概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2章隨機變量及其分布8節(jié)ppt課件

1、第七節(jié)第七節(jié) 多維隨機變量多維隨機變量 及其分布及其分布(2)二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的條件分布二維隨機變量的條件分布一、邊緣分布一、邊緣分布()iP Xx(,)ijjP Xx Yyijjp ,jiijyYxXPp ， ，21 ji則隨機變量則隨機變量X的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為二維隨機變量二維隨機變量X,YX,Y的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為同理隨機變量同理隨機變量Y的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為()jP Yy(,)ijiP Xx Yyijjippip1.已知聯(lián)合概率分布求邊緣分布已知聯(lián)合概率分布求邊緣分布表表示的邊緣分布也可以由下以及YX Y X

2、1y 2y jy ip 1x 11p 12p jp1 1p 2x 21p 22p jp2 2p ix 1 ip 2ip ijp ip jp 1 p 2 p jp 設二維隨機變量設二維隨機變量X, Y的聯(lián)合概率分布如的聯(lián)合概率分布如下下例例1 1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求隨機變量求隨機變量X與與Y的邊緣概率函數(shù)。的邊緣概率函數(shù)。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/5012

3、.已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù) ),(yxfYX的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為，二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量 dyyxfxfX，得得的邊緣密度函數(shù)：的邊緣密度函數(shù)：求隨機變量求隨機變量 X xfX xXPxFX 由由 ，xF xdudyyuf， dxyxfyfY，得得同理，由同理，由 yYPyFY yF， ydvdxvxf，設二維隨機變量設二維隨機變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為例例2 2( ),( ).XYfxfy26,( , )0,其他xyxf x y( )( , )Xfxf x y dy解：解：求求X與與Y的邊緣概率密度的邊緣概率

4、密度( )( , )Yfyf x y dx01y6()yy0,其他01x26()xx0,其他yoy=xy=x21D26xxdy6yydy小結：小結： 二維隨機變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關系：二維隨機變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關系： 邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊 緣分布確定聯(lián)合分布。緣分布確定聯(lián)合分布。難點：求邊緣分布時如何確定積分區(qū)域及邊緣難點：求邊緣分布時如何確定積分區(qū)域及邊緣 密度不為零的范圍。密度不為零的范圍。1. 離散隨機變量的條件分布離散隨機變量的條件分布 設設 ( X ,Y ) 是二維離散隨機變量，其分布律為是二維離散隨機變量，其

5、分布律為 , 2 , 1,1 ippxXPjjiii, 2 , 1,1 jppyYPijijj(X, Y ) 關于關于 X 和關于和關于 Y 的邊緣概率函數(shù)分別為：的邊緣概率函數(shù)分別為：P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j=1,2,.二、離散隨機變量的條件分布二、離散隨機變量的條件分布 由條件概率公式由條件概率公式定理：設定理：設( X ,Y ) 是二維離散型隨機變量，是二維離散型隨機變量， ,jjiyYPyYxXP 在在Y= yj 條件下條件下X 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)|jiyYxXP (1)若若PY= yj 0, 那么那么)()()|(BPABPBAP 自然地引

6、出如下定理：自然地引出如下定理：,jijpp , 2 , 1 i(2)若若PX= xi0, 那么那么, 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij在在 X= xi 條件下條件下Y 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)條件分布律具有分布律的以下特性：條件分布律具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0； 10|2ijiyYxXP. 1 jjpp 1ijijpp即條件分布率是分布率。即條件分布率是分布率。設二維隨機變量設二維隨機變量X, Y的聯(lián)合概率分布如的聯(lián)合概率分布如下下例例1 1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/501

7、0/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501的條件分布為的條件下在X0Y,)0(5024YP已知解：解：求求(1)隨機變量隨機變量X在在Y=0條件下的條件分布。條件下的條件分布。)0|0(YXP241050245010)0()0, 0(YPYXP)0| 1(YXP)0()0, 1(YPYXP2495024509)0|2(YXP)0()0, 2(YPYXP2455024505設二維隨機變量設二維隨機變量X, Y的聯(lián)合概率分布如的聯(lián)合概率分布如下下例例1 1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010

8、/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501,) 1(5022XP已知求求 (2)隨機變量隨機變量Y在在X=1條件下的條件分布。條件下的條件分布。解：解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220則則Y在在X=1條件下的條件分布為條件下的條件分布為二、連續(xù)隨機變量的條件分布二、連續(xù)隨機變量的條件分布設設 ( X ,Y ) 是二維連續(xù)型隨機變量，由于是二維連續(xù)型隨機變量，由于 .|, 0無無意意義義所所以以yYxXPyYP 所以應在所以應在 P y Yy+y0時時,考慮考慮X x的條件概的條件概率率|yyYyxXP|yyYy

9、xXP,yyYyPyyYyxXP yyyYxyyydyyfdydxyxf)(),(|yyYyxXP yyyYxyyydyyfdydxyxf)(),(yyyYyxyyyydyyfdxdyyxf)(),(11yyyYyyxyyyyydyyfdxdyyxf)(lim),(lim1010)(),(yfdxyxfYx)|(|yxFYX|lim0yyYyxXPy,)(),()|(| xYYXduyfyufyxF)(),()|(|yfyxfyxfYYX 稱為在條件稱為在條件Y= y下下X的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù).隨機變量隨機變量X X在在Y=yY=y的條件下的條件密度函數(shù)的條件下的條件密度函數(shù)注：條件密

10、度函數(shù)的性質與普通密度函數(shù)類似)(),()|(|xfyxfxyfXXY隨機變量隨機變量Y Y在在X=xX=x的條件下的條件密度函數(shù)的條件下的條件密度函數(shù) 設設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機變，若二維隨機變量量X,Y具有概率密度具有概率密度例例2 2其他, 0G),(,1),(yxAyxf122 yx).|(|yxfYX則稱則稱(X,Y)在在G上服從均勻分布上服從均勻分布.現(xiàn)設現(xiàn)設(X,Y)在圓域在圓域 解：邊緣概率密度解：邊緣概率密度上服從均勻分布上服從均勻分布.求條件概率密度求條件概率密度 dxyxfyfY),()(22111yydx, 11,122

11、yy., 0其他)|(|yxfYX2211y,11,121222yxyy., 0其他時，有當11- yn 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于分別等價于 第八節(jié)第八節(jié) 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( , )( )( )XYf x yfxfyijijppp即 在實際問題或應用中，當在實際問題或應用中，當X X的取值與的取值與Y Y的取值互不影響的取值互不影響時，我們就認為時，我們就認為X X與與Y Y是相互獨立的，進而把上述定義式當是相互獨立的，進而把上述定義式當公式運用公式運

12、用. . 在在X與與Y是相互獨立的前提下，是相互獨立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy例例1 1的聯(lián)合概率分布為，設二維隨機變量YXX Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +ijijppp相互獨立與使得隨機變量，試確定常數(shù)YX解：由聯(lián)合概率分布的性質知0, 0, 且2/3+ +=1,即即 +=1/3,由X,Y相互獨立,有2112ppp)91(31919291例例2 2 設設X X，Y Y的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其他, 00, 0,),()(yxxeyxfyx0)()(dyxexfyxX解：所以X,Y

13、相互獨立。)()(),(yfxfyxfYX問X與Y是否獨立？0,xxex0)()(dxxeyfyxY0,yeyn 維隨機變量的獨立性維隨機變量的獨立性 是相互獨立的。個隨機變量則稱，有若對于任意的實數(shù)其邊緣分布函數(shù)為，的聯(lián)合分布函數(shù)為維隨機變量定義：設nnXXXnniiiXnnnnXXXnxFxFxFxxxFxxxnixXPxFxXxXxXPxxxFXXXnni,;, 2 , 1),(),(),(212121212211212121n 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于分別等價于 11221122(, ,)() ()()nnnnP X

14、x XxXxP Xx PXxPXx121212(,)()()()nnXXXnf xxxfxfxfx第九節(jié)第九節(jié) 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布X-1012pk0.20.30.10.41 . 0) 1()0(XPYP7 . 04 . 03 . 0)2()0() 1(XPXPYP一、一維隨機變量函數(shù)的分布一、一維隨機變量函數(shù)的分布求Y=(X-1)2的概率分布例1 設隨機變量X的概率分布如下，解：Y的所有可能取值為0,1,42 . 0) 1()4(XPYP例例2. 設隨機變量設隨機變量X有概率密度有概率密度其他, 040,8)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(yYPyFY解：分別記解：

15、分別記X，Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求隨機變量求隨機變量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。)82(yXP)28(yXP)28(yFX的概率密度為求導數(shù)，得關于將Y)(yyFY)28)(28()()(yyfyFyfXYY其他，, 0428021)28(81yy其他，,0168328yy例例3. 設隨機變量設隨機變量X在區(qū)間在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，上服從均勻分布，時，有當10) 1 ( y)()(yYPyFY)(2yXP解解: 當當X在區(qū)間在區(qū)間-1,2上取值時上取值時,Y在在0,1或或1,4取值取值求隨機變量求隨機變量Y=X2的概率密度。的概率密度。)(yXyPdxyy31由于由于y=x2不是單調的，不是單調的，y32時，有當41)2( y)()(yYPyFY)(2yXP