北京教育學院數(shù)學系

1、15:011王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系J15:0121.我們應該繼承人類優(yōu)秀的文化遺產(chǎn)；2.對歷史的研究必須借助文獻資料；3.每個人的陳述應該有論據(jù)支持；4.論據(jù)或者是歷史的或者是實證的。15:013 空間認識對于解釋、理解和欣賞我們周圍的幾何世界是空間認識對于解釋、理解和欣賞我們周圍的幾何世界是必要的（必要的（NCTM） 幾何就是把握空間幾何就是把握空間那是兒童生活、呼吸和運動的空那是兒童生活、呼吸和運動的空間。為了更好地在這個空間里生活、呼吸和運動，兒童必須間。為了更好地在這個空間里生活、呼吸和運動，兒童必須學習了解、探究和征服空間（學習了解、探究和征服空間（Fre

2、udenthal） 由于實踐活動和人類描述自己周圍環(huán)境的需要便產(chǎn)生了由于實踐活動和人類描述自己周圍環(huán)境的需要便產(chǎn)生了幾何形式，并在它們具有了自己特有的抽象意義時慢慢地被幾何形式，并在它們具有了自己特有的抽象意義時慢慢地被概念化。如來自地球測量實踐的理論就發(fā)展了一系列關系和概念化。如來自地球測量實踐的理論就發(fā)展了一系列關系和定理，在歐幾里得原理中對所有這些知識進行的收集、綜合定理，在歐幾里得原理中對所有這些知識進行的收集、綜合和詳盡闡述，達到了這種理論的頂點（和詳盡闡述，達到了這種理論的頂點（Fehr） 方程正是數(shù)學中令人厭煩的部分，我設法用幾何來理解方程正是數(shù)學中令人厭煩的部分，我設法用幾何來

3、理解事物（事物（Hawking） 陳省身：幾何學將是陳省身：幾何學將是2121世紀數(shù)學研究的前沿陣地之一世紀數(shù)學研究的前沿陣地之一 姜伯駒：幾何學正在迎來一個新的高潮姜伯駒：幾何學正在迎來一個新的高潮王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:014主要話題王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:015多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展2.幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展3.幾何課程應該關注中國本土文化的傳承幾何課程應該關注中國本土文化的傳

4、承與發(fā)展與發(fā)展4.主要結論主要結論王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:016多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展（1）古典幾何的地位、價值與不足；（2）幾何學的發(fā)展脈絡；（3）幾何學是重要的學科王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:017多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展（1）古典幾何的地位、價值與不足；l古希臘幾何和幾何原本對人類文明和科學發(fā)展的歷史地位是怎么估計

5、都不過分的數(shù)學意義上的證明（泰勒斯、柏拉圖、亞里士多德為首創(chuàng)DP40）、公理化（歐多克斯、歐幾里德）l古希臘幾何不存在函數(shù)QP37：古希臘幾何主要是靜止的幾何，“運動派”占少數(shù)；他們不需要計算分數(shù)從“數(shù)量之間的相對關系”出發(fā)認識，他們通過幾何對象的“比”來定義“度量”。觀點：古典幾何沒有分數(shù)，只有比和比例；不太關注應用，更關注精神與理性思辨；古典幾何課程在科學和數(shù)學教育上的價值，在今天看來，遠遠要大于它們在“數(shù)學”發(fā)展上的價值。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:018多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展幾何

6、課程應該關注幾何科學的發(fā)展（2）幾何學的發(fā)展脈絡l幾何學的幾個階段（項武義P2)：實驗幾何、推理幾何、坐標解析幾何、向量幾何l現(xiàn)代幾何的發(fā)展脈絡 （陳省身.tw/articles/sm/sm_18_06_1/index.html）：歐氏幾何、非歐幾何 、坐標幾何、群的幾何、古典微分幾何、現(xiàn)代微分幾何、拓撲幾何l主要歷史事件：王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:019幾何學的發(fā)展大事記幾何學的發(fā)展大事記 歐幾里德：公元前歐幾里德：公元前300年，年，幾何原本幾何原本和原始公理化和原始公理化思想思想笛卡爾解析幾何：笛卡爾解析幾

7、何：15961650年，幾何與代數(shù)結合年，幾何與代數(shù)結合非歐幾何：第五公設問題，普雷菲（非歐幾何：第五公設問題，普雷菲（1795），薩開里），薩開里（1697），勒讓德（），勒讓德（1794），高斯（），高斯（1817），鮑耶），鮑耶（1823），羅巴切夫斯基（），羅巴切夫斯基（1829）黎曼幾何：黎曼幾何：黎曼黎曼（1854） 距離距離s和和ds2就是幾何就是幾何-局部幾何局部幾何王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0110幾何學的發(fā)展大事記幾何學的發(fā)展大事記 群幾何觀：彭賽列（群幾何觀：彭賽列（Poncelet17881867）射影幾何，）射影幾何， 克萊恩（克萊恩（

8、F. Klein18491925） Erlangen 剛領：變換群下的不變量剛領：變換群下的不變量拓撲學：歐拉和哥尼斯堡七橋問題（拓撲學：歐拉和哥尼斯堡七橋問題（1736） 歐拉公式，凱利（歐拉公式，凱利（1872）四色問題，）四色問題， 吳示性類吳示性類微分幾何：歐拉、蒙日、高斯、黎曼、微分幾何：歐拉、蒙日、高斯、黎曼、E.Cartan、 陳省身陳省身1942、1945“陳示性類陳示性類”代數(shù)幾何、分形幾何代數(shù)幾何、分形幾何王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0111多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展幾何

9、課程應該關注幾何科學的發(fā)展（2）幾何學的發(fā)展脈絡 觀點：幾何學經(jīng)歷了一個由靜態(tài)幾何到動態(tài)幾何的發(fā)展過程；幾何學經(jīng)歷了一個由綜合幾何到代數(shù)與幾何結合的過程，并最終走向幾何代數(shù)化、幾何機械化的過程；幾何學經(jīng)歷了一個由物質(zhì)世界的觀察（古埃及與古巴比倫幾何）到理性幾何，再應用于物理學（特別是牛頓的微積分和力學），到與現(xiàn)代理論物理和宇宙理論相結合的過程。l動態(tài)動態(tài)l代數(shù)化代數(shù)化l物理世界物理世界王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0112多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展幾何課程應該關注幾何科學的發(fā)展（3）幾何學是重

10、要的學科（數(shù)學中幾個重要的發(fā)展階段都與幾何學有直接或間接的關系）l 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)不可公度量、輾轉相除法、極限思想、實數(shù)理論的原始模型l坐標解析幾何代數(shù)進入幾何對象的研究，一直指引著現(xiàn)代數(shù)學的研究范式，數(shù)形結合；現(xiàn)代函數(shù)思想的產(chǎn)生l非歐幾何的產(chǎn)生導致對元數(shù)學的研究、現(xiàn)代公理化的催產(chǎn)者l現(xiàn)代微分幾何相對論的搖籃 觀點： 在數(shù)學課程設計中幾何只能得到加強，也只會得到加強，比如特別典型的是世界各國的高中課程。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0113多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維2.幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展

11、我國義務階段幾何課程我國義務階段幾何課程l圖形的認識：點、線、面、三角形、四邊形、圓、作圖與視圖l圖形與變換：三種基本變換和相似變換l圖形與坐標：位置和方位的確定l圖形與證明：三角形、四邊形基本性質(zhì)的證明王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0114多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維2.幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展 我國高中階段幾何課程我國高中階段幾何課程l圖形的認識：立體幾何、球面幾何、解三角形立體幾何、球面幾何、解三角形 l圖形與變換：歐拉公式與閉曲面分類、對稱與歐拉公式與閉曲面分類、對稱與群、矩陣與變換群

12、、矩陣與變換l圖形與坐標：平面解析幾何、平面向量、圓錐平面解析幾何、平面向量、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何、坐標系與曲線與方程、空間向量與立體幾何、坐標系與參數(shù)方程參數(shù)方程l圖形與證明：幾何證明選講、三等分角與數(shù)域幾何證明選講、三等分角與數(shù)域擴充擴充 王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0115多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維2.幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展幾何課程應該關注學生未來的發(fā)展 多元多維的幾何課程，包括古典幾何、網(wǎng)格多元多維的幾何課程，包括古典幾何、網(wǎng)格幾何、坐標幾何（包括仿射幾何）、向量幾何、幾何、坐標幾何（包括仿射幾

13、何）、向量幾何、變換幾何、幾何與其它學科的聯(lián)系（如物理學、變換幾何、幾何與其它學科的聯(lián)系（如物理學、建筑和藝術等）、幾何問題解決、直觀幾何建筑和藝術等）、幾何問題解決、直觀幾何（如簡單圖論和直觀拓撲等）和幾何的新發(fā)展（如簡單圖論和直觀拓撲等）和幾何的新發(fā)展（如分形幾何）。多元多維的幾何觀既關注了（如分形幾何）。多元多維的幾何觀既關注了幾何學科的科學發(fā)展，同時也關注了學生個性幾何學科的科學發(fā)展，同時也關注了學生個性的發(fā)展。的發(fā)展。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0116多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維3. 幾何課程應該關注中國本土文化的

14、傳承與發(fā)展幾何課程應該關注中國本土文化的傳承與發(fā)展中國文化的基本精神（中國文化的基本精神（GP68-80）：天人協(xié)調(diào)（天人合一）：天人協(xié)調(diào)（天人合一）自強不息；貴和尚中；矢志愛國；敬老愛幼；誠心待人；自強不息；貴和尚中；矢志愛國；敬老愛幼；誠心待人；勤勞節(jié)儉；慎獨自愛勤勞節(jié)儉；慎獨自愛中國文化的消極因素：因循守舊；宗法等級；重倫理輕技中國文化的消極因素：因循守舊；宗法等級；重倫理輕技術；重整體輕分析，重歸納輕演繹；術；重整體輕分析，重歸納輕演繹；觀點：中國的幾何課程還有將在很長的時間內(nèi)需要具有觀點：中國的幾何課程還有將在很長的時間內(nèi)需要具有“公理化公理化”思想的內(nèi)容，盡管思想的內(nèi)容，盡管“幾何

15、證明幾何證明”甚至甚至“數(shù)學證明數(shù)學證明”都不一都不一定是一個數(shù)學家必備的準備（定是一個數(shù)學家必備的準備（DP10）。）。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0117多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維4.主要結論主要結論l圖形的認識：從直觀幾何（整體幾何、定性幾何）到半形式化幾何（局部幾何、初步定量幾何），從歐氏幾何到非歐幾何。l圖形與變換：從三種基本變換到拓撲變換。l圖形與坐標：從網(wǎng)格坐標到向量幾何。l圖形與證明：從歐氏幾何的原始公理化到數(shù)學證明的理解。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0118多元多維的幾何課程是

16、二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維4.主要結論主要結論 從課程發(fā)展鏈看，我們的幾何課程的從課程發(fā)展鏈看，我們的幾何課程的整體設計是使學生獲得多元多維幾何整體設計是使學生獲得多元多維幾何認識的改革。但應該看到，具體的內(nèi)認識的改革。但應該看到，具體的內(nèi)容上仍然存在不斷發(fā)展的需要。容上仍然存在不斷發(fā)展的需要。 王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0119幾何直觀與幾何直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（1）從）從 到到薩開里四邊形薩開里四邊形 歐氏幾何雖然更多是理性精神的產(chǎn)物，歐氏幾何雖然更多是理性精神的產(chǎn)物，但對它的理解卻必須建立在幾何直觀上，當

17、但對它的理解卻必須建立在幾何直觀上，當人們以它為經(jīng)驗產(chǎn)生普遍直覺后，在直覺上人們以它為經(jīng)驗產(chǎn)生普遍直覺后，在直覺上是不接受非歐幾何的?？梢哉f，成也直觀敗是不接受非歐幾何的?？梢哉f，成也直觀敗也直觀。也直觀。 有趣的是：有趣的是：人們理解非歐幾何的合理性，人們理解非歐幾何的合理性，反過來又要借助于歐氏幾何的合理性。反過來又要借助于歐氏幾何的合理性。2王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0120幾何直觀與幾何直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、解決解決數(shù)學問題。數(shù)學問題。

18、 龐加萊（龐加萊（1899）在）在數(shù)學教學數(shù)學教學的創(chuàng)刊號上的創(chuàng)刊號上提出：在數(shù)學教學中除注意邏輯外，要更多地注提出：在數(shù)學教學中除注意邏輯外，要更多地注意直觀。他寫道：意直觀。他寫道：“我們是通過邏輯去證明，但我們是通過邏輯去證明，但我們是通過直觀去創(chuàng)造。我們是通過直觀去創(chuàng)造?！饼嫾尤R認為數(shù)學創(chuàng)造龐加萊認為數(shù)學創(chuàng)造是一種洞察的過程，他強調(diào)了在高度專心一段時是一種洞察的過程，他強調(diào)了在高度專心一段時間后會突然地出現(xiàn)的頓悟的火花。間后會突然地出現(xiàn)的頓悟的火花。 格勞斯格勞斯 數(shù)學教與學研究手冊數(shù)學教與學研究手冊P12王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0121幾何直觀與幾何

19、直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、解決解決數(shù)學問題。數(shù)學問題。 通過通過Hilbert公理體系，公理體系，Euclid的全部定理最終的全部定理最終都能不同圖形加以證明。都能不同圖形加以證明。 （D）當代數(shù)學為了人類心智的榮耀當代數(shù)學為了人類心智的榮耀P47 所有上面敘述的幾何想法，像所有上面敘述的幾何想法，像19世紀中葉之前微世紀中葉之前微積分的所有其他幾何應用一樣，都基于關于曲線積分的所有其他幾何應用一樣，都基于關于曲線長度、曲面面積和立體體積的未予表述的假設之長度、曲面面積和立體體積

20、的未予表述的假設之上。它們事實上是通過簡化的圖形由上。它們事實上是通過簡化的圖形由“幾何直觀幾何直觀”提示的。提示的。（D）P76 王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0122幾何直觀與幾何直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的常見形態(tài)：數(shù)形結合，可視）幾何直觀的常見形態(tài)：數(shù)形結合，可視化化 可視化是重要的，甚至是關鍵的問題。可視化是重要的，甚至是關鍵的問題?？梢暬粌H是可視化不僅是“看看”，更重要的是獲得探，更重要的是獲得探索的思路，并進行探索。索的思路，并進行探索。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0123幾何直觀

21、與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何幾何學初步：古典幾何、拓撲學、圖論、網(wǎng)格 幾何等問題空間與維數(shù)：什么是空間最簡單的幾何圖形：圖形的認識由T構成：圖形的拼補正方體和它的性質(zhì)：展開圖、視圖和直觀圖圖形的分割和拼接三角形：圖形的認識、尺規(guī)作圖王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0124幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何正多面體：拓撲初步（歐拉公式）幾何益智游戲：拼圖等長度的度量面積和體積的度量長度、面積和體積的計算：公式圓：定義、對稱

22、、曲線、面積、畫圓、圖案、等分、正多邊形幾何訓練：觀察圖形、圖形中的規(guī)律拓撲實驗：莫比烏斯帶、七橋問題與一筆畫王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0125幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何火柴問題：拼圖密碼通信：旋轉的應用問題、謎語、游戲由正方體及其部分構成的圖形：三視圖平行和垂直：定義、性質(zhì)、作圖、從平面到空間平行四邊形等：定義、性質(zhì)、黃金分割坐標、坐標、坐標：地理坐標、平面直角坐標系、平面極坐標、空間坐標王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0126幾何直觀與幾何直覺（3）

23、如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何折紙折紙美妙的曲線：圓錐曲線、阿基米德螺線、正弦美妙的曲線：圓錐曲線、阿基米德螺線、正弦曲線、心臟線、擺線等曲線、心臟線、擺線等龍形曲線：分維與分形幾何龍形曲線：分維與分形幾何迷宮迷宮網(wǎng)格紙幾何：利用網(wǎng)格作圖網(wǎng)格紙幾何：利用網(wǎng)格作圖鏡像：鏡面對稱鏡像：鏡面對稱對稱：軸對稱、中心對稱對稱：軸對稱、中心對稱王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0127幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀幾何直觀幾何鑲邊：利用變換作圖鑲邊：利用變換作

24、圖裝飾圖：密鋪裝飾圖：密鋪用對稱性解題：利用對稱證明用對稱性解題：利用對稱證明圓的一個重要性質(zhì)：圓周角與圓心角的關圓的一個重要性質(zhì)：圓周角與圓心角的關系系問題、謎語、游戲問題、謎語、游戲王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0128幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？ 重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀幾何直觀幾何的主要體會的主要體會幾何學習的可以從直觀切入，也應該從直觀切幾何學習的可以從直觀切入，也應該從直觀切入；入；從直觀出發(fā)學習幾何，可以讓學生對幾何整體從直觀出發(fā)學習幾何，可以讓學生對幾何整體的發(fā)展有一個基本認識，以便學生在學習的過的發(fā)展有

25、一個基本認識，以便學生在學習的過程中（潛在地）做出選擇；程中（潛在地）做出選擇；是否存在一種可能性，既走直觀入手是否存在一種可能性，既走直觀入手理性公理性公理理幾何直覺建構的課程方案。幾何直覺建構的課程方案。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0129幾何直觀與幾何直覺 不難把形狀的教學作為開發(fā)可視化能力的重不難把形狀的教學作為開發(fā)可視化能力的重要的第一步。教學生可視化的最簡單的方法是要的第一步。教學生可視化的最簡單的方法是給他們提供豐富的背景知識，從許多種形狀中給他們提供豐富的背景知識，從許多種形狀中獲得親身實踐的經(jīng)驗。獲得親身實踐的經(jīng)驗。 斯蒂恩斯蒂恩站在巨人的肩膀上

26、站在巨人的肩膀上P197 觀點：觀點：（1）數(shù)學直觀是個性化的，也是不數(shù)學直觀是個性化的，也是不斷發(fā)展的；（斷發(fā)展的；（2）幾何直觀和幾何直覺是空間觀）幾何直觀和幾何直覺是空間觀念的重要組成；（念的重要組成；（3）培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，）培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，發(fā)展學生的幾何直覺是幾何課程永恒的主題之發(fā)展學生的幾何直覺是幾何課程永恒的主題之一。一。 王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0130幾何直觀與幾何直覺幾何直覺（洞察力）幾何直覺（洞察力）經(jīng)驗的基礎上的先驗的，經(jīng)驗的基礎上的先驗的，往往是幾何直觀能力的自然發(fā)展。往往是幾何直觀能力的自然發(fā)展。 數(shù)學家所說的數(shù)學家所

27、說的“直覺直覺”，是一種難以言傳，是一種難以言傳的完全個性化的心理體驗；而且有充分理由認的完全個性化的心理體驗；而且有充分理由認為兩位數(shù)學家的為兩位數(shù)學家的“直覺直覺”往往大相徑庭。往往大相徑庭。（D）當代數(shù)學為了人類心智的榮耀當代數(shù)學為了人類心智的榮耀P193王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0131例子：如圖，作一個圓使其與兩條直線相切，例子：如圖，作一個圓使其與兩條直線相切，且點且點P為該圓與其中一條直線的切點。為該圓與其中一條直線的切點。 歐幾里得幾何顯然是一種形式游戲；人們在運用歐幾里得幾何顯然是一種形式游戲；人們在運用規(guī)則作圖時，必須輔以非形式的理解。規(guī)則作

28、圖時，必須輔以非形式的理解。 格勞斯格勞斯 數(shù)學教與學研究手冊數(shù)學教與學研究手冊P377 解構教育形態(tài)的幾何證明P幾何直觀與幾何直覺王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0132 總的來說，雖未總體上作駁斥，拓撲首位的理論總的來說，雖未總體上作駁斥，拓撲首位的理論并不是得到支持的，這可能是兒童不是首先構造拓撲并不是得到支持的，這可能是兒童不是首先構造拓撲思想，然后才構造射影和歐幾里得思想，而思想，然后才構造射影和歐幾里得思想，而可能是各可能是各類思想同時得到發(fā)展，并不斷整合和綜合類思想同時得到發(fā)展，并不斷整合和綜合。這些思想。這些思想在建造、畫圖和理解等行為的基礎上形成原始

29、直覺。在建造、畫圖和理解等行為的基礎上形成原始直覺。 格勞斯格勞斯數(shù)學教與學研究手冊數(shù)學教與學研究手冊 觀點：多元多維的幾何課程是對原始幾何直覺的有觀點：多元多維的幾何課程是對原始幾何直覺的有力支持。力支持。幾何直觀與幾何直覺王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0133古典幾何與幾何證明大幾何觀大幾何觀古典幾何主要研究的內(nèi)容古典幾何主要研究的內(nèi)容（1）對稱性（合同性）對稱性（合同性）-絕對幾何絕對幾何（2）平直性（平行性）平直性（平行性）定性幾何：為定量幾何做準備，并為幾何向多定性幾何：為定量幾何做準備，并為幾何向多元多維方向發(fā)展提供大量的直觀儲備。元多維方向發(fā)展提供大量

30、的直觀儲備。定量幾何：主要有兩個結論定量幾何：主要有兩個結論勾股定理和三角勾股定理和三角形內(nèi)角和定理形內(nèi)角和定理王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0134古典幾何與幾何證明大幾何觀大幾何觀古典幾何主要研究的內(nèi)容古典幾何主要研究的內(nèi)容義務教育階段數(shù)學課標的幾何公理義務教育階段數(shù)學課標的幾何公理 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等（平行公理）一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等（平行公理）絕對幾何絕對幾何 兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。直線平行。 若兩個三角形的兩邊及其夾角若兩個三角形的兩

31、邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個三角形全分別相等，則這兩個三角形全 等。等。 全等三角形的對應邊、對應角分別相等。全等三角形的對應邊、對應角分別相等。王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0135古典幾何與幾何證明平行公理的常見等價命題平行公理的常見等價命題1、 通過直線外一點只能引唯一直線和它平行2、 兩條平行線被第三線所截，同位角相等3、在已知直線同側與它有同樣距離的點組成一直線4、從兩平行線中一條上的點到另一線的距離都相等5、 三角形的內(nèi)角和等于兩直角6、 相似三角形存在7、 一直線的垂線和斜線總相交8、平面上存在一個內(nèi)角和

32、為平角的三角形9、勾股定理成立。 王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0136古典幾何與幾何證明什么是幾何證明？什么是幾何證明？ 數(shù)學證明的一個主要任務是先要說服自己，然數(shù)學證明的一個主要任務是先要說服自己，然后再說服別人。后再說服別人。 數(shù)學家懷特說：數(shù)學家懷特說：“所謂證明不只在不同的文所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時代也有不同的含化有不同的含義，就連在不同的時代也有不同的含義很明顯，我們不會擁有而且極可能永遠不會有義很明顯，我們不會擁有而且極可能永遠不會有一個這樣的證明標準獨立于時代，獨立于所要證明一個這樣的證明標準獨立于時代，獨立于所要證明的東

33、西，并且獨立于使用它的個人或某個思想學的東西，并且獨立于使用它的個人或某個思想學派派” 數(shù)學家哈代說：數(shù)學家哈代說：“嚴格說起來根本沒有所謂數(shù)嚴格說起來根本沒有所謂數(shù)學證明學證明，歸根到底我們只是指出一些要點，歸根到底我們只是指出一些要點，”王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0137l 什么是教育形態(tài)下的幾何證明 鄭毓信先生在從初中“完全廢除”證明談起兼論數(shù)學課程的深入發(fā)展一文中的提法很具有啟發(fā)：數(shù)學家們并不是為了證明（驗證）而去從事證明的，這也就是說，他們所關注的并不只是結論的對或錯，也不只是如何去獲得具體的解答，而主要是為了獲得真正的理解，以及求得進一步的發(fā)展。同時，數(shù)學家也肯定了在嚴格的證明與非嚴格的論證之間存在著相互促進、互相依賴的重要聯(lián)系，并認為數(shù)學的進步并不在于已獲得證明的定理在數(shù)量上的增長，而是要獲得更為深刻的理解。 摘自數(shù)學教育：從理論到實踐，鄭毓信著，上海教育出版社，2001。古典幾何與幾何證明王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0138古典幾何與幾何證明王建明王建明 北京教育學院數(shù)學系北京教育學院數(shù)學系 15:0139 公理體系的觀點可以描述如下：在一個演繹體系中，證明一公理體系的觀點可以描述如下：在一個演繹體系中，證明一個定理就是表明這個定理是某些先前業(yè)已證明過的命題的必然邏個定理就是表明這個定理