數(shù)學(xué)傅立葉級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)第一頁(yè)，共36頁(yè)。簡(jiǎn)單(jindn)的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(tAy(諧波(xi b)函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos(210 xnbxnaannk為角頻率, 為初相 )(諧波迭加)稱(chēng)上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).2/36第1頁(yè)/共36頁(yè)第二頁(yè)，共36頁(yè)。3/36第2頁(yè)/共36頁(yè)第三頁(yè)，共36頁(yè)。xxnkxnkd)cos()cos(21,1,cos x,sinx,2cos x,2sin x,c

2、os,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證 :),2, 1(n上在,正交 ,上的積分(jfn)等于 0 .即其中(qzhng)任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 4/36且任意一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分不等于 0,第3頁(yè)/共36頁(yè)第四頁(yè)，共36頁(yè)。上的積分(jfn)不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn即 但是在三角函數(shù)系中任意(rny)一個(gè)函數(shù)的平方在 5/36如果(rgu)其中,ba

3、任意兩個(gè)不同函數(shù)在 正交.，上的一個(gè)可積函數(shù)列是區(qū)間注：設(shè),)(baxfn), 2 , 1(0(2ndxxfban）且上的正交函數(shù)系。是區(qū)間則稱(chēng),)(baxfn第4頁(yè)/共36頁(yè)第五頁(yè)，共36頁(yè)。定理定理 2 . 設(shè)設(shè) f (x) 是周期是周期(zhuq)為為 2 的周期的周期(zhuq)函數(shù)函數(shù) , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)(j sh)可逐項(xiàng)積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理?xiàng)l件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,對(duì)在逐項(xiàng)積分, 得6/36xx

4、fad)(10第5頁(yè)/共36頁(yè)第六頁(yè)，共36頁(yè)。xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用(lyng)正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbk類(lèi)似地, 用 sin k x 乘 式兩邊(lingbin), 再逐項(xiàng)積分可得7/36用 cos k x 乘 式兩邊(lingbin), 再逐項(xiàng)積分可得第6頁(yè)/共36頁(yè)第七頁(yè)，共36頁(yè)。系數(shù)為系數(shù)的三角(snjio)級(jí)數(shù) 稱(chēng)為的Fourier系數(shù)(xsh) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,

5、0(dcos)(1nxnxxfan由公式(gngsh) 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的Fourier的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) .稱(chēng)為函數(shù))(xf 8/36第7頁(yè)/共36頁(yè)第八頁(yè)，共36頁(yè)。,2)0-()0- (ff設(shè) f (x) 在上分段(fn dun)單調(diào),而且除有限個(gè)第一類(lèi)間斷(jindun)點(diǎn)外都連續(xù)，那么 f (x) 的Fourier級(jí)數(shù)在10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)0-()0(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,( 證明超綱證明超綱 )為 f (x) 的Fourier系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函

6、數(shù)展成Fourier級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.9/36上收斂，且其和函數(shù)為：x,第8頁(yè)/共36頁(yè)第九頁(yè)，共36頁(yè)。設(shè) f (x) 是周期(zhuq)為 2 的周期(zhuq)函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為),xxxf0,10,1)(解解: 先求先求Fourier系數(shù)系數(shù)(xsh)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成(zhn chn)Fourier級(jí)數(shù). oyx1110/36第9頁(yè)/共36頁(yè)第十頁(yè)，共36頁(yè)。xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nn

7、xnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當(dāng),6,4,2n當(dāng)xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx11/36第10頁(yè)/共36頁(yè)第十一頁(yè)，共36頁(yè)。),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂(shulin)定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)(j sh)收斂于02112) Fourier級(jí)數(shù)的部分(b fen)和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見(jiàn)右圖.12/36第11頁(yè)/共36頁(yè)第十二頁(yè)，共36頁(yè)。xoy上的表達(dá)式為),xxxxf0,00,)(將 f (x) 展成(zh

8、n chn)Fourier級(jí)數(shù). 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332設(shè) f (x) 是周期(zhuq)為 2 的周期(zhuq)函數(shù) , 它在 13/36第12頁(yè)/共36頁(yè)第十三頁(yè)，共36頁(yè)。), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx23231x4sin41 5sin 5cos xx252512cos1nnan,2) 12(2k),2

9、,1,0,) 12(,(kkxx說(shuō)明說(shuō)明(shumng): 當(dāng)當(dāng)) 12(kx時(shí), 級(jí)數(shù)(j sh)收斂于22)(014/36第13頁(yè)/共36頁(yè)第十四頁(yè)，共36頁(yè)。, )(xxf周期(zhuq)延拓)(xF傅里葉展開(kāi)(zhn ki),)(在xf上的Fourier級(jí)數(shù)(j sh), , )(xxf, )2(kxf其它15/36第14頁(yè)/共36頁(yè)第十五頁(yè)，共36頁(yè)。xxxxxf0, 0,)(級(jí)數(shù)(j sh) .oyx則xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將 f (x)延

10、拓成以 展成(zhn chn)Fourier2為周期的函數(shù) F(x) , 16/36第15頁(yè)/共36頁(yè)第十六頁(yè)，共36頁(yè)。x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用(lyng)此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n17/36第16頁(yè)/共36頁(yè)第十七頁(yè)，共36頁(yè)。42,421312242設(shè),413121122222217151311,6141212222已知82122234

11、131211又2121362482221224822218/36第17頁(yè)/共36頁(yè)第十八頁(yè)，共36頁(yè)。1. 周期(zhuq)為2 的奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)定理定理4 . 對(duì)周期為對(duì)周期為 2 的奇函數(shù)的奇函數(shù) f (x) , 其其Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(j sh)稱(chēng)為稱(chēng)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其Fourier級(jí)數(shù)為稱(chēng)余弦級(jí)數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的Fourier系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的Fourier系數(shù)為19/36其中：例1是正弦級(jí)數(shù)，例3是余弦

12、級(jí)數(shù)第18頁(yè)/共36頁(yè)第十九頁(yè)，共36頁(yè)。的表達(dá)式為 f (x)x ,將 f (x) 展成(zhn chn)傅里葉級(jí)數(shù).是周期(zhuq)為2 的周期(zhuq)函數(shù),它在上),)(xf解解: 若不計(jì)),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期(zhuq)為 2 的奇函數(shù), yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn20/36第19頁(yè)/共36頁(yè)第二十頁(yè)，共36頁(yè)。n1根據(jù)(gnj)收斂定理可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2x

13、xx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo級(jí)數(shù)(j sh)的部分和 n2n3n4上在),逼近(bjn) f (x) 的情況見(jiàn)右圖.n521/36第20頁(yè)/共36頁(yè)第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。tEtusin)(展成(zhn chn)傅里葉級(jí)數(shù), 其中E 為正常(zhngchng)數(shù) .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期為2 的周期偶函數(shù) , 因此0d)(2ttu22/36第21頁(yè)/共36頁(yè)第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。t 2cos310

14、d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos14141223/36第22頁(yè)/共36頁(yè)第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。,0(),(xxf)0,(),(xxf,0),(xxf)(xF周期(zhuq)延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期(zhuq)延拓 F (x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級(jí)數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf24/36)(xF第23頁(yè)/共36頁(yè)第二十四頁(yè)，共

15、36頁(yè)。1xyokn2)0(1)(xxxf分別展成(zhn chn)正弦級(jí)數(shù)與余弦(yxin)級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 kn),2, 1(k,1222k25/36,1k第24頁(yè)/共36頁(yè)第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。nb12,1222knk),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意(zh y):在端點(diǎn)(dun din) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定(i dn)函數(shù)

16、1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 26/36,1kkn2第25頁(yè)/共36頁(yè)第二十六頁(yè)，共36頁(yè)。x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knk),2, 1(k作偶周期(zhuq)延拓 ,27/36第26頁(yè)/共36頁(yè)第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說(shuō)明說(shuō)明(shumng): 令令 x = 0 可可得得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yo

17、x28/36第27頁(yè)/共36頁(yè)第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。1. 周期(zhuq)為 2 的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點(diǎn)x其中(qzhng)xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于2)0()0(00 xfxf小結(jié)29/36第28頁(yè)/共36頁(yè)第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。2. 周期(zhuq)為 2 的奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù) 奇函數(shù)正弦(zhngxin)級(jí)數(shù) 偶函數(shù)余弦(yxin)級(jí)數(shù)3. 在 0 , 上函數(shù)的Fourier展開(kāi) 作奇周期延

18、拓 ,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù) 作偶周期延拓 ,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里里葉展開(kāi)法唯一嗎 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同 .0dcos)(2xxnxfan30/360;nb第29頁(yè)/共36頁(yè)第三十頁(yè)，共36頁(yè)。處收斂(shulin)于)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅里葉級(jí)數(shù)(j sh)在x在4x處收斂(shulin)于 .提示提示:2)0()0(ff2222)04()04(ff2)00()00(ff21102設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 ,xyo1131/362)0()0(ff第30頁(yè)/共36頁(yè)第三十一頁(yè)，共36頁(yè)。0 x,0,)(2xxxxf又設(shè))(xS求當(dāng))()2,(xSx時(shí)的表達(dá)式 .解解: 由題設(shè)可知由題設(shè)可知(k zh)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì))(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2),0(內(nèi)以為周期(zhuq)的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù), 定義域32/36第31頁(yè)/共36頁(yè)第三十二頁(yè)，共36頁(yè)。)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級(jí)數(shù)(j sh)的和函數(shù) .)(xS0, 1x x0, 10 x,0