(xiàn)性差分方程對(duì)于一階非線(xiàn)性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點(diǎn)其平衡點(diǎn)

14、x*由代數(shù)方程由代數(shù)方程x = f (x)解出解出. 為分析平衡點(diǎn)為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程似為一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(| xf時(shí)時(shí), ,上述近似線(xiàn)性差分方程與上述近似線(xiàn)性差分方程與原原非線(xiàn)性差分方程的非線(xiàn)性差分方程的穩(wěn)定性相同穩(wěn)定性相同. . 因此因此當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , x*是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；當(dāng)當(dāng)1|*)(| xf時(shí)時(shí), , x*是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. .當(dāng)當(dāng)1|*)(| xf差分方程模型問(wèn)問(wèn) 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩

15、在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,x

16、k+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy模型建立設(shè)設(shè)x1偏離偏離x032211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn))(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk 蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP 穩(wěn)定性分析xy0fgy0 x0P0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4gfKKxy0y0 x0P0fggfKK曲線(xiàn)斜率曲線(xiàn)斜率穩(wěn)定性分析)(kkxfy )(1kkyhx在在P0點(diǎn)附近用直線(xiàn)近似曲線(xiàn)點(diǎn)附近用直線(xiàn)近似曲線(xiàn))0()(00 xxyykk)0

17、()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致穩(wěn)定性分析)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yyxxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf需求曲線(xiàn)變?yōu)樗叫枨笄€(xiàn)變?yōu)樗焦?yīng)曲線(xiàn)變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線(xiàn)變?yōu)樨Q直結(jié)果解釋政府干預(yù)2/ )(0101yyyxxkkk 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理