靜電場(chǎng)問(wèn)題的離散化模型ppt課件

1、靜電場(chǎng)問(wèn)題離散化模型靜電場(chǎng)問(wèn)題離散化模型及求解及求解 混合班第混合班第2020組：冀軍組：冀軍 李甲子李甲子 吳聯(lián)芳吳聯(lián)芳概述1.模型背景2.對(duì)于同種介質(zhì)中靜電場(chǎng)的求解（二維泊松方程的差分格式）3.對(duì)于不同種介質(zhì)靜電場(chǎng)的求解（基于通量守恒的差分格式）4.屏蔽微帶傳輸線的靜電場(chǎng)的模擬應(yīng)用5.誤差分析和改進(jìn)措施1.模型背景 靜電場(chǎng)的求解是解決電磁問(wèn)題的關(guān)鍵，通常我們希望建立基于麥克斯韋方程的連續(xù)模型來(lái)求解，但實(shí)際上靜電場(chǎng)的性質(zhì)并不象想象中那樣易于描述，即使可以用連續(xù)模型建立的式子來(lái)描述，求解可能非常困難。我們希望通過(guò)建立靜電場(chǎng)的離散模型，把微分變成差分，來(lái)近似描述靜電場(chǎng)的電位分布情況，更重要的是這

2、樣將使得求解變得容易，并且通過(guò)數(shù)字化的軟件處理可以用圖象來(lái)模擬靜電場(chǎng)的實(shí)際電位分布。我們本模型的目的正是要尋求建立這種離散模型的方法以及如何求解這種離散模型。2.有限差分法有限差分法有限差分法有限差分法 FDM Finite FDM Finite Difference MethodDifference Method是基于差分原理的是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其根本思想：將場(chǎng)域離一種數(shù)值計(jì)算法。其根本思想：將場(chǎng)域離散為許多小網(wǎng)格，運(yùn)用差分原理，將延續(xù)散為許多小網(wǎng)格，運(yùn)用差分原理，將延續(xù)函數(shù)的微分采用差分近似，從而將求解延函數(shù)的微分采用差分近似，從而將求解延續(xù)函數(shù)的泊松方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格

3、續(xù)函數(shù)的泊松方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的差分方程組的問(wèn)題。節(jié)點(diǎn)上的差分方程組的問(wèn)題。Notice : Notice : finite finite fainaitfainait，infinite infinite infinitinfinit二維泊松方程的差分格式二維泊松方程的差分格式有限差分的網(wǎng)格分割有限差分的網(wǎng)格分割)(2222sfFyxL二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題：二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題：通常將場(chǎng)域分成足夠小的正方通常將場(chǎng)域分成足夠小的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的間隔為形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的間隔為h，節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)0、1、2、3、4上的上的電位分別用電位分別用j0 、j1、j2、j3和和j4表示。表示。

4、)()(!000)(nnkkkxxxoxxk設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)j在在x0處可微，那么沿處可微，那么沿x方向在方向在x0 處的處的Taylor 展開展開式為式為)2()(!31)(!21)()1()(!31)(!21)(0333022200303330222001 xhxhxhxhxhxhhxxx2)2() 1 (310將將 x=x1和和x=x3 分別代入式分別代入式, h為網(wǎng)格邊為網(wǎng)格邊長(zhǎng)長(zhǎng)2301222)2() 1 (0hxxx2402222)(0hyyy同理：同理：2043214Fh)(41243210Fh將上述近似結(jié)果代入泊松方程，得到五點(diǎn)差分格式將上述近似結(jié)果代入泊松方程，得到五點(diǎn)差分格式假

5、設(shè)假設(shè)00，拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式，拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式)(4143210邊境條件的離散化處置邊境條件的離散化處置 3. 3.第二類邊境條件第二類邊境條件 邊境限與網(wǎng)格線相重合的差分格式：邊境限與網(wǎng)格線相重合的差分格式：hffhn2102010,)(2.2.對(duì)稱邊境條件合理減小計(jì)算場(chǎng)域，差分格式為對(duì)稱邊境條件合理減小計(jì)算場(chǎng)域，差分格式為)2(4124210Fh1.1.第一類邊境條件：給邊境離散節(jié)點(diǎn)直接賦知電位值。第一類邊境條件：給邊境離散節(jié)點(diǎn)直接賦知電位值。4.4.介質(zhì)分界面銜接條件的差分格式介質(zhì)分界面銜接條件的差分格式baKKKKwith)1212(41432100404321aa

6、aaa0404321bbbbbbannbbaa3131bbbaaa442200,babababaKKKKwith)1212(4143210假設(shè)區(qū)域中均為媒質(zhì)假設(shè)區(qū)域中均為媒質(zhì)a a假設(shè)區(qū)域中均為媒質(zhì)假設(shè)區(qū)域中均為媒質(zhì)b ba1 a1 與與b3b3并不存在，需經(jīng)過(guò)分界并不存在，需經(jīng)過(guò)分界面條件消去面條件消去3.基于通量守恒的差分格基于通量守恒的差分格式式以上差分格式的根本思緒是將微分用差以上差分格式的根本思緒是將微分用差分替代，這種方法思緒比較自然，但是，對(duì)于分替代，這種方法思緒比較自然，但是，對(duì)于不同的介質(zhì)分界面的處置比較費(fèi)事。不同的介質(zhì)分界面的處置比較費(fèi)事。下面引見基于通量守恒的而導(dǎo)出的差分

7、下面引見基于通量守恒的而導(dǎo)出的差分格式，這種方法處置媒質(zhì)分界面比較方便，同格式，這種方法處置媒質(zhì)分界面比較方便，同時(shí)自然滿足守恒條件。這種基于積分方程而導(dǎo)時(shí)自然滿足守恒條件。這種基于積分方程而導(dǎo)出的差分格式在數(shù)學(xué)上稱為出的差分格式在數(shù)學(xué)上稱為“廣義差分。廣義差分。通量守恒方程通量守恒方程邊境條件垂直的情況：當(dāng)邊境條件垂直的情況：當(dāng)li(i=1,2,3,4,5,6,7,8)分別相等時(shí)，分別相等時(shí)， (31+2)/4* V0=0.25*1(V1+ V4)+( 1+2)/2( V2+V3)Error as a function of the mesh size.算例算例當(dāng)微帶線任務(wù)在低頻時(shí)，其電容和

8、電感可用靜態(tài)分析得到。這相當(dāng)于當(dāng)微帶線任務(wù)在低頻時(shí)，其電容和電感可用靜態(tài)分析得到。這相當(dāng)于在一些假設(shè)下在一些假設(shè)下(假設(shè)內(nèi)導(dǎo)體，即條帶上有某一電勢(shì)，如假設(shè)內(nèi)導(dǎo)體，即條帶上有某一電勢(shì)，如1 V；在屏蔽導(dǎo)；在屏蔽導(dǎo)體上有另一不同電勢(shì)，如體上有另一不同電勢(shì)，如 0 V)求解。假設(shè)幾何構(gòu)造是對(duì)稱的，那么在求解。假設(shè)幾何構(gòu)造是對(duì)稱的，那么在圖圖a所示的對(duì)稱面上運(yùn)用齊次諾曼條件，結(jié)果分析區(qū)域減小一半，所示的對(duì)稱面上運(yùn)用齊次諾曼條件，結(jié)果分析區(qū)域減小一半，如圖如圖b所示。圖所示。圖b中，屏蔽線邊長(zhǎng)為中，屏蔽線邊長(zhǎng)為4cm, 微帶線長(zhǎng)微帶線長(zhǎng)1cm，厚，厚度度0.2cm。 起評(píng)分起評(píng)分9分分 4.屏蔽微帶傳輸

9、線運(yùn)用屏蔽微帶傳輸線運(yùn)用典型等位線分布典型等位線分布00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.0400.0050.010.0150.020.0250.035.誤差分析和改良措施 1、誤差分析：誤差來(lái)源分為三種：替代誤差、騰躍誤差、舍入誤差。 替代誤差：差商替代微商引入的誤差。 由h高階舍入引起！ 替代誤差是本次模擬的誤差產(chǎn)生的主要要素！ 2、改良措施： 1、減小h 2)、合理設(shè)置網(wǎng)格線。)2()(! 31)(! 21)() 1 ()(! 31)(! 21)(0333022200303330222001 xhxhxhxhxhxh附錄源程序源程序e=ones(36,42

10、);a=zeros(36,42);for i=24:26 for j=1:12 a(i,j)=1; endend x1=a ;%進(jìn)展迭代進(jìn)展迭代 while norm(e)1e-6%差量限制在差量限制在10(-6) for i=2:23 for j=2:12 a(i,j)=0.25*a(i-1,j)+a(i+1,j)+a(i,j-1)+a(i,j+1); end end for i=27:35 for j=2:12 a(i,j)=0.25*a(i-1,j)+a(i+1,j)+a(i,j-1)+a(i,j+1); end end for i=2:35 for j=13:41 a(i,j)=0.2

11、5*a(i-1,j)+a(i+1,j)+a(i,j-1)+a(i,j+1); end end for i=1:36 a(i,1)=a(i,3); end%齊次諾曼條件的運(yùn)用x2=a; e=x2-x1; x1=x2; end t=1; for i=28:2:36 for j=1:42 b(i-t,j)=a(i,j); end t=(t+1); end for i=1:26 for j=1:42 b(i,j)=a(i,j); end end; V=zeros(31,41); for i=1:31 for j=1:41 V(i,j)=b(32-i,j+1); end endx=0:0.001:0.0

12、4;y=0:0.001:0.03 X,Y=meshgrid(x,y);%設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)DX,DY=gradient(-V,0.001,0.001); %計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)AE=sqrt(DX.2+DY.2);DX=DX./AE;DY=DY./AE;%場(chǎng)強(qiáng)歸一化，使箭頭等長(zhǎng)%cv=linspace(min(min(V),max(max(V),49); %產(chǎn)生49個(gè)電位值contour(X,Y,V) %用黑實(shí)線畫填色等位線圖title(fontname隸書fontsize22微帶線場(chǎng)), hold onquiver(X,Y,DX,DY,0.7)%第五輸入宗量0.7使場(chǎng)強(qiáng)箭頭長(zhǎng)短適中。hold off程序設(shè)計(jì)原理程序設(shè)計(jì)原理 啟動(dòng) 給定邊值1，2 填寫場(chǎng)域內(nèi)的初值 迭代次數(shù)計(jì)數(shù)N =0 - N=N+1 以普通迭代法進(jìn)