進行單因素方差分析——ANOVA

1、MATLAB進行單因素方差分析ANOVA方差分析的目的是確定因素的不同處理（方法、變量）下，響應變量（類別、結果）的均值是否有顯著性差異。方差分析用于兩個或者兩個以上因素樣本均值的檢驗問題，如果直接使用假設檢驗的方法進行檢驗，那么需要對兩兩變量進行假設檢驗，如果有r個變量，需要進行 的檢驗數(shù)量為r*(r-1)個，計算量相當龐大。對此，R.A. Fisher提出一種基于總誤差分解分析的方法對所有樣本的誤差量分解為隨機誤差（組內(nèi)的波動誤差）和條件誤差（組間的、由不同因素或者不同處理造成的誤 差），分別表示為SSE和SSA，總誤差為SST，那么，SST=SSE+SSA。由隨機誤差和波動誤差構造F統(tǒng)計

2、量對樣本均值進行檢驗的過程，稱之為方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）。使用常用的統(tǒng)計工具可以方便的進行方差分析，并給出方差分析表。 方差分析表如有如下格式，可以一目了然的獲得關于樣本總誤差分配情況以及所構造的統(tǒng)計量大小、檢驗顯著性等。方差分析的前提是以下兩個假設：（1）正態(tài)性假設；（2）方差齊性假設；第一個假設即各變量服從正態(tài)分布，可以通過一般的正態(tài)性檢驗方法進行檢驗，這里不再贅述；主要關注一下方差齊性檢驗，所謂方差齊性，也即方差分析是針對方 差一致的情況下，檢驗樣本均值是否一致。因此，所使用樣本首先要通過方差齊性檢驗，其H0假設即為所有樣本的樣本方差

3、相等。為檢驗該假設，Bartlett提出了一種卡方檢驗方法，所構造統(tǒng)計量服從自由度為r-1的卡方分布，r為變量個數(shù)。其檢驗的思想是，首先求出各個樣本的樣本方差，然后得到樣本方差的算術平均值和幾何平均值，那么，幾何平均值<=算術平均值（GMSSE& lt;=MSSE），當所有樣本方差相等時，取等號。因此，MSSE/GMSSE比較大時，說明H0假設不能夠被接受，方差不一致。所構造的統(tǒng)計量是對上 述比值進行的對數(shù)變換并添加了一些新項目。Bartlett證明，所構造的統(tǒng)計量服從自由度為r-1的卡方分布。為了在MATLAB下進行方差齊性檢驗，筆者編寫了下面的barttestforvar函數(shù)

4、，實現(xiàn)Bartlett方差齊性檢驗的內(nèi)容，該函數(shù)返回統(tǒng)計量和p值。函數(shù)的輸入可以為兩種：（1）一個矩陣，每一列為一個變量，至少兩列；（2）兩個向量，第一個向量表示所有變量的樣本，第二個向量表示組別，使用整數(shù)表示，相同的整數(shù)表示一個組（一個變量）。下面是使用該函數(shù)對下面的樣本進行的方差齊性檢驗（左側為樣本，右側為組別）：73 166 189 182 143 180 163 188 278 291 276 285 294 280 296 268 379 371 371 387 368 359 376 380 3barttestforvar(X, g)ans = Bstat: 4.0349pval: 0.1330返回統(tǒng)計量說明p值不足以拒絕原假設，也就是說，樣本可以通過方差齊性檢驗。函數(shù)代碼請下載附件：點擊瀏覽該文件:barttestforvar.rar經(jīng)過正態(tài)性檢驗和方差齊性檢驗之后，該問題已經(jīng)適合進行方差分析，MATLAB提供了適用于單因素方差分析的函數(shù)anova1函數(shù)。該函數(shù)使用非常方便，舉個例子來說明：仍然使用上面的數(shù)據(jù)，y代表樣本，g表示組別，那么：p = anova1(y, g)該函數(shù)返回表示統(tǒng)計顯著性的p值，以及兩個圖，一個圖在前面已經(jīng)說過，為方差分