經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)講義第7章多元函數(shù)微分學

1、第4章 多元函數(shù)微分學4.2.1 二元函數(shù)的概念多元函數(shù)與一元函數(shù)類似，學習時應(yīng)注意比較一元函數(shù)是含有一個自變量的函數(shù)：。多元函數(shù)是含有多個自變量的函數(shù)，例如：二元函數(shù)：，三元函數(shù)：等等例1 如果圓錐體底半徑為,高為，則其體積它是二元函數(shù).其中，和是自變量，是因變量（函數(shù)）.定義域：.例2黑白電視：在時刻屏幕上坐標為處的灰度為：，它是三元函數(shù).例3在一個有火爐的房間里，在時刻，點處的溫度是的函數(shù)：，稱為溫度分布函數(shù)，它是四元函數(shù)例4求函數(shù)的定義域解：，定義域為例5  求的定義域解：由所給函數(shù)，對數(shù)真數(shù)為正，又分母根式為正，有4.34.4偏導數(shù)二元函數(shù)在點處關(guān)于的偏導數(shù)（注意到：取值不

2、變，恒為）記作：或.類似地，關(guān)于的偏導數(shù)：例如：                       求偏導數(shù)，包括兩個偏導數(shù)，一個是對求偏導，一個是對求偏導.對求偏導時，應(yīng)把看作常數(shù).這樣就變?yōu)榱艘辉瘮?shù)，于是就可以用一元函數(shù)的微分法求導數(shù)了.對求偏導也類似.注意：一元函數(shù)在處可導，則在處連續(xù).多元函數(shù)在可導和在連續(xù)，二者不能互推.全微分稱     &#

3、160;           為函數(shù)在點處的全微分.例1: 求在點處關(guān)于的偏導數(shù).解： 將看作常數(shù)，例2:  求在點處的全微分.解： ，因此，4.5 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 復合函數(shù)求導法設(shè)，而，則       ， 例1:   .解法1：（利用復合求導公式）設(shè)，則  ，           

4、;                            解法2：（直接求）同理，例2:，求解:設(shè),則，例3，求解: 設(shè),則，例4，求注意：是二元函數(shù)：， 而是關(guān)于的二元函數(shù)，最終是關(guān)于的一元函數(shù)例5，求注意：是一元函數(shù)，而是關(guān)于的二元函數(shù)，例6  方程其圖形為上半圓周，相應(yīng)的函數(shù)為。顯然，另一種觀點：，&#

5、160;，例7設(shè)函數(shù)由方程所確定，求 解: 無法由已知方程解出但此應(yīng)滿足                 由此解出，4.6 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值多元函數(shù)極值的概念與一元函數(shù)極值的概念類似若對附近的均有，則稱是的極小點，是極小值若，則稱是的極大點，是極大值極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值存在的必要條件若一元函數(shù)在處可導，且是極值點，則若二元函數(shù)在處可導，且是極值點，則，二元函數(shù)最大值、最小值若在

6、閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)必有最大值和最小值若在內(nèi)可導，且在內(nèi)有唯一駐點，則在該駐點處的值就是最大值或最小值下面我們總結(jié)一下求最大值最小值應(yīng)用問題的步驟：（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系；（2）求駐點；如果駐點合理且惟一，則該駐點就是所求的應(yīng)用問題的最大點（或最小點）例2 用鐵皮做一個體積為的無蓋長方體箱子，問其尺寸為多少時，才能用料最??？解：設(shè)長、寬分別為，則高為，表面積為            ，  解得，此時高為答：當長、寬、高分別為、時，無蓋箱子用料最省4.6.3 條件極值在例

7、2中，給定體積V，求用料最省的無蓋長方盒，即求S=xy+2xh+2yh在條件xyh=V下的最小值拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件下的條件極值，可用如下的拉格朗日乘數(shù)法：令拉格朗日函數(shù)：求的（無條件）極值：                      解此方程組用拉格朗日乘數(shù)法解例2：求原題即為求在條件下的最小值令                         &