鮑建生--數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究

1、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究鮑建生鮑建生華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編輯部電子信箱：編輯部電子信箱： 在線視頻介紹（忻重義）：在線視頻介紹（忻重義）：http:/ Research）的基本流程）的基本流程(Lesh, R. & Sriraman, B. 2005)v干預(yù)：干預(yù)：設(shè)計(jì)的核心是對(duì)實(shí)際問題設(shè)計(jì)的核心是對(duì)實(shí)際問題/環(huán)境的干預(yù)；環(huán)境的干預(yù)；v循環(huán)：循環(huán)：研究過程是分析、設(shè)計(jì)、發(fā)展、評(píng)價(jià)、修正研究過程是分析、設(shè)計(jì)、發(fā)展、評(píng)價(jià)、修正之間的多重循環(huán)之間的多重循環(huán)v實(shí)踐：實(shí)踐：在研究的各個(gè)階段和活動(dòng)中，都有實(shí)踐者的在研究的各個(gè)階段和活動(dòng)中，都有實(shí)踐者的參與參與v過程：

2、過程：強(qiáng)調(diào)理解和改進(jìn)干預(yù)的過程（避免黑箱式的強(qiáng)調(diào)理解和改進(jìn)干預(yù)的過程（避免黑箱式的、只考慮輸入、只考慮輸入-輸出的測(cè)量）輸出的測(cè)量）v效用：效用：研究的功效必須在實(shí)踐中檢驗(yàn)研究的功效必須在實(shí)踐中檢驗(yàn)v理論：理論：設(shè)計(jì)必須（至少部分）基于概念框架和理論設(shè)計(jì)必須（至少部分）基于概念框架和理論假設(shè)，通過對(duì)一系列干預(yù)原型（假設(shè)，通過對(duì)一系列干預(yù)原型（prototype）的系統(tǒng)）的系統(tǒng)評(píng)價(jià)來建構(gòu)理論評(píng)價(jià)來建構(gòu)理論(Van den Akker, et al., 2006: 5)大體上可以分以下四節(jié)：大體上可以分以下四節(jié)：1. 問題的提出（問題的提出（闡明擬解決的問題及其教學(xué)意闡明擬解決的問題及其教學(xué)意義。

3、問題可大可小，應(yīng)具備：現(xiàn)實(shí)性、普遍義。問題可大可小，應(yīng)具備：現(xiàn)實(shí)性、普遍性和深刻性性和深刻性）2. 策略篩選與創(chuàng)意設(shè)計(jì)（策略篩選與創(chuàng)意設(shè)計(jì)（收集與提煉已有的教收集與提煉已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與策略，形成初步的設(shè)計(jì)原理和具體學(xué)經(jīng)驗(yàn)與策略，形成初步的設(shè)計(jì)原理和具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)方案應(yīng)有創(chuàng)意的教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)方案應(yīng)有創(chuàng)意）3. 教學(xué)實(shí)施與效果評(píng)價(jià)（教學(xué)實(shí)施與效果評(píng)價(jià)（將設(shè)計(jì)用于課堂教學(xué)將設(shè)計(jì)用于課堂教學(xué)，并跟蹤評(píng)價(jià)教學(xué)效果，發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)與實(shí)施中，并跟蹤評(píng)價(jià)教學(xué)效果，發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)與實(shí)施中的問題的問題）4. 反思與改進(jìn)（反思與改進(jìn)（通過深度反思從三個(gè)方面提出通過深度反思從三個(gè)方面提出改進(jìn)意見：原有的設(shè)計(jì)策略改進(jìn)意見：原

4、有的設(shè)計(jì)策略/原理；具體的教原理；具體的教學(xué)設(shè)計(jì)；教師本身的教學(xué)行為學(xué)設(shè)計(jì)；教師本身的教學(xué)行為）課堂教學(xué)課堂教學(xué).目標(biāo)定位任務(wù)設(shè)計(jì)過程與行為監(jiān)控與調(diào)節(jié)教學(xué)的有效性教學(xué)的有效性.知能結(jié)構(gòu)發(fā)展階段研修方式行為跟進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展教師專業(yè)發(fā)展案例研究案例研究教學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)研究設(shè)計(jì)研究v效率：事半功倍還是事倍功半？效率：事半功倍還是事倍功半？v數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念/原理學(xué)習(xí)的奠基性活動(dòng)有哪些？（歷史過程原理學(xué)習(xí)的奠基性活動(dòng)有哪些？（歷史過程、邏輯過程與心理過程；本源性問題；現(xiàn)實(shí)模型等）、邏輯過程與心理過程；本源性問題；現(xiàn)實(shí)模型等）v數(shù)學(xué)主干知識(shí)是什么？有哪些核心概念與思想方法？數(shù)學(xué)主干知識(shí)是什么？有哪些

5、核心概念與思想方法？v數(shù)學(xué)認(rèn)知水平：發(fā)展層次，差異性數(shù)學(xué)認(rèn)知水平：發(fā)展層次，差異性v數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難、錯(cuò)誤與障礙（阮曉明，傅琳）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難、錯(cuò)誤與障礙（阮曉明，傅琳）v超越雙基：數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與能力之間有什么關(guān)系？超越雙基：數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與能力之間有什么關(guān)系？如何培養(yǎng)高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知？如何培養(yǎng)高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知？v建模與應(yīng)用：類型、功能與價(jià)值（建模與應(yīng)用：類型、功能與價(jià)值（APEC項(xiàng)目）項(xiàng)目） v情境的創(chuàng)設(shè)：什么樣的問題情境是有效的？情境的創(chuàng)設(shè)：什么樣的問題情境是有效的？v技術(shù)的介入：如何有效的運(yùn)用技術(shù)？技術(shù)的介入：如何有效的運(yùn)用技術(shù)？v區(qū)分教學(xué)：學(xué)困生和資優(yōu)生怎么辦？區(qū)分教學(xué)：學(xué)困生和資

6、優(yōu)生怎么辦？阮曉明阮曉明,王琴王琴. 高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究. 數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)學(xué)報(bào), 2012年第年第5期期1. 良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在問題解決（遷移）中有重要的作用（良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在問題解決（遷移）中有重要的作用（遷移遷移理論理論）；）；2. 結(jié)構(gòu)化的知識(shí)應(yīng)按照知識(shí)的主干有層次的推進(jìn)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)應(yīng)按照知識(shí)的主干有層次的推進(jìn)(教學(xué)層次論教學(xué)層次論)3. 典型例題是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要成分（典型例題是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要成分（樣例學(xué)習(xí)樣例學(xué)習(xí)）；）；4. 同化和順應(yīng)是改變認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本途徑同化和順應(yīng)是改變認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本途徑（認(rèn)知沖突與心理掙（認(rèn)知沖突與心理掙扎）

7、扎）5. 保持概念理解、技能訓(xùn)練、問題解決之間的平衡保持概念理解、技能訓(xùn)練、問題解決之間的平衡（四基）（四基）6. 在較大的信息單元上工作（在較大的信息單元上工作（聚焦認(rèn)知根源聚焦認(rèn)知根源/核心概念和思想方核心概念和思想方法法）7. 多向思考與變式教學(xué)多向思考與變式教學(xué)8. 雙基的精熟有助于解決復(fù)雜問題，練習(xí)是技能精熟的必要條雙基的精熟有助于解決復(fù)雜問題，練習(xí)是技能精熟的必要條件（件（精致練習(xí)精致練習(xí)）；）；9. 數(shù)學(xué)高層次思維的專項(xiàng)教學(xué)數(shù)學(xué)高層次思維的專項(xiàng)教學(xué)（任務(wù)設(shè)計(jì)，思維品質(zhì)）（任務(wù)設(shè)計(jì)，思維品質(zhì)）。經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)理論理論z 支持預(yù)測(cè)支持預(yù)測(cè)z 為研究提供分析框架為研究提供分析框架z 具有解釋

8、的能力具有解釋的能力z 能應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象能應(yīng)用于廣泛的現(xiàn)象z 有助于對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象的思考有助于對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象的思考z 作為資料分析的工具作為資料分析的工具z 提供一種深層次交流的語言提供一種深層次交流的語言z 源于實(shí)踐源于實(shí)踐z 實(shí)用實(shí)用z 個(gè)人化個(gè)人化z 嵌于特定的情境之中嵌于特定的情境之中z 比較模糊，不易表征比較模糊，不易表征、把握和傳授、把握和傳授z 難以跨領(lǐng)域的交流。難以跨領(lǐng)域的交流。解釋解釋建構(gòu)建構(gòu)1. 良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在知識(shí)豐富領(lǐng)域的知識(shí)豐富領(lǐng)域的問問題解決中有重要的作用（遷移理論）題解決中有重要的作用（遷移理論）數(shù)學(xué)雙基典型例題數(shù)學(xué)思想方法2. 結(jié)構(gòu)化的知識(shí)需要按照知識(shí)

9、的主干結(jié)構(gòu)化的知識(shí)需要按照知識(shí)的主干有層次的推進(jìn)有層次的推進(jìn)大學(xué)之法，禁于未發(fā)之謂豫，當(dāng)其可之謂時(shí)，大學(xué)之法，禁于未發(fā)之謂豫，當(dāng)其可之謂時(shí)，不陵節(jié)而施之謂孫，相觀而善之謂摩。此四者，教之不陵節(jié)而施之謂孫，相觀而善之謂摩。此四者，教之所由興也。發(fā)然后禁，則捍格而不勝；時(shí)過然后學(xué)，所由興也。發(fā)然后禁，則捍格而不勝；時(shí)過然后學(xué)，則勤苦而難成；雜施而不孫，則壞亂而不修；獨(dú)學(xué)而則勤苦而難成；雜施而不孫，則壞亂而不修；獨(dú)學(xué)而無友，則孤陋而寡聞；燕朋逆其師；燕辟?gòu)U其學(xué)。此無友，則孤陋而寡聞；燕朋逆其師；燕辟?gòu)U其學(xué)。此六者，教之所由廢也。六者，教之所由廢也。君子既知教之所由興，又知教之所由廢，然后君子既知教之

10、所由興，又知教之所由廢，然后可以為人師也。故君子之教喻也，道而弗牽，強(qiáng)而弗可以為人師也。故君子之教喻也，道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)。道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開而抑，開而弗達(dá)。道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開而弗達(dá)則思；和易以思，可謂善喻矣。弗達(dá)則思；和易以思，可謂善喻矣。 學(xué)記學(xué)記中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的九條主線中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的九條主線1. 整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)和向量復(fù)數(shù)和向量2. 數(shù)的表示數(shù)的表示代數(shù)表達(dá)式代數(shù)表達(dá)式作為關(guān)系的函數(shù)作為關(guān)系的函數(shù)作為對(duì)象的作為對(duì)象的函數(shù)函數(shù)3. 個(gè)別圖形的性質(zhì)個(gè)別圖形的性質(zhì)某一類圖形的一般性質(zhì)某一類圖形的一般性質(zhì)4. 歸納推理歸納推理演繹推理（局部

11、的演繹）演繹推理（局部的演繹）數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的演數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的演繹（整體的演繹）繹（整體的演繹）5. 數(shù)的應(yīng)用數(shù)的應(yīng)用運(yùn)算的應(yīng)用運(yùn)算的應(yīng)用建立函數(shù)模型建立函數(shù)模型6. 對(duì)一次測(cè)量的估計(jì)對(duì)一次測(cè)量的估計(jì)一組數(shù)的統(tǒng)計(jì)；描述性統(tǒng)計(jì)一組數(shù)的統(tǒng)計(jì)；描述性統(tǒng)計(jì)推斷推斷性統(tǒng)計(jì)性統(tǒng)計(jì)7. 簡(jiǎn)單幾何圖形的全等與相似簡(jiǎn)單幾何圖形的全等與相似所有圖形全等與相似以及所有圖形全等與相似以及幾何變換幾何變換8. 計(jì)算器計(jì)算器圖形計(jì)算器圖形計(jì)算器計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)9. 把數(shù)學(xué)看作是對(duì)一堆事實(shí)的記憶把數(shù)學(xué)看作是對(duì)一堆事實(shí)的記憶把數(shù)學(xué)看作是可以通把數(shù)學(xué)看作是可以通過不同方式得到的一些相互關(guān)聯(lián)的思想過不同方式得到的一些相互關(guān)

12、聯(lián)的思想(Z. Usiskin)3. 典型例題是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要成分典型例題是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要成分 數(shù)學(xué)思維的特征之一：劃歸；數(shù)學(xué)思維的特征之一：劃歸； 平面幾何中的基本圖形分析法；平面幾何中的基本圖形分析法； 樣例學(xué)習(xí)（樣例學(xué)習(xí)（Learning by sample）未知問題未知問題已知問題已知問題化歸化歸變式變式1化歸化歸變式變式2化歸化歸推出推出推出推出推出推出烏魯木齊市第十三中學(xué)烏魯木齊市第十三中學(xué) 胡玉社胡玉社4. 同化和順應(yīng)是改變認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本途徑同化和順應(yīng)是改變認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本途徑認(rèn)知沖突被視為心理學(xué)中認(rèn)知改變理論的一個(gè)關(guān)鍵認(rèn)知沖突被視為心理學(xué)中認(rèn)知改變理論的一個(gè)關(guān)鍵部分，例如

13、，認(rèn)知沖突的歷程實(shí)際上就是皮亞杰圖部分，例如，認(rèn)知沖突的歷程實(shí)際上就是皮亞杰圖式理論中的內(nèi)在自我調(diào)節(jié)系統(tǒng)由不平衡達(dá)到平衡的式理論中的內(nèi)在自我調(diào)節(jié)系統(tǒng)由不平衡達(dá)到平衡的歷程。歷程。專家通常都是在能力的邊緣上工作（潛能開發(fā)）專家通常都是在能力的邊緣上工作（潛能開發(fā)）在教學(xué)中如何有效地運(yùn)用認(rèn)知沖突是一個(gè)需要研究在教學(xué)中如何有效地運(yùn)用認(rèn)知沖突是一個(gè)需要研究的問題。的問題。長(zhǎng)作業(yè)的運(yùn)用長(zhǎng)作業(yè)的運(yùn)用子曰：不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，子曰：不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也則不復(fù)也（論語）（論語）5. 保持概念理解、技能訓(xùn)練、問題解保持概念理解、技能訓(xùn)練、問題解決之間的平衡決之間的平衡

14、 三個(gè)饅頭的故事三個(gè)饅頭的故事 數(shù)學(xué)解題屬于知識(shí)豐富領(lǐng)域的問題解決（匈數(shù)學(xué)解題屬于知識(shí)豐富領(lǐng)域的問題解決（匈菲爾德的研究）菲爾德的研究） 美國(guó)加州的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：美國(guó)加州的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：這三個(gè)要素都重這三個(gè)要素都重要，任何一個(gè)都不能缺少或者被小覷；然而要，任何一個(gè)都不能缺少或者被小覷；然而，所謂的均衡并不是把時(shí)間平均分配給這三，所謂的均衡并不是把時(shí)間平均分配給這三要素。有時(shí)，學(xué)生可能在某些作業(yè)或任務(wù)中要素。有時(shí)，學(xué)生可能在某些作業(yè)或任務(wù)中專注于某一要素；其它時(shí)候則專注于兩個(gè)或?qū)Ｗ⒂谀骋灰兀黄渌鼤r(shí)候則專注于兩個(gè)或三個(gè)全部。三個(gè)全部。 認(rèn)知性認(rèn)知性技能技能程序程序特征特征變式變式活用活用11()

15、(1)22nnn aan nSnad1(1)(2)mnpqnnnmnpqaaaaSSa2111111()()222kn knnnkkn aaddSnanadk 多步化歸多步化歸變異空間大變異空間大背景簡(jiǎn)單背景簡(jiǎn)單變式教學(xué)變式教學(xué)題型訓(xùn)練題型訓(xùn)練構(gòu)建體系構(gòu)建體系一題多解一題多解一題多變一題多變一法多用一法多用雙雙 基基化歸的基礎(chǔ)化歸的基礎(chǔ)典型例題典型例題化歸的臺(tái)階化歸的臺(tái)階經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化歸的保證化歸的保證推理與論證推理與論證形式化形式化數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系6. 在較大的信息單元上工作在較大的信息單元上工作1. 有利于提高工作記憶的效能；有利于提高工作記憶的效能；2. 大的信息單元的激

16、活水平也比較高，容易大的信息單元的激活水平也比較高，容易產(chǎn)生聯(lián)想；產(chǎn)生聯(lián)想；3. 喻平的喻平的CPFS結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)；4. 國(guó)際象棋大師頭腦中的國(guó)際象棋大師頭腦中的5萬張棋譜。萬張棋譜。提高工作記憶的效能提高工作記憶的效能工作記憶（工作記憶（working memory）是一種對(duì)信息進(jìn)行暫時(shí)性）是一種對(duì)信息進(jìn)行暫時(shí)性的加工和貯存的能量有限的記憶系統(tǒng)。大量研究表明，工的加工和貯存的能量有限的記憶系統(tǒng)。大量研究表明，工作記憶對(duì)于語言理解、學(xué)習(xí)、推理、思維等認(rèn)知任務(wù)的完作記憶對(duì)于語言理解、學(xué)習(xí)、推理、思維等認(rèn)知任務(wù)的完成起關(guān)鍵作用。成起關(guān)鍵作用。在十分之一秒的時(shí)間內(nèi)，大腦可接收一千個(gè)信息單元在十分之一秒

17、的時(shí)間內(nèi)，大腦可接收一千個(gè)信息單元工作記憶的容量有限，一般為工作記憶的容量有限，一般為7 2個(gè)信息單元。為擴(kuò)大個(gè)信息單元。為擴(kuò)大短時(shí)記憶的容量，可采用組塊的方法，即將小的記憶單位短時(shí)記憶的容量，可采用組塊的方法，即將小的記憶單位組合成大的單位來記憶，這時(shí)較大的記憶單位就叫做塊。組合成大的單位來記憶，這時(shí)較大的記憶單位就叫做塊。工作記憶系統(tǒng)中的信息加工可分為三個(gè)環(huán)節(jié)：工作記憶系統(tǒng)中的信息加工可分為三個(gè)環(huán)節(jié)： 信息貯存（信息貯存（storage）過程，其中的信息一般很容易消）過程，其中的信息一般很容易消退；退； 信息維持或復(fù)述（信息維持或復(fù)述（rehearsal）過程，能重新激活貯存）過程，能重新

18、激活貯存器中正在消退的信息，即不斷地重復(fù)所貯存的信息；器中正在消退的信息，即不斷地重復(fù)所貯存的信息； 執(zhí)行（執(zhí)行（executive)加工過程，負(fù)責(zé)工作記憶系統(tǒng)中信加工過程，負(fù)責(zé)工作記憶系統(tǒng)中信息的控制與協(xié)調(diào)。息的控制與協(xié)調(diào)。ACT-R理論：基本的信息加工步驟是觸發(fā)（理論：基本的信息加工步驟是觸發(fā)（firing）一系）一系列用于提取某些陳述性知識(shí)并解決問題的產(chǎn)生式規(guī)則。提列用于提取某些陳述性知識(shí)并解決問題的產(chǎn)生式規(guī)則。提取過程的成敗與速度取決于被提取的信息塊的激活水平和取過程的成敗與速度取決于被提取的信息塊的激活水平和進(jìn)行提取的產(chǎn)生式的強(qiáng)度，這影響到操作的流暢性。進(jìn)行提取的產(chǎn)生式的強(qiáng)度，這影響

19、到操作的流暢性。 三種記憶的生理過程理論：三種記憶的生理過程理論： (1) (1) 信息信息乃物理性地被紀(jì)錄在神經(jīng)元中。乃物理性地被紀(jì)錄在神經(jīng)元中。 (2) (2) 信息信息以電以電子信號(hào)子信號(hào)方式被傳導(dǎo)與儲(chǔ)存。方式被傳導(dǎo)與儲(chǔ)存。 (3) (3) 信息信息改變了神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)。改變了神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)。7. 多向思考與變式教學(xué)多向思考與變式教學(xué)1. 數(shù)學(xué)中的多元表征；數(shù)學(xué)中的多元表征；2. 變式教學(xué)；變式教學(xué)；3. 解題三部曲。解題三部曲。概念性變式概念性變式 過程性變式過程性變式 概念變式概念變式 非概念變式非概念變式 標(biāo)準(zhǔn)變式標(biāo)準(zhǔn)變式 非標(biāo)準(zhǔn)變式非標(biāo)準(zhǔn)變式 問題解決的變式化歸問題解決的變式化歸 解

20、題三部曲解題三部曲 鋪墊教學(xué)鋪墊教學(xué) 精致練習(xí)精致練習(xí) 原始問題原始問題通過改變條通過改變條件或結(jié)論得件或結(jié)論得到多種變式到多種變式問題問題一題多變一題多變用多種方用多種方法解決同法解決同一個(gè)問題一個(gè)問題一題多解一題多解將解法應(yīng)用將解法應(yīng)用于多種情形于多種情形一法多用一法多用8. 精致練習(xí)精致練習(xí)ACT-RACT-R對(duì)教學(xué)的建議，那就是對(duì)教學(xué)的建議，那就是練習(xí)、練習(xí)、再練習(xí)練習(xí)、練習(xí)、再練習(xí)。大量的研究都表明，高層次的能力只能通過高強(qiáng)度大量的研究都表明，高層次的能力只能通過高強(qiáng)度的練習(xí)的練習(xí)。特別地，研究表明，學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時(shí)特別地，研究表明，學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時(shí)間與他們的數(shù)學(xué)能力有很高的相關(guān)

21、性間與他們的數(shù)學(xué)能力有很高的相關(guān)性。但是，并不是練習(xí)的次數(shù)越多越好，研究表明有一但是，并不是練習(xí)的次數(shù)越多越好，研究表明有一個(gè)臨界值，應(yīng)該在達(dá)到這個(gè)臨界值時(shí)個(gè)臨界值，應(yīng)該在達(dá)到這個(gè)臨界值時(shí)“見好就收見好就收”Ericsson等人的研究表明，不同的練習(xí)的效果是不等人的研究表明，不同的練習(xí)的效果是不一樣的，而只有所謂的一樣的，而只有所謂的“精致的練習(xí)精致的練習(xí)”（deliberate practice）才能導(dǎo)致真正的學(xué)習(xí)。他們才能導(dǎo)致真正的學(xué)習(xí)。他們把把“精致的練習(xí)精致的練習(xí)”界定為具有良好的動(dòng)機(jī)、接受有界定為具有良好的動(dòng)機(jī)、接受有意義的反饋、及仔細(xì)的不斷的指導(dǎo)與監(jiān)督。意義的反饋、及仔細(xì)的不斷的指導(dǎo)與監(jiān)督。 9：高層次數(shù)學(xué)思維的專項(xiàng)教學(xué)：高層次數(shù)學(xué)思維的專項(xiàng)教學(xué)影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的教學(xué)因素主要有兩個(gè)：影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的教學(xué)因素主要有兩個(gè)：1. 學(xué)生所從事的數(shù)學(xué)任務(wù)，不同的數(shù)學(xué)任務(wù)學(xué)生所從事的數(shù)學(xué)任務(wù)，不同的數(shù)學(xué)任務(wù)需要不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)需要不同的數(shù)學(xué)認(rèn)