三角函數(shù)的概念省賽一等獎-完整版PPT課件

1、第5章 三角函數(shù)521 三角函數(shù)的概念教材引入&任意角的三角函數(shù)定義【定義】根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們選擇在坐標系上研究這個 問題如圖，以單位圓的圓心為原點， 以射線OA為 軸的非負半軸，1，0，P 射線OA從 軸非負半軸開始，繞點O按逆時針方向 旋轉角，終止位置為OP【探究】當 時，點P的坐標是什么？當 或 時，點P的坐標又是什么？給 定一個角，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標是唯一確定的嗎？教材引入&任意角的三角函數(shù)定義【分析】利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當 時，點P的坐標是 ；當 或 時，點P的坐標分別是 和 ，它們都是唯一確定的如圖【結論】一般地，任意給定一個角R，它的終邊O

2、P與單位圓的交點P的坐標，無 論是橫坐標 還是縱坐標 ，都是唯一確定的所以，點P的橫坐標 和 縱坐標 都是角的函數(shù)教材引入&任意角的三角函數(shù)定義【定義】設是一個任意角，R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（1）把點P的縱坐標 叫做的正弦函數(shù)，記作sin，即 =sin（2）把點P的橫坐標 叫做的余弦函數(shù)，記作cos，即 =cos（3）把點P的縱坐標和橫坐標的比值 叫做的正切，記作tan，即 =tan 可以看出，當 時，的終邊始終在y軸上，這時 ，即此時tan無意義除此之外，正切tan與實數(shù)是一一對應的，所以它們之間也是函數(shù)關系，我們稱 為正切函數(shù)=tan 我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)

3、統(tǒng)稱為三角函數(shù)教材引入&任意角的三角函數(shù)定義【總結】三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為弧度為自變量，以 單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)（1）正弦函數(shù)：（2）余弦函數(shù)：（3）正切函數(shù)：角實數(shù)角的弧度三角函數(shù)值【注意】（1）在任意角的三角函數(shù)定義中，是一個使函數(shù)有意義的實數(shù)（2） 是自變量，離開自變量 的sin,con,tan是沒有意義的（3）三角函數(shù)是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P在終邊上的 位置無關，終邊確定了，三角函數(shù)就確定了【1】求 的正弦、余弦和正切值【解】在坐標系中作出AOB= ，易知AOB的 終邊與單位圓的 交點坐標為 ，所以常見角的三角函數(shù)值無無牢記常見的三角函數(shù)值，做

4、題事半功倍！例例2.設設是一個任意角，它的終邊上任意一點是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點（不與原點O重合）的坐標為重合）的坐標為（x,y），點），點P與原點的距離為與原點的距離為r，求證：，求證：xyrxry=tan,cos,sinxA(1,0)yOP0(x,y)P(x,y)M MM M0 0三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號11- ，11- ，【1】求證：角為第三象限角的充要條件為【證明】首先證明充分性，即如果都成立，那么為第三象限角因為sin0成立，所以角的終邊位于第三或者第四象限，也可能和Y軸的負半軸重合；又因為cos0成立，所以角的終邊位于第一或者第三象限，綜合可知為第三象限角

5、 再證明必要性，因為是第三象限角，根據(jù)定義有sin0， cos0，所以必要性成立，即充要性成立誘導公式一 由三角函數(shù)的定義，我們知道：終邊相同的角的對應三角函數(shù)相同公式一：其中【問題】公式一說明了角和三角函數(shù)值的什么關系？給我們什么啟發(fā)？【答】公式一說明了角和三角函數(shù)值的對應關系是多角對一值的關系： 即給定一個角，它的三角函數(shù)值只要存在，就是唯一的； 反過來，給定一個三角函數(shù)值，卻有無數(shù)個角與之對因【啟發(fā)】做題時，把角同化為02即0360終邊相同的角，簡化計算【1】已知角、的頂點在原點，始邊在 軸的正半軸上，終邊關于 軸對稱， 若角的終邊上有一點的坐標為 ，則tan的值是多少？【解】易知sin= ，cos= 因為角和角的終邊關于y軸對稱，則它們的正弦值相等，即sin=sin同時角和角的余弦值相反，即cos=-cos 所以sin= ，cos= ，所以tan=【2】填表【3】選擇適當?shù)臈l件填空sin0 sin0 cos0 cos0