概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章隨機(jī)變量及其分布8節(jié)ppt課件

1、第七節(jié)第七節(jié) 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量 及其分布及其分布(2)二維隨機(jī)變量的邊緣分布二維隨機(jī)變量的邊緣分布二維隨機(jī)變量的條件分布二維隨機(jī)變量的條件分布一、邊緣分布一、邊緣分布()iP Xx(,)ijjP Xx Yyijjp ,jiijyYxXPp ， ，21 ji則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量X,YX,Y的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為同理隨機(jī)變量同理隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為()jP Yy(,)ijiP Xx Yyijjippip1.已知聯(lián)合概率分布求邊緣分布已知聯(lián)合概率分布求邊緣分布表表示的邊緣分布也可以由下以及YX Y X

2、1y 2y jy ip 1x 11p 12p jp1 1p 2x 21p 22p jp2 2p ix 1 ip 2ip ijp ip jp 1 p 2 p jp 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y的聯(lián)合概率分布如的聯(lián)合概率分布如下下例例1 1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量X與與Y的邊緣概率函數(shù)。的邊緣概率函數(shù)。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/5012

3、.已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù) ),(yxfYX的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為，二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量 dyyxfxfX，得得的邊緣密度函數(shù)：的邊緣密度函數(shù)：求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X xfX xXPxFX 由由 ，xF xdudyyuf， dxyxfyfY，得得同理，由同理，由 yYPyFY yF， ydvdxvxf，設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為例例2 2( ),( ).XYfxfy26,( , )0,其他xyxf x y( )( , )Xfxf x y dy解：解：求求X與與Y的邊緣概率密度的邊緣概率

4、密度( )( , )Yfyf x y dx01y6()yy0,其他01x26()xx0,其他yoy=xy=x21D26xxdy6yydy小結(jié)：小結(jié)： 二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系：二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系： 邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊 緣分布確定聯(lián)合分布。緣分布確定聯(lián)合分布。難點(diǎn)：求邊緣分布時(shí)如何確定積分區(qū)域及邊緣難點(diǎn)：求邊緣分布時(shí)如何確定積分區(qū)域及邊緣 密度不為零的范圍。密度不為零的范圍。1. 離散隨機(jī)變量的條件分布離散隨機(jī)變量的條件分布 設(shè)設(shè) ( X ,Y ) 是二維離散隨機(jī)變量，其分布律為是二維離散隨機(jī)變量，其

5、分布律為 , 2 , 1,1 ippxXPjjiii, 2 , 1,1 jppyYPijijj(X, Y ) 關(guān)于關(guān)于 X 和關(guān)于和關(guān)于 Y 的邊緣概率函數(shù)分別為：的邊緣概率函數(shù)分別為：P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j=1,2,.二、離散隨機(jī)變量的條件分布二、離散隨機(jī)變量的條件分布 由條件概率公式由條件概率公式定理：設(shè)定理：設(shè)( X ,Y ) 是二維離散型隨機(jī)變量，是二維離散型隨機(jī)變量， ,jjiyYPyYxXP 在在Y= yj 條件下條件下X 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)|jiyYxXP (1)若若PY= yj 0, 那么那么)()()|(BPABPBAP 自然地引

6、出如下定理：自然地引出如下定理：,jijpp , 2 , 1 i(2)若若PX= xi0, 那么那么, 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij在在 X= xi 條件下條件下Y 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)條件分布律具有分布律的以下特性：條件分布律具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0； 10|2ijiyYxXP. 1 jjpp 1ijijpp即條件分布率是分布率。即條件分布率是分布率。設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y的聯(lián)合概率分布如的聯(lián)合概率分布如下下例例1 1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/501

7、0/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501的條件分布為的條件下在X0Y,)0(5024YP已知解：解：求求(1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X在在Y=0條件下的條件分布。條件下的條件分布。)0|0(YXP241050245010)0()0, 0(YPYXP)0| 1(YXP)0()0, 1(YPYXP2495024509)0|2(YXP)0()0, 2(YPYXP2455024505設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y的聯(lián)合概率分布如的聯(lián)合概率分布如下下例例1 1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010

8、/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501,) 1(5022XP已知求求 (2)隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y在在X=1條件下的條件分布。條件下的條件分布。解：解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220則則Y在在X=1條件下的條件分布為條件下的條件分布為二、連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布二、連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布設(shè)設(shè) ( X ,Y ) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于 .|, 0無(wú)無(wú)意意義義所所以以yYxXPyYP 所以應(yīng)在所以應(yīng)在 P y Yy+y0時(shí)時(shí),考慮考慮X x的條件概的條件概率率|yyYyxXP|yyYy

9、xXP,yyYyPyyYyxXP yyyYxyyydyyfdydxyxf)(),(|yyYyxXP yyyYxyyydyyfdydxyxf)(),(yyyYyxyyyydyyfdxdyyxf)(),(11yyyYyyxyyyyydyyfdxdyyxf)(lim),(lim1010)(),(yfdxyxfYx)|(|yxFYX|lim0yyYyxXPy,)(),()|(| xYYXduyfyufyxF)(),()|(|yfyxfyxfYYX 稱(chēng)為在條件稱(chēng)為在條件Y= y下下X的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù).隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X在在Y=yY=y的條件下的條件密度函數(shù)的條件下的條件密度函數(shù)注：條件密

10、度函數(shù)的性質(zhì)與普通密度函數(shù)類(lèi)似)(),()|(|xfyxfxyfXXY隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y Y在在X=xX=x的條件下的條件密度函數(shù)的條件下的條件密度函數(shù) 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變，若二維隨機(jī)變量量X,Y具有概率密度具有概率密度例例2 2其他, 0G),(,1),(yxAyxf122 yx).|(|yxfYX則稱(chēng)則稱(chēng)(X,Y)在在G上服從均勻分布上服從均勻分布.現(xiàn)設(shè)現(xiàn)設(shè)(X,Y)在圓域在圓域 解：邊緣概率密度解：邊緣概率密度上服從均勻分布上服從均勻分布.求條件概率密度求條件概率密度 dxyxfyfY),()(22111yydx, 11,122

11、yy., 0其他)|(|yxfYX2211y,11,121222yxyy., 0其他時(shí)，有當(dāng)11- yn 特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于分別等價(jià)于 第八節(jié)第八節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( , )( )( )XYf x yfxfyijijppp即 在實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用中，當(dāng)在實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用中，當(dāng)X X的取值與的取值與Y Y的取值互不影響的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為時(shí)，我們就認(rèn)為X X與與Y Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用公式運(yùn)

12、用. . 在在X與與Y是相互獨(dú)立的前提下，是相互獨(dú)立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy例例1 1的聯(lián)合概率分布為，設(shè)二維隨機(jī)變量YXX Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +ijijppp相互獨(dú)立與使得隨機(jī)變量，試確定常數(shù)YX解：由聯(lián)合概率分布的性質(zhì)知0, 0, 且2/3+ +=1,即即 +=1/3,由X,Y相互獨(dú)立,有2112ppp)91(31919291例例2 2 設(shè)設(shè)X X，Y Y的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其他, 00, 0,),()(yxxeyxfyx0)()(dyxexfyxX解：所以X,Y

13、相互獨(dú)立。)()(),(yfxfyxfYX問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？0,xxex0)()(dxxeyfyxY0,yeyn 維隨機(jī)變量的獨(dú)立性維隨機(jī)變量的獨(dú)立性 是相互獨(dú)立的。個(gè)隨機(jī)變量則稱(chēng)，有若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)其邊緣分布函數(shù)為，的聯(lián)合分布函數(shù)為維隨機(jī)變量定義：設(shè)nnXXXnniiiXnnnnXXXnxFxFxFxxxFxxxnixXPxFxXxXxXPxxxFXXXnni,;, 2 , 1),(),(),(212121212211212121n 特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于分別等價(jià)于 11221122(, ,)() ()()nnnnP X

14、x XxXxP Xx PXxPXx121212(,)()()()nnXXXnf xxxfxfxfx第九節(jié)第九節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布X-1012pk0.20.30.10.41 . 0) 1()0(XPYP7 . 04 . 03 . 0)2()0() 1(XPXPYP一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y=(X-1)2的概率分布例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下，解：Y的所有可能取值為0,1,42 . 0) 1()4(XPYP例例2. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度有概率密度其他, 040,8)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(yYPyFY解：分別記解：

15、分別記X，Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。)82(yXP)28(yXP)28(yFX的概率密度為求導(dǎo)數(shù)，得關(guān)于將Y)(yyFY)28)(28()()(yyfyFyfXYY其他，, 0428021)28(81yy其他，,0168328yy例例3. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，上服從均勻分布，時(shí)，有當(dāng)10) 1 ( y)()(yYPyFY)(2yXP解解: 當(dāng)當(dāng)X在區(qū)間在區(qū)間-1,2上取值時(shí)上取值時(shí),Y在在0,1或或1,4取值取值求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度。的概率密度。)(yXyPdxyy31由于由于y=x2不是單調(diào)的，不是單調(diào)的，y32時(shí)，有當(dāng)41)2( y)()(yYPyFY)(2yXP