2011高考數(shù)學一輪復習《學案與測評》課件：第5單元基本初等函數(shù)（Ⅱ）

1、第五單元第五單元 基本初等函數(shù)（基本初等函數(shù)（）知識體系知識體系第一節(jié)第一節(jié) 任意角與弧度制及任意角的三角函數(shù)任意角與弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 弧度制(1)弧AB的長=半徑AOB=1弧度. rad=360,1 rad = .(2)扇形半徑為r，圓心角的弧度數(shù)是,則這個扇形的弧長l=|r,面積S= | ,周長=|r+2r.2. 角的概念的推廣(1)任意角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線 所 成的圖形.2r122057 18057.30繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置(2)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角

2、.(3)當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角.(4)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成角的集合是|=k360+,kZ.3. 任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個任意角，的終邊上任意一點P的坐標是(x,y),它與原點的距離為r(r= ),那么sin = ，cos = ,tan = (x0).yrxryx22xy4. 單位圓與三角函數(shù)線用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)（如圖）.sin = MP,cos = OM,tan = AT.典例分析典例分析題型一題型一 象限角問題象限角問題【例1】若是第二象限的角，則 是第幾象限的角? 是第幾象限的角

3、?2是第幾象限的角?235. 三角函數(shù)值在各象限的符號 象限函數(shù) 符號 sin + + - - cos + - - + tan + - + -分析 由于是第二象限的角，可以利用終邊相同的角的表達式表示出的范圍，進而求得 , ,2的范圍，判定其所在的象限.23解 由是第二象限的角得k360+90k360+180（kZ）.(1)k180+45 k180+90（kZ）當k=2n（nZ）時，n360+45 n360+90（nZ）,則 是第一象限角;當k=2n+1（nZ）時，n360+225 n360+270（nZ）,則 是第三象限角.綜合、可知， 是第一或第三象限角.222222（2） 360+30

4、360+60（kZ）當k=3n（nZ時）,n360+30 n360+60（nZ）,則 是第一象限角;當k=3n+1（nZ）時，n360+150 n360+180（nZ）,則 是第二象限角；當k=3n+2（nZ）時，n360+270 n360+300（nZ）,則 是第四象限角.綜合、可知， 是第一、第二或第四象限角.33333333k3k（3）2k360+18022k360+360（kZ）.故2是第三、第四象限角或是終邊落在y軸的負半軸上.舉一反三舉一反三1. 設(shè)為第三象限角，試判斷 的符號.學后反思 知道所在的象限，則 , ，所在的象限也可由象限等分法得到，下面以 為例說明.如圖所示，將每一個

5、象限二等分（若是 則三等分，）從x軸正向起按逆時針方向在各等分區(qū)域標上數(shù)字1，2，3，4，1，2，3，4；若是第一象限角，則 在標有數(shù)字1的區(qū)域內(nèi);若是第二象限角，則 在標有數(shù)字2的區(qū)域內(nèi)，以此類推，則很容易確定 所在的象限.3222232sin2cos2解析: 為第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ k+ (kZ).當k=2n(nZ)時，2n+ 2n+ （nZ）,此時 在第二象限，sin 0,cos 0, 0；當k=2n+1(nZ)時，(2n+1)+ (2n+1)+ (nZ),即2n+ 2n+ (nZ),此時 在第四象限，sin 0,cos 0, 0.綜上可知: 0.3222342234

6、222sin2cos222232742sin2cos2sin2cos22234題型二題型二 扇形弧長、面積公式的應(yīng)用扇形弧長、面積公式的應(yīng)用【例2】一個扇形的周長為20 cm,當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求出這個扇形的最大面積.分析 運用扇形的面積公式和弧長公式建立函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的性質(zhì)來解決最值問題.學后反思 求扇形最值的一般方法是根據(jù)扇形的面積公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑（或圓心角）的函數(shù)表達式，進而求解.除此之外，也可直接設(shè)出兩個參數(shù)，利用基本不等式求最值.解 設(shè)扇形的半徑為r，則弧長為l=20-2r,于是扇形的面積：S= (20-2r)r=- +25.當r=5時，

7、l=10，= =2(弧度),S取到最大值，此時最大值為25 .故當扇形的圓心角=2弧度時，這個扇形的面積最大，最大面積是25 .122(5)r 1052cm2cm舉一反三舉一反三2. 已知一扇形的圓心角是,所在圓的半徑為r.（1）若=60，r=10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積;(2)若扇形的周長是一定值C（C 0），當為多少弧度時，該扇形有最大面積？S弓S扇210解析：（1）設(shè)弧長為l，弓形面積為 ，=60= ,r=10,l= (cm), = -S= 10- sin =50 ( ).S弓310312103123332（）2cm扇形面積為S扇(2)方法一：扇形周長C=2r+l=2r+

8、r,r= , =當且僅當= ,即=2(=-2舍去)時，扇形面積有最大值.方法二：由已知2r+l=C,r= (lC),S= =當l= 時, ,此時=當扇形圓心角為2弧度時，扇形面積有最大值.S扇2Ca2222111(),42222164CCCr4a2Cl2111()2224ClrllCll 221(),4216CCl2C2max,16CS22.22ClCrC題型三題型三 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【例3】(12分)已知角的終邊經(jīng)過點P（-4a,3a）(a0),求sin 、cos 、tan 的值.分析 根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，應(yīng)首先求出點P到原點的距離r，由于含

9、有參數(shù)a,要注意分類討論.解 r= =5|a|2若a0，r=5a,角在第二象限，sin = cos = tan = ；.6若a0,r=-5a,角在第四象限，.8sin = ,cos = ,tan = 122243aa33,55yara44,55xara 3344yaxa 354534學后反思 （1）當角的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)進行分類討論.（2）熟記幾組常用的勾股數(shù)組，如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，會給我們解題帶來很多方便.（3）若角已經(jīng)給定，不論點P選擇在的終邊上的什么位置，角的

10、三角函數(shù)值都是確定的；另一方面，如果角終邊上一點坐標已經(jīng)確定，那么根據(jù)三角函數(shù)定義，角的三角函數(shù)值也都是確定的.舉一反三舉一反三3. 已知角的終邊過點P（-4m,3m）(m0),則2sin +cos 的值為( )A. 1或-1 B. 或 C. 1或 D. 25252525答案：B題型四題型四 利用三角函數(shù)線解三角不等式利用三角函數(shù)線解三角不等式解析： 當m0時，點P在第二象限，|OP|=5m,有2sin +cos =當m0時，點P在第四象限，|OP|=-5m,有2sin +cos =642;555mmmm642.555mmmm 【例4】解下列不等式.（1）sin ; (2)cos .3212分

11、析 作出滿足sin = 、cos = 的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.3212解 (1)作直線y= 交單位圓于A、B兩點，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域（圖1中陰影部分）即為角終邊的范圍.故滿足條件的角的集合為|2k+ 2k+ ,kZ.(2)作直線x=- 交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域（圖2中陰影部分）即為角終邊的范圍.故滿足條件的角集合為|2k+ 2k+ ,kZ.32323122343圖1 圖2學后反思 對形如f()m或f()m的三角函數(shù)，求角的范圍的問題可利用三角函數(shù)線來求解.舉一反三舉一反三4. 求下列函數(shù)的定義域.（1）y= ; (2

12、)y=lg(3-4 ).2cos1x2sin x解析： (1)2cos x-10,cos x .如圖1，在單位圓中，利用三角函數(shù)線可求得x的范圍為：2k- ,2k+ (kZ).圖1 圖21233易錯警示易錯警示（2）3-4 0, ,- sin x ，如圖2，由單位圓及三角函數(shù)線，得x(k- ,k+ )(kZ).332sin x2sin x323234【例】已知+ ,- ,則2-的取值范圍為 .433錯解 由 +得0 , 所以- -0，02. 由+得- - , 由+ 得- 2- .2334,3,3 223232錯解分析 上述解題過程分別求出、的范圍所采用的做法是不等價的，擴大了范圍.正解 設(shè)2-

13、=A(+)+B(-)(A,B為待定系數(shù))，則2-=(A+B)+(A-B).對應(yīng)兩邊系數(shù)得 解得所以2-= (+)+ (-).又 (+) ,- (-)- ,所以-2- .2,1,ABAB 1,23,2AB123221223323226考點演練考點演練10.半徑為4的扇形，如果它的周長等于它所在圓的周長的一半，則該扇形的面積為 .解析: 設(shè)扇形的圓心角為，則有8+4=4,所以=-2,于是該扇形的面積為 .21428162答案: 8-1611. 已知角的終邊在直線y=-3x上,求 的值.310sincos解析： 如圖,(1)當角終邊在第二象限時,取終邊上一點(-1,3)， 此時,x=-1,y=3,r

14、= ，1033 10110sin,cos10101010310sin0cos （2）當角終邊在第四象限時，取點（1，-3），此時x=1, y=-3，r= ,1033 10103sin,cos,10sin01010cos10310sin0cos 綜上，12. 如圖,動點P、Q從點A（4，0）出發(fā)沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn) 弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn) 弧度，求P、Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標及點P、Q各自走過的弧長.36解析： 設(shè)P、Q第一次相遇時所用的時間是t，則 ，所以t=4(秒)，即第一次相遇的時間為4秒.設(shè)第一次相遇點為C，第一次相遇時點P已運動到終邊在 的位置，則

15、 ,236tt4433cos423Cx 所以點C的坐標為（-2，-23）,點P走過的弧長為 ，點Q走過的弧長為 .sin42 33Cy 83416433第二節(jié)第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理sintan .cos22sincos1;1. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：(2)商數(shù)關(guān)系：cot22k 22.誘導公式-cot-tan-tantantantansin-sin-coscos-coscoscoscoscossin-sin-sin sinsin-+ 角 三角函數(shù)2.誘導公式cot-cot-tan-tantantantansin-

16、sin-coscos-coscoscoscoscossin-sin-sin sinsin-+ 角 三角函數(shù)即+k2(kZ),-,的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號；的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.24. 必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”. 角0 30456090120150180270角的弧度數(shù)0sin 010-1cos 10-10tan 01不存在0不存在656232343212121212323222332233333232典例分析典例分析題型一題型一 同角三角函數(shù)關(guān)

17、系的應(yīng)用（一）同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用（一）【例1】已知cos = ,則sin = ,tan = .817分析 由cos 求sin 時,可利用公式同時要注意象限的劃分.22sincos1,解 cos = 0,是第二、三象限的角.若是第二象限角，則sin 0,tan 0,sin = = tan = 若是第三象限角，則sin 0,tan 0,sin =- =- ,tan =81721 cos28151,1717 21 cos1517sin15.cos8sin15;cos8 舉一反三舉一反三22sincos1學后反思 (1)掌握常用的勾股數(shù)組：（3,4,5）;（5,12,13）;（8,15,17）.(

18、2)要根據(jù)問題的需要對公式 進行變形及“1”的代換，即 , , .(3)若已知正弦、余弦或正切中的某一個三角函數(shù)值，但沒有指定角所在象限，要求另外兩個三角函數(shù)值時，可按角所在象限分別進行討論和運算，做到不重不漏.1. 已知 =-1，求下列各式的值.（1）（2）22sincos122cos1 sin 22sin1 cos tantan1sin3cos;sincos2sinsincos2.題型二題型二 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用（二）同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用（二）13sin3costan352.1sincostan1312 解析: 由已知得tan = .(1)(2) 12222222222222sins

19、incos2sinsincos2 sincos3sinsincos2cos3tantan2sincostan111321322.5112【例2】已知 .求sin x-cos x的值.1x0,sin xcos x25分析 將已知條件平方得出sin xcos x,再根據(jù)sin x-cos x與sin xcos x的關(guān)系求解.解 分母切化弦，分子用二倍角的正弦公式化為含單角x的正弦、余弦，代入已知條件求值.由 ,平方，得 ,即 . .又 x0,sin x0,sin x-cos x0,sin x-cos x= .1sin xcos x5221sin2sin xcos xcos x25x242sin x

20、cos x25 249sin xcos x1 2sin xcos x25 257學后反思 如果已知sin +cos ,sin cos ,sin -cos 中的一個，完全可通過列方程（組）求出另外兩個值.這里sin cos 是紐帶，它把另外兩個聯(lián)系起來。 舉一反三舉一反三2. 已知 ,(0,).求值：（1）tan ;(2)sin -cos ;(3)1sincos533sincos解析： ,(0,),平方得，sin cos = 0,cos 0,且sin ,cos 是方程 的兩根，解方程得1sincos5122521120525xx124343x,xsin ,cos .5555 ，即 33471 t

21、an; 2 sincos;35373 sincos125 題型三題型三 誘導公式的應(yīng)用誘導公式的應(yīng)用【例3】化簡：3tancos 2sin()2cossin()分析 化簡上式，要認真觀察“角”，顯然需要利用誘導公式，注意誘導公式的合理選用.解方法一： 原式=( tan) cos() sin2cos()sin( tan) cos() sin2( cos) sin( tan) cos( cos)( tan) cos( cos) sinsinsincos1cossin 方法二：原式=( tan) cos() sin2cos() sinsintancossincos2cos1( cos) sinsin

22、 學后反思 當角中有 加減某個角時，要考慮用誘導公式進行化簡.（1）誘導公式應(yīng)用原則是：負化正,大化小,化到銳角為終了.3, ,222（2）2-可以化為+(-),也可以化為2+(-);-可以化為-(+),也可以化為-2+(-).舉一反三舉一反三3. 已知(1)化簡f（）;(2) 若是第三象限角,且 ,求f()的值；（3）若 ,求f()的值. 3sincos 2tan()2fcotsin.31cos()25313 解析： （1） (2) ,且是第三象限角， sin cos cot fcos cot sin 3cos()sin 2 題型四題型四 三角函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)公式在解三角形

23、中的應(yīng)用【例4】(12分)在ABC中，若sin(2-A)=- sin(-B), cos A=- cos(-B),求ABC的三個內(nèi)角.232分析 由誘導公式可化簡得到sin A= sin B, cos A= cos B,進而由 可求出A，進一步即可求出B和C.23222sincos1AA21122sin,cos16f( )6.5555 ， 31536 233 31315fcoscos6 2 33351coscos.332 學后反思 在ABC中，A+B+C=,2A+2B+2C=2, sin(A+B)=sin(-C)=sin C,2222ABC解 由已知得sin A= sin B, cos A= c

24、os B,.2兩式平方相加得2 =1,cos A= .6若cos A=- ,則cos B=- ,此時，A，B均為鈍角，不可能，cos A= ，故A= ,8cos B= cos A= B= ,.10C=-(A+B)= .122322cos A22223222432327126舉一反三舉一反三cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin 2C,cos(2A+2B)=cos(2-2C)=cos 2C,tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan 2C,以上結(jié)論要牢記，另外要注意“三角形”這一條

25、件的限制作用.sinsincos,22222coscossin,22222tantancot.22222ABCCABCCABCC4. 在銳角三角形ABC中，求證：sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.易錯警示易錯警示證明：ABC是銳角三角形，A+B ,即 A -B0,sin Asin( -B),即sin Acos B;同理sin Bcos C，sin Ccos A,sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.2222【例】已知直線l的傾斜角是，且sin = ,則直線l的斜率k等于 .513錯解 因為直線l的傾斜角是,又因為sin = ,

26、 ，所以cos = 于是l的斜率k= 51322sincos1225121 sin1.1313sin5.cos12錯解分析 在解答本題時，考生很容易因忽視傾斜角的取值范圍，不注意對進行分類討論，而只得到k= 的錯誤結(jié)果.因此在解決此類問題時，一定要養(yǎng)成全面考慮、分析問題的習慣.512正解 因為直線l的傾斜角是，所以0,).又因為sin= , ,所以cos = 于是l的斜率k=51322sincos125121,1313 sin5.cos12 10. 下列三角函數(shù)中，與sin 數(shù)值相同的是 .4sin(n),nZ ;cos 2nnZ ;36sin(2n),nZ ;3cos2n1nZ ;6sin2

27、n1,nZ .3)，（）3解析: 原式= ,則不是；由誘導公式可求得與sin 數(shù)值相同的是. sinn43sin(n)3sinn,3偶，不是；奇為數(shù)則為數(shù)cos()cos66 3答案: 11. 若sin(-)=2cos(2-),求 的值.sin5cos 23cossin解析： 由sin(-)=2cos(2-)得-sin =2cos ,即tan =-2.所以原式=sin 5cos tan 53.3cos sin 3 tan 5 12. 在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，tan C= .(1)求cos C; (2)若 且a+b=9,求c.3 75,2CB CA 解析：(1)tan C

28、= ,又 ,解得cos C= .tan C0,C是銳角，cos C= .(2) abcosC= ,ab=20.又a+b=9, =81， =41， -2abcos C=36,c=6. 3 7sin3 7.cosCC22sincos1CC18185,2CB CA 52222aabb22ab222cab基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理第三節(jié)第三節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦及正切公式兩角和與差的正弦、余弦及正切公式1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 :cos(-)=cos cos +sin sin ; :cos(+)=cos cos -sin sin ; :sin(+)=sin cos +cos sin ; :si

29、n(-)=sin cos -cos sin ; :tan(+)= :tan(-)=C TS T SCtantan;1tantantantan.1tantan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 :sin 2=2sin cos ; :cos 2= :tan =3. 形如asin +bcos 的代數(shù)式的化簡asin +bcos = sin(+).其中cos = ,sin = ,tan = ,的終邊所在象限由a、b的值來確定.2S2T2C2222cossin2cos11 2sin; 22tan.1tan22ab22aab22babba典例分析典例分析題型一題型一 化簡求值化簡求值分析 50、10、80

30、都不是特殊角，但注意到它們的和60、90都是特殊角，因此可考慮用和角公式求其值；另外，正切函數(shù)化弦后出現(xiàn)分式，可通過約分去掉非特殊角.【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.322sin 8032解 原式=(2sin 50+sin 10=2(sin 50+2sin 10 ) cos 10=2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10)=2 sin(50+10)=2 = .cos103sin10)2sin80cos1013cos10sin1022cos1022226 學后反思 對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：（1）化

31、為特殊角的三角函數(shù)值；（2）化為正負相消的項，消去項求值；（3）化分子、分母，使之出現(xiàn)公約數(shù)進行約分而求值.舉一反三舉一反三1. 求sin 50(1+ tan 10)的值. 3解析: 原式=sin 50(1+ )=sin 50 =sin 50= = =1.sin103cos10oocos103sin10cos102sin40cos10cos402sin40cos10sin80cos10題型二題型二 知值求角知值求角分析 （1）欲求角，應(yīng)先求其某種三角函數(shù)值.（2）從已知條件找出角+2的范圍，確定其值.【例2】已知 3sin 2-2sin 2=0,且、都是銳角，求+2的值.223sin2sin1

32、,解 方法一：由 得即cos 2=3 .又由3sin 2-2sin 2=0,得sin 2= sin 2.cos(+2)=cos cos 2-sin sin 2=cos 3 -sin sin =3 cos -3cos =0.又090,090,0+2270.故+2=90.223sin2sin1,221 2sin3sin,2sin322sin322sin2sin學后反思 解決給值求角問題一般分如下三個步驟：（1）求角的某一個三角函數(shù)值；（2）確定角所在的范圍；（3）確定所求角的值.舉一反三舉一反三方法二：由 得3 =cos 2,又由3sin 2-2sin 2=0得 sin 2=sin 2,得tan

33、=cot 2.090,0290.cot(90-)=cot 2,又090-90,0290，+2=90.2sin32223sin2sin1,2. 已知tan = ,tan = ,并且、均為銳角，求+2.1713題型三題型三 知值求值知值求值解析：tan = 1,tan = 1,且、均為銳角，0 ,0+2 .又tan tan(+2)=+2= .131743422tan3,1tan413tantan2741,131tantan21744【例3】已知0 ,且cos(- )=- ,sin( -)= ,求cos(+)的值.2219223分析 要求的是cos(+)的值，已知條件不能直接利用，觀察知道(- )-

34、( -)= ，這樣就可以先求出 的正弦值或余弦值，再通過余弦的二倍角公式將問題解決.22222解0 ,- ( ,).又cos(- )=- 0,- ( ,),sin(- )= . -(- , ),sin( -)= 0, -(0, ),cos( -)= . =(- )-( -),cos =cos(- )-( -)=cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)=cos(+)=222419222222224253234 5922222222258 57 5.27272724902392cos11.2729729 舉一反三舉一反三學后反思 三角恒等變換中經(jīng)常用到角度變換，如：=(+）-=（

35、-)+,2=(+)+(-)=(+)-(-),+=2 , =(- )-( -)等，通過這些角的變換實現(xiàn)利用已知條件達到整體求解的目的.如本題中通過 =(- )-( -)實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，考生復習該部分時要注意領(lǐng)會這種思想.22222223. 已知sin sin =16,( ,),求sin 4.442解析：方法一：sin sin =sin cos = ,sin( +2)= ,即cos 2= .( ,),2(,2)，sin 2=-sin 4=2sin 2cos 2=- .24444162131322 21 cos 2,3 4 29題型四題型四 實際應(yīng)用實際應(yīng)用方法二：由條件得 (cos +sin )

36、 (cos -sin )= ,即 ,cos 2= .由2(,2)得sin 2= ，sin 4=- .4 29161322222211(cossin)262 23【例4】(12分)已知在ABC中，tan A+tan B+ = tan Atan B,且sin Acos A= ,試判斷此三角形的形狀.3334分析 提取系數(shù) ，與tan(+)= 相聯(lián)系.3tantan1tantan解 sin Acos A= sin 2A= ,0A,.2A=30或60.41234學后反思 (1)tan +tan =tan(+)(1-tan tan )是一種常用的變化技巧，應(yīng)熟記.（2）判斷三角形的形狀可以借助三角函數(shù)值

37、之間的關(guān)系，另對于判斷三角形是鈍角或銳角三角形時，應(yīng)利用余弦值或正切值的正負來判斷,盡量不用正弦值來判斷.舉一反三舉一反三又tan A+tan B=- (1-tan Atan B), tan(A+B)=- ,A+B=120.8當A=30時，B=90，tan B無意義;.10當A=60時，B=60,ABC為正三角形.123tantan3,1tantan 34. 如圖所示，A、B是單位圓O上的點，且B在第二象限，C是圓與x軸正半軸的交點，A點的坐標為 ,AOB為正三角形.（1）求sinCOA;（2）求cosCOB.3 4,5 5解析: (1)因為A點的坐標為 ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinCOA=

38、.(2)因為AOB為正三角形，所以AOB=60.又因為sinCOA= ,cosCOA= ,所以cosCOB=cos(COA+60)=cosCOAcos 60-sinCOAsin 60=3 4,5 5454535314334 3.525210【例】若 ,且、為銳角，求+的值.易錯警示易錯警示510sin ,sin 510錯解 、為銳角, ,0+,+=45或135.510sin ,sin 510222 53 10cos 1 sin 2,cos 1 sin 25102sinsin cos cos sin .20,0,22，又錯解分析 上述解法欠嚴密，僅由sin(+)=22,0+180, 而得到+=4

39、5或135，但沒注意題設(shè)中 , .使得0+60,故上述結(jié)論是錯誤的.實質(zhì)上本題是由于方法不當導致運算量加大和忽視角的范圍限制而致錯.我們?nèi)羧?的余弦，則易求得cos(+)= ,又由于0+,故+= .這樣就避免了上述角的范圍的探求.因此在求角時一定要結(jié)合條件選擇角的合適的三角函數(shù)，往往能化繁為簡. 51sin 52101sin 102224正解 由以上求得 ，cos(+)=cos cos -sin sin = .、為銳角，0+,+= .2 53 10cos ,cos 5102 53 105105105104考點演練考點演練10. （2009天津和平區(qū)模擬） 的值為 .cos 21tan 1 si

40、n 21tan 222cos 21tan cossin1tan1 sin 21tan 1tansincoscossin1tan1tan1tan1sincos1tan1tan1tan解析答案： 111. 已知向量m=(cos ,sin )和n=( -sin ,cos ),(,2),且|m+n|= ,求 的值.28 25cos28解析： 方法一：22(cossin2,cossin )cossin2cossin42 2 cossin44cos42 1 cos4mnmn由已知|m+n|= ，得 .8 257cos()42522cos()2cos () 1,42816cos ().2825592 ,82

41、884cos0,cos28285 又方法二：222222222222222cossin2sincos2cos2sinsincos 42 2 cossin4 1 cos8cos428mnmnmm nnmnm n由已知8 24,cos5285592 ,82884cos0,cos28285mn 得12. (創(chuàng)新題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點.已知A、B的橫坐標分別為 、 .（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.2102 55解析：由已知得cos= ,cos= .、為銳角，sin=sin= tan=7,tan= .(1)ta

42、n(+)= (2)tan2=tan(+2)=、為銳角，0+ ,+2= .2102 5527 21 cos,10251 cos,51217tantan23.11tantan1 72 2212tan242,1tan311247tantan231.41tantan21 73 3234第四節(jié)第四節(jié) 簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理T T222兩角差的余弦公式為cos(-)=cos cos +sin sin ;兩角和的余弦公式為cos(+)=cos cos -sin sin ;兩角差的正弦公式為sin(-)=sin cos -cos sin ;兩角和的正弦公式為sin(+)=sin

43、 cos +cos sin .上述公式對任意的、都成立.2. 公式 是tan (-)= ,公式 是tan(+)= ,它們成立的條件是k+ ,k+ ,k+ ,kZ.tantan1tantantantan1tantan3. 在 中，令=,可得到sin2=2sin cos ,簡記為 .在 中，令=,可得到cos2= ,簡記為 .在 中，令=,可得到tan2= 簡記為 .4. 在 中考慮 可將 變形為 ，它簡記為 .5. 在 中令= 得cos= -1=1- ,將公式變形可得CST2C2T2S22cos222sin2221 cos1 cos;.22CS 2C22cos22cos11 2sin 2C22s

44、incos12C22cossin2C22tan1tan126. 的推導方法是 與 兩式相除，其公式為7. 升降冪公式主要用于化簡、求值和證明，其形式為：升冪公式：1+cos2= ;1-cos2= .降冪公式：cos2=21 cos.1 cosT 22sin221 cos21 cos2cos;sin.222T2S2C22cos典例分析典例分析題型一題型一 sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosxsinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx三者之間的轉(zhuǎn)換問題三者之間的轉(zhuǎn)換問題 【例1】已知- x0,sin x+cos x= .(1)求sin x-cos x的值；(2)求

45、 的值.215223sin2sincoscos2222tancotxxxxxx分析 由 -4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.22sincossincosxxxx解（1）方法一：由sin x+cos x= ,平方得即2sin xcos x=- .15221sin2sin coscos,25xxxx2425 =1-2sinxcosx= ,又- x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0,故sinx-cosx=- .方法二：聯(lián)立方程 由得sinx= -cosx,將其代入,整理得25 -5cosx-12=0,cosx=- 或cosx= ,- x0, sinx-cosx

46、=- .4925215752sincosxx221sincos,5sincos1.xxxx2cos x354523sin,54cos,5xx 75舉一反三舉一反三(2)= =sin xcos x(2-cos x-sin x)=223sin2sincoscos2222tancotxxxxxx22sinsin12sincoscossinxxxxxx1211082.255125 學后反思 sin xcos x,sin xcos x之間的關(guān)系為 =12sin xcos x, =2，由此知三者知其一，可求其二，但需注意角x的范圍對結(jié)果的影響.2sincosxx22sincossincosxxxx1. 已

47、知sin(- )= ,cos 2= ,求sin及tan(+ ).47 2107253解析: 由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得，sin(- )= (sin-cos)= ,即sin-cos= .由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得，cos2= =(cos-sin)(cos+sin)=- (cos+sin)= ,故cos+sin=- .由和得sin= ,cos=- ,因此tan=- ,由兩角和的正切公式得,7 21042222cossin75757251535453433tan34 334825 34tan.31113tan3 343 314題型二題型二 三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用【

48、例2】化簡下列各式.(1) (2)13;sin10cos102 sin8 12cos82. 分析（1）注意應(yīng)用公式asin+bcos= sin(+).（2）注意1sin,1cos形式的轉(zhuǎn)化.22ab解 (1)原式=（2）原式=2=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.又4 ,sin 4+cos 40,cos 40,原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.2sin 3010cos103sin104.1sin10 cos10sin202212sin4cos44cos 432學后反思 對于化簡的題目要側(cè)重于三角公式運用中的各種思想，對于一些固定形式

49、則套用相應(yīng)的公式.舉一反三舉一反三題型三題型三 三角恒等變換中角的拆變?nèi)呛愕茸儞Q中角的拆變2. 化簡:cos10tan103sin50解析：原式=sin10cos10sin103cos103cos10sin50sin502sin(1060 )2.sin50 【例3】已知 ,求sin 2的值.3123,cos,sin24135 且分析 抓住條件中的角“-”、“+”與結(jié)論中的角2的關(guān)系：（-）+(+)=2.解又33,0,2442 123cos,sin,13554sin,cos,135sin 2sinsincoscossin3124556().51351365 舉一反三舉一反三學后反思 掌握常用的

50、拆角、拼角關(guān)系，如=(+)-=-(-),= (+)+(-), = - . 222123. 已知cos= ,cos(-)= ,且0 .(1)求tan2的值；（2）求.1713142解析：（1）由cos = ,0 ,得sin= tan=(2)由0 ,得0- ,又cos(-)= ,sin(-)=1722214 31 cos1,7722sin4 372tan2 4 38 34 3,tan2.cos711tan4714 3 22131422133 31 cos1,1414題型四題型四 三角恒等式的證明三角恒等式的證明【例4】（12分）已知tan(+)=2tan.求證：3sin=sin(+2).分析 觀察

51、條件與結(jié)論間的差異可知:(1)函數(shù)名稱的差異是正弦與正切，可考慮切化弦法化異為同.(2)角的差異是+,;,+2.通過觀察可得已知角與未知角之間關(guān)系如下：(+)-=;(+)+=+2,由此可化異為同.由=-(-)得：cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=0 ,= .221134 33 31,7147142學后反思 分析條件等式與論證式中角和函數(shù)名稱的差異，從而進行配角，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消除函數(shù)名稱的差異.對于三角恒等式的證明，實質(zhì)也是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.證明 由已知tan(+)=2tan 可得sin(+)cos =2cos(+

52、)sin .4而sin(+2)=sin(+)+=sin(+)cos +cos(+)sin =2cos(+)sin +cos(+)sin =3cos(+)sin ,7又sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =2cos(+)sin -cos(+)sin =cos(+)sin ,.10sin(+2)=3sin 12sin2sin,coscos舉一反三舉一反三4. 已知A、B為銳角，求證：A+B= 的充要條件是（1+tan A）(1+tan B)=2.4證明：（充分性）(1+tan A)(1+tanB)=2,1+(tanA+tanB)+tanAtan B=2,tan(A+

53、B)（1-tanAtanB）=1-tanAtanB,tan(A+B)=1,0A ,0B ,0A+B,A+B= .(必要性)A+B= ,tan(A+B)=tan ，即 整理得（1+tanA）(1+tanB)=2.綜上，若A、B為銳角，則A+B= 的充要條件是(1+tanA)（1+tanB）=2.44224tantan1,1tantanABAB4易錯警示易錯警示【例】已知, ,且tan,tan是方程 的兩個根，則+的值為( )A. 或- B. -C.- 或 D. -,2 2 23 340 xx323233233錯解 tan,tan是方程 的兩個根, 則tan(+)=, ,+(-,).在(-,)內(nèi)，

54、正切值等于 的角只有 和- .+= 或- .23 340 xxtantan3 3,tantan4, tantan3.1tantan,2 2 3233233考點演練考點演練錯解分析 沒有對條件 進行深入地分析，擴大了+的取值范圍.事實上，由tan+tan=- 0,tantan=40,可知tan0，tan0,(- ,0)+(-,0).3 3tantan3 3,tantan4, 2正解 tan ,tan 是方程 的兩個根， tan 0,tan 0., ,(- ,0)+(-,0).又tan(+)=在(-,0)內(nèi)，正切值等于 的角只有- ,+=- .23 340 xxtantan3 30,tantan4

55、0, ,2 2 2tantan3,1tantan2323310. （2009南通模擬）已知 ,則tan(-2)= .1 cos 211,tansin cos 3 解析: 由21 cos 22sin111tansin cos sincos2tantantan2tan11tan()tan 答案： -111. （1）若 =2,求2cos +sin 的值;(2)若2cos +sin =1,求 的值.tan()42tan()42解析 （1）22tantan42tan2,2421tantan421tan,2cos sin 2cos2sin2sin23222 12. 已知函數(shù)f(x)= ,x .(1)求f(

56、x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)-m|2在x 上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.22sin3cos24xx,4 2 ,4 2 221tantan22cos21.21tan2(2)由2cos +sin =1,得 整理得222(cossin)2sincos2222222sincoscos0222，23tan2tan10,22 1tantan=1,232tan()2tan()04242 或或23x解析：（1）f(x) =1+sin2x- cos2x=1+2sin ,又x , 2x- , sin 1,即21+2sin 3， =3, =2.(2)|f(x)-m|2f(x)-2mf(x)+2m

57、-2且m +2,1m4,即m的取值范圍是(1,4).,4 2 1 cos23cos22xx323x632323x12max( )f xmin( )f xmax( )f xmin( )f x,42x第五節(jié)第五節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（）基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 周期函數(shù)(1)周期函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)f(x)的最小正周期.2. 正弦函

58、數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖象定義域xRxRxR且x +k,kZ值域y|-1y1y|-1y1R單調(diào)性 +2k, +2k上遞增,kZ; +2k, +2k上遞減，kZ(2k-1),2k上遞增kZ;2k,(2k+1)上遞減kZ(- +k, +k)上遞增，kZ22223222函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x最值x= +2k(kZ)時， =1;x=- +2k(kZ時， =-1x=2k(kZ)時， =1;x=+2k(kZ)時， = -1無最值奇偶性奇 偶奇對稱性對稱中心(k,0),kZ對稱軸l:x=k+ (kZ) 對稱中心（k+ ,0（k

59、Z） 對稱軸l: x=k（kZ）對稱中心( ,0),kZ 無周期22maxy2minymaxyminy2222題型一題型一 三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域分析 (1)需注意對數(shù)的真數(shù)大于零，然后利用玄函數(shù)的圖象求解.(2)需注意偶次根式的被開方數(shù)大于或等于零，然后利用函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線求解.【例1】求函數(shù)y=1- 的定義域.1 2coslg 2sin1xx解 由題意得： 解得 即x +2k, +2k),kZ.1cos,1 2cos0,22sin10,1sin,2xxxx 522,33522,66kxkkxk356學后反思 求三角函數(shù)的定義域時，轉(zhuǎn)化為三角不等式組求解，常常借助于三角函數(shù)的

60、圖象和周期解決;求交集時可以利用單位圓，對于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可.本題中因為y=sin x,y=cos x的周期都是2k,所以先在區(qū)間0,2)內(nèi)求出交集 后，再加上2k即可.5,36舉一反三舉一反三sincos .xx1.求y= 的定義域。解析 要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx0.方法一：利用圖象，在同一坐標系中畫出0,2上y=sin x和y=cos x的圖象，如圖所示.在0,2內(nèi)，滿足sin x=cos x的x為 , ,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,所以定義域為x|2k+ x2k+ ,kZ.方法二：sinx-cosx= sin(x- )0,將x- 視為一個整體