映射與函數(shù)PPT學習教案

1、會計學1映射與函數(shù)映射與函數(shù)聯(lián)系地點聯(lián)系地點 長春工業(yè)大學基礎學院長春工業(yè)大學基礎學院電子郵件電子郵件 第1頁/共49頁 初等數(shù)學初等數(shù)學研究對象：研究對象：常量常量初等方法：初等方法：有限的方法有限的方法初等數(shù)學是用初等數(shù)學是用有限的方法有限的方法研究常量的數(shù)學研究常量的數(shù)學 高等數(shù)學高等數(shù)學 研究對象：研究對象：變量（函數(shù)）變量（函數(shù)） 研究方法：研究方法：極限的方法極限的方法 高等數(shù)學是用高等數(shù)學是用極限的方法極限的方法研究變量的數(shù)學研究變量的數(shù)學緒緒第2頁/共49頁一元微一元微分學分學一元積一元積分學分學多元微多元微分學分學空間解空間解析幾何析幾何多元積多元積分學分學級數(shù)級數(shù)常微分常微

2、分方程方程第3頁/共49頁第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第四節(jié)第四節(jié) 無窮小與無窮無窮小與無窮大大第五節(jié)第五節(jié) 極限運算法則極限運算法則第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限第4頁/共49頁第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質第5頁/共49頁第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)

3、一、一、 集合集合二、二、 映射映射三、三、 函數(shù)函數(shù)第6頁/共49頁 一、集合一、集合集合與元素之間的關系集合與元素之間的關系aM：若：若x是集合的元素；是集合的元素；1.1.集合概念集合概念(1)集合：集合：具有某種特定性質的事物的總體，具有某種特定性質的事物的總體， 集合的元素通常用集合的元素通常用A，B，S，T 等表示等表示.元素元素: 組成這個集合的事物組成這個集合的事物 集合的元素通常用集合的元素通常用a，b，x，y等表示等表示.集合分為有限集和無限集集合分為有限集和無限集. .a M: 若若x不是集合的元素不是集合的元素. (2)集合的表示法集合的表示法列舉法列舉法:將集合的元素

4、一一列舉出來將集合的元素一一列舉出來,描述法描述法: :如如: :第7頁/共49頁N=全體自然數(shù)全體自然數(shù)，Z=全體整數(shù)全體整數(shù)，Q=全體有理數(shù)全體有理數(shù)，R=全體實數(shù)全體實數(shù).(3)(3)常用的集合記號常用的集合記號 如果如果 ，必有，必有 , 則稱則稱A是是B的子集，記為的子集，記為 不含任何元素的集合，則稱為空集記為不含任何元素的集合，則稱為空集記為. 是任何集合的子集是任何集合的子集. (4) (4) 集合的關系集合的關系集合集合:集合集合A內(nèi)排除內(nèi)排除0的集的集.集合集合:集合集合B內(nèi)排除內(nèi)排除0與負數(shù)的集與負數(shù)的集. 若若 ，且，且 ,則稱則稱A是是B的真子集的真子集,記為記為 .

5、 . 若若 ，且，且 ,則稱則稱A與與B相等相等,記為記為 . .BA AB BA 第8頁/共49頁2. 2. 集合的運算集合的運算設設A、B是二個集合，定義是二個集合，定義BxAxxBA 或或(A與與B的的并集并集)BxAxxBA 且且(A與與B的的交集交集)(A與與B的的差集差集) 設設I表示我們研究某個問題的全體表示我們研究某個問題的全體, 則其他集合則其他集合A都是都是I的子集的子集,稱稱I為全集或基本集為全集或基本集.CAAI A的的余集余集或或補集補集記為記為:例如例如: 在實數(shù)集在實數(shù)集R中中10 xxACA則有則有01x xx或第9頁/共49頁設設A、B、C為任意三個集合，則有

6、下列法則成立：為任意三個集合，則有下列法則成立：（1 1）交換律交換律,ABBA ABBA（2 2）結合律結合律()()ABCABC()()ABCABC()()()ABCACBC（3）分配律分配律()() ()A BCA CB C()CCCABAB（4 4）對偶律對偶律()CCCABAB以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗證以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗證. .集合的運算法則集合的運算法則第10頁/共49頁3. 3. 區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域Oab設設a,bR,且且ab,|),(bxaxba 開區(qū)間開區(qū)間|,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間半開區(qū)間|,(bxaxba |),bxaxba

7、 稱稱a,b為區(qū)間的端點，稱為區(qū)間的端點，稱ba為這些區(qū)間的長度為這些區(qū)間的長度.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間. .),(baOab( , a bOab , )a bOab第11頁/共49頁無限區(qū)間無限區(qū)間|),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb 用數(shù)軸可以表示區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間, 區(qū)間常用區(qū)間常用I表示表示.Oa,a引進記號：引進記號： + + （讀作（讀作正無窮大正無窮大）( (讀作讀作負無窮大負無窮大）（讀作（讀作無窮大無窮大）b),(bO第12頁/共49頁 (2) 點a的去心鄰域：| 0 |),( axxaU。注 若不強調(diào)的大小，點

8、a的去心鄰域記為U(a)鄰域鄰域點a的左鄰域:開區(qū)間(a-,a)點a的右鄰域:開區(qū)間(a,a+)(1) 設是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-,a+)為點a的鄰域，記為U(a,)，即點a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑.x a a a第13頁/共49頁二、映射二、映射1 1、映射的概念、映射的概念 定義定義 設X、Y是二個非空集合，如果存在一個法則f , 使得對X中每個元素x, 按法則f , 在Y中有唯一確定的元素 y與之對應, 則稱f 為從X到Y的映射,記為為 ,:YXf其中y稱為元素x(在映射 f 下)的像,記作f(x), 即y=f(x) ,元素x稱為元素y(在映射f 下)的一個原像;集合X稱為映

9、射f 的定義域, 記作D f , 即D f =X; .)()(XxxfXfRf X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域, 記作 Rf 或 f(X), 即第14頁/共49頁注意注意: :(1) 一個映射必須具備以下三個要素一個映射必須具備以下三個要素:集合X, 即定義域D f =X集合Y, 即值域的范圍:;YRf 對應法則f, 使對每個,Xx 有唯一確定的y=f(x)與之對應.(2) 對每個 ,元素x的像y是唯一的;Xx 對每個 ,元素y的原像不一定是唯一的;fRy 映射f 的值域 是Y的一個子集,即 ,不一定 .YRf fRYRf 第15頁/共49頁例1 設 , 對每個 , . RR

10、f:Rx 2)(xxf 顯然, f是一個映射, f 的定義域 ,值域 RDf ,0 yyRf它是R的一個真子集.對于Rf 中的元素y, 除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2兩個.例2 設 ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY對每個 ,有唯一確定的 Xyx ),(Yx )0 ,(與之對應.顯然, f 是一個映射, f 的定義域 ,值域XDf .YRf Oxy-11這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間-1,1上.第16頁/共49頁例3 設,1 , 12,2 : f對每個 ,2,2 x.sin)(xxf 這里f 是一個映射,其

11、定義域 , ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR f 稱為X到Y上的滿射：若Rf=Y.即即Y中任一元素中任一元素y f為X到Y上的單射: 若對X中任意兩個不同元素滿射 單射 一一映射都是X中某元素的像.f為一一映射(或或雙射雙射): 若映射若映射f 既是單射又是滿射既是單射又是滿射.如:例1 既非單射, 又非滿射;例2 不是單射,是滿射;例3 既是單射,又是滿射,因此是一一映射.,21xx 它們的像).()(21xfxf 第17頁/共49頁映射又稱為算子. 根據(jù)集合X、Y的不同情形,在不同的數(shù)學分支中,映射又有不同的慣用名稱.如: 從非空集合X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函.從非空集合X到

12、它自身的映射又稱為X上的變換. 從實數(shù)集(或其子集)X到實數(shù)集Y的映射稱為定義在X上的函數(shù).第18頁/共49頁2. 2. 逆映射與復合映射逆映射與復合映射設 f 是X到Y上的單射,定義一個從Rf到X的新映射g即對每個,fRy 規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個映射g稱為f 的逆映射,記作 其定義域,1 f,1ffRD 值域.1XRf 注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf11 1,1,.2 2ffDR 第19頁/共49頁設有兩個映射,:,:21ZYfYXg其中則可以確定一個從X 到Z 的映射, 稱為復合映射記作, gf

13、 即即,:ZXgf注意:(1)映射g 和f 構成復合映射的條件:.fgDR (2) fggf兩者也不同時有意義.第20頁/共49頁例4 設有映射,1 , 1: Rg對每個對每個,sin)(,xxgRx ,1 , 0 1 , 1 : f對每個對每個.1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf .cossin12xx 第21頁/共49頁三、函數(shù)三、函數(shù)1.函數(shù)概念因變量因變量自變量自變量)(xfy 對每個 ,按對應法則 f ,總有唯一確定的值y與之對應, 這個值稱為函數(shù)f 在x處的函數(shù)值,記作f (x),即y=Dx 函數(shù)值f (x)的全體所構成的集合稱為函數(shù)f 的值域,.),()(Dxxf

14、yyDfRf RD RDf:定義 設數(shù) 集 , 則稱映射 為定義D上的函數(shù)，通常簡記為fDDDf f (x). D稱為定義域稱為定義域, 記作記作 , 即即 fR記作 或 f (D) , 即第22頁/共49頁函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi).函數(shù)的函數(shù)的兩要素兩要素: :定義域 與對應法則f .fD 如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的. 約定: 定義域是自變量所能取的使算式有(實際)意義的一切實數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D)1 , 1(: D 如如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)

15、叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)222ayx 例如例如:第23頁/共49頁 對于多值函數(shù), 往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如例如,在由方程在由方程222ayx 給出的對應法則中給出的對應法則中,附加附加“ ”的條件的條件,0 y就可得到一個單值分支就可得到一個單值分支.221xayy 表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點集),(),(DxxfyyxP 稱為函數(shù)Dxxfy ),(的圖形.xy),(yxxyfR )(xfy 第24頁/共49頁常見的幾種函數(shù)常見的幾種函數(shù)例5 函數(shù)y=2它的定義域它的定義域),

16、( D值域值域,2 fR它的圖形是一條平它的圖形是一條平行行于于x軸的直線軸的直線.Oxyy=2例6 函數(shù)定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR這個函數(shù)稱為絕對值函數(shù).Oxyxy 第25頁/共49頁1-1xyoxxx sgn 010001sgnxxxxy當當當當當當例7 函數(shù)稱為符號函數(shù),定義域 D=(,+),值域 =1,0,1.fR注:對任意的x,有第26頁/共49頁 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x表示不超過x的最大整數(shù)例8 取整函數(shù) y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=

17、1=1,1,. 075 定義域 D=(,+),值域 =Z.fR第27頁/共49頁例例9 函數(shù)函數(shù) 1,110 ,2)(xxxxxfy是一個分段函數(shù).它的定義域它的定義域 D=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy2 yxO1第28頁/共49頁2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性(1) 函數(shù)的函數(shù)的有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無界無界則稱函數(shù)則稱函數(shù), 0,XxMDX 若若Mxf )(有有 成立，成立，f (x)在在X上有界上有界.否則稱為無界否則稱為無界.(2)有界與否是和X有關的.(1)當一個函數(shù)有界時

18、，它的界是不唯一的.注意注意: :Xx 1Mxf )(1使使(3)證明無界的方法: 對于任意正數(shù) M ,總存在第29頁/共49頁(2) 函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:)(xfy )(2xfxyoI設函數(shù)f (x)的定義域為D, 區(qū)間,DI 1212()(),( ()()f xf xf xf x如果對于區(qū)間I上任意兩點x1和x2,當x1x2時,恒有則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(單調(diào)減少的);)(xfy )(2xfxyoI第30頁/共49頁(3) 函數(shù)的函數(shù)的奇偶性奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設函數(shù)f (x)的定義域為D關于原點對稱,對于有f (

19、-x)= f (x)恒成立,則稱f (x)為偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱.函數(shù) y=cosx是偶函數(shù).第31頁/共49頁奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 設函數(shù)f (x)的定義域為D關于原點對稱,對于,Dx 有f (-x)= -f (x)恒成立,則稱f (x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關于原點對稱.函數(shù) y=sinx是偶函數(shù).函數(shù) y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).第32頁/共49頁(4) 函數(shù)的函數(shù)的周期性周期性:2l 2l23l 23l函數(shù)sinx, cosx的周期是.2 函數(shù)tanx的周期是. （通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.則稱f (x)為周

20、期函數(shù), l 稱為f (x)的周期.有對于任一一Dx ,)(Dlx 且恒成立,設函數(shù)f (x)的定義域為D,如果存在一個正數(shù)l ,使得第33頁/共49頁有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例10 狄利克雷函數(shù) 它是一個周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.第34頁/共49頁3. 反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)的定義: :設函數(shù))(:DfDf是單射,則它存在如:函數(shù)Rxxy ,3是單射,其反函數(shù)為.,31Rxxy 若函數(shù)f (x)在D上是單調(diào)函數(shù),則f-1也是也是f (D)上的單上的單調(diào)函數(shù)調(diào)函數(shù).0 x0yxyD)(yx 反函數(shù)反函

21、數(shù)ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數(shù)函數(shù),)(:1DDff 稱此映射為函數(shù)f 的反函數(shù).逆映射第35頁/共49頁)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線 y=x 對稱.相對于反函數(shù)原來的函數(shù)y=f (x)稱為直接函數(shù).第36頁/共49頁復合函數(shù)復合函數(shù)定義:設函數(shù) y=f(u)的的定義域為D1,函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且,)(1DDg 則由下式確定的函數(shù) Dxxgfy , )(稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f 構成的復合函數(shù)通常記為.

22、 gf 函數(shù)g與函數(shù)f 構成復合函數(shù)的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f 的定義域fD內(nèi),即.)(fDDg 第37頁/共49頁 注:1. 不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;)2arcsin(2xy 2. 復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成.,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx 如如:第38頁/共49頁4. 4. 函數(shù)的運算函數(shù)的運算設函數(shù)f (x), g (x)的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：和(差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(D

23、xxgxfxgf 商商 .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf第39頁/共49頁 例11 設函數(shù)f (x)的定義域為(-l ,l ),證明必存在(-l ,l )上的偶函數(shù)g (x)和奇函數(shù)h (x), 使得)()()(xhxgxf 證 先分析如下:假若這樣的g (x)、 h (x)存在,使得)()()(xhxgxf (1)且且).()(),()(xhxhxgxg 于是有于是有).()()()()(xhxgxhxgxf (2)利用(1)、(2)式,就可作出g (x), h (x).作作11( )( )( ) ,( )( )( ) .22g xf xfxh xf xfx則則),()()(xfxhxg ),()()(21)(xgxfxfxg ),()()(21)(xhxfxfxh 證畢證畢.第40頁/共49頁5. 初等函數(shù)(1)冪函數(shù)冪函數(shù)Rxy ( 是常數(shù)是常數(shù))基本初等函數(shù)(2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xey (5)反三角函數(shù)反三角函數(shù) y=arc