3-2向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)ppt課件

1、3.2 向量組的線性相關(guān)向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)與線性無(wú)關(guān)，組實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)，對(duì)于任何一，對(duì)于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個(gè)個(gè)線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù)稱稱為為這這，mkkk，稱為向量組的一個(gè)稱為向量組的一個(gè)向量向量 2211mmkkk 線性組合線性組合b xaxaxann2211線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)mmb 2211，使使，一一組組數(shù)數(shù)如如果果存存在

2、在和和向向量量給給定定向向量量組組mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即線線性性方方程程組組bxxxmm 的線性組合，這時(shí)稱的線性組合，這時(shí)稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA例如：例如：12342100050100,3001000001 有有210005010025303001000001 1234=2530 即即所以，稱所以，稱 是是 的線性組合，的線性組合，或或 可以由可以由 線性表示。線性表示。 1234, 1234, 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向

3、向量量組組注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時(shí)時(shí)則則只只有有當(dāng)當(dāng)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)若若 nnnn ., 2. 線線性性相相關(guān)關(guān)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對(duì)對(duì)于于任任一一向向量量組組定義定義則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)A., 0, 0, 3. 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則說(shuō)說(shuō)若若線線性性相相關(guān)關(guān)則則說(shuō)說(shuō)若若時(shí)時(shí)向向量量組組只只包包含含一一個(gè)個(gè)向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量共面量共面向向量相關(guān)的幾何意義是三量相關(guān)的幾何意義是三是兩向量共線；三個(gè)向是兩向量共

4、線；三個(gè)向義義量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意充要條件是兩向量的分充要條件是兩向量的分它線性相關(guān)的它線性相關(guān)的量組量組對(duì)于含有兩個(gè)向量的向?qū)τ诤袃蓚€(gè)向量的向. 性獨(dú)立）性獨(dú)立）線線個(gè)方程）線性無(wú)關(guān)（或個(gè)方程）線性無(wú)關(guān)（或程，就稱該方程組（各程，就稱該方程組（各方方；當(dāng)方程組中沒(méi)有多余；當(dāng)方程組中沒(méi)有多余個(gè)方程）是線性相關(guān)的個(gè)方程）是線性相關(guān)的各各余的，這時(shí)稱方程組（余的，這時(shí)稱方程組（合時(shí)，這個(gè)方程就是多合時(shí)，這個(gè)方程就是多是其余方程的線性組是其余方程的線性組若方程組中有某個(gè)方程若方程組中有某個(gè)方程線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用).,( .0 A, 0

5、212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程組方程組線性相關(guān)就是齊次線性線性相關(guān)就是齊次線性向量組向量組結(jié)論結(jié)論 顯然，如果齊次線性方程只有零解，則對(duì)顯然，如果齊次線性方程只有零解，則對(duì)該方程增加若干方程后仍有零解，由此我們得該方程增加若干方程后仍有零解，由此我們得到如下命題到如下命題命題命題1設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組12:(,)(1,2,),TjjjrjAaaajm 121,:(,)(1,2,),TjjjrjrjnjBaaaaajm 若向量組若向量組A線性無(wú)關(guān)，則向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組B也線性無(wú)關(guān)。也線性無(wú)關(guān)。說(shuō)明說(shuō)明增加方程個(gè)數(shù)相當(dāng)于向量增加方程個(gè)數(shù)相當(dāng)于向量 增

6、加分量，但向量組所含向量的個(gè)數(shù)不變?cè)黾臃至?，但向量組所含向量的個(gè)數(shù)不變(1,2,)jjm 由于線性方程組的解與方程組中方程的次由于線性方程組的解與方程組中方程的次序無(wú)關(guān)，由此我們得到如下命題序無(wú)關(guān)，由此我們得到如下命題命題命題2設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組12:(,)(1,2,),TjjjnjAaaajm 12:(,)(1,2,),nTjp jp jp jBaaajm 則向量組則向量組A與與B的線性相關(guān)性相同。的線性相關(guān)性相同。其中其中 是是 這這n個(gè)自然數(shù)的某個(gè)確個(gè)自然數(shù)的某個(gè)確定的排列，定的排列，12np pp1,2,n說(shuō)明說(shuō)明改變方程的次序相當(dāng)于改變向量改變方程的次序相當(dāng)于改變向量 的各

7、分量的次序。的各分量的次序。(1,2,)jjm ),1 ,0,0(),0, 1 ,0(),0,0, 1(21n線性無(wú)關(guān)；并將任意線性無(wú)關(guān)；并將任意n維向量維向量 表示成表示成 的線性組合的線性組合12(,)Tnaaa12,n 解解12,nkkk設(shè)存在一組數(shù)設(shè)存在一組數(shù) ，使得，使得11220nnkkk11220nnkkk按照向量的數(shù)乘、加法運(yùn)算可得按照向量的數(shù)乘、加法運(yùn)算可得12(,)(0, 0, 0)TTnkkk 根據(jù)向量相等的定義，即有根據(jù)向量相等的定義，即有120nkkk 所以所以 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)12,n 12(,)Tnaaa對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的n維向量維向量121122(,)

8、Tnnnaaaaaa 例例2 討論向量組討論向量組 1,1,1T 0,2,5T 1,3,6T 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解解假設(shè)存在假設(shè)存在 x, y, z，使得，使得0 xyz即即(,23 ,56 )(0,0,0)TTxzxyzxyz 由向量相等的定義得由向量相等的定義得101012301560 xyzxyzxyz 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一組非零是上述方程的一組非零解解即存在一組不全為零的數(shù)即存在一組不全為零的數(shù) 1，1，1使使11( 1)0 所以所以 線性相關(guān)線性相關(guān), 101012301560 xyzxyzxyz . , , 3211333222113

9、21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)試試證證線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無(wú)關(guān)，故有線性無(wú)關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx 例例5 把向量把向量 表示成向量組表示成向量組(1,2,1,1)T 1(1,1,1,1)T 2(1,1, 1, 1)T 3(1, 1,1, 1)T 4(1, 1, 1,1)T 的線性組合的線性組合解解設(shè)存在四個(gè)數(shù)設(shè)存在四個(gè)數(shù) ，使得，使得1234,xxxx11223344xxxx 即即123411111211111111111111xxxx 123411111211111111111111xxxx 由向量的線性運(yùn)算及向量相等的定義得由向量的線性運(yùn)算及向量相等的定義得12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx 應(yīng)用克萊姆法則解此方程組應(yīng)用克萊姆法則解此方程組解得解得12345111,4444xxxx 所以所以1234