大學(xué)物理：第10章靜電場A-3

1、1靜電場靜電場第10章 Static electric fieldElectromagnetic field電電 磁磁 場場2 電磁學(xué)電磁學(xué) 研究電磁現(xiàn)象的產(chǎn)生、運動研究電磁現(xiàn)象的產(chǎn)生、運動及規(guī)律的學(xué)科。及規(guī)律的學(xué)科。 靜電學(xué)：靜電學(xué)：電現(xiàn)象和靜止電荷相互作用規(guī)律。電現(xiàn)象和靜止電荷相互作用規(guī)律。 靜磁學(xué)：靜磁學(xué)：磁現(xiàn)象和運動電荷相互作用規(guī)律。磁現(xiàn)象和運動電荷相互作用規(guī)律。 電磁感應(yīng)和電磁波：電磁感應(yīng)和電磁波：變化電場和變化磁場間相互變化電場和變化磁場間相互作用的規(guī)律。作用的規(guī)律。 其中靜電學(xué)和靜磁學(xué)兩章內(nèi)容結(jié)構(gòu)很相似：電其中靜電學(xué)和靜磁學(xué)兩章內(nèi)容結(jié)構(gòu)很相似：電(磁磁)場的描述、高斯定理場的描述

2、、高斯定理(通量通量)、環(huán)路定理、環(huán)路定理(環(huán)量環(huán)量)、介質(zhì)、介質(zhì)中的電中的電(磁磁)場，可以相互參照增進理解。場，可以相互參照增進理解。3經(jīng)典電磁規(guī)律的總結(jié)經(jīng)典電磁規(guī)律的總結(jié) 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組tBE0 DtDJH0 BEDHB對各向同性對各向同性的均勻介質(zhì)的均勻介質(zhì)預(yù)言電磁波存在預(yù)言電磁波存在 光速恒定光速恒定 相對論相對論微觀尺度下要修正微觀尺度下要修正 量子電動力學(xué)量子電動力學(xué)4 自然界中只存在兩種電荷：正電荷和負電荷。自然界中只存在兩種電荷：正電荷和負電荷。 同號同號電荷電荷相斥相斥,異號異號電荷電荷相吸相吸。 電荷具有最小單元：電荷具有最小單元：e=1.6 10-19C。

3、 在自然界中在自然界中,帶電體的電量都是這一最小電量帶電體的電量都是這一最小電量e的整的整數(shù)倍：數(shù)倍：q=Ne 這個特性叫做電荷的這個特性叫做電荷的量子化量子化。 1964年年,蓋爾蓋爾-曼曼(M.Gell-Mann)預(yù)言：更基本的粒預(yù)言：更基本的粒子夸克和反夸克的電量應(yīng)取子夸克和反夸克的電量應(yīng)取e/3或或2e/3。但這并。但這并不影響電荷的量子化特性。不影響電荷的量子化特性。10-1 電荷和庫侖定律電荷和庫侖定律一一.電荷電荷5(2)公式中的系數(shù)是公式中的系數(shù)是SI制要求的。制要求的。22910941 CmNo221210858mN/C.o 真空介電常數(shù)真空介電常數(shù)二二. 庫侖定律庫侖定律r

4、oerqqF22141 q1q2rFre (1) er 是從點電荷是從點電荷q1指向點電荷指向點電荷q2的的單位矢量單位矢量。 真空中，點電荷真空中，點電荷q1對對q2的作用力為的作用力為 6 電場也是一種物質(zhì)。電場也是一種物質(zhì)。 場和實物是物質(zhì)存在的兩種基本形式。場和實物是物質(zhì)存在的兩種基本形式。 場和實物物質(zhì)的主要區(qū)別是：場和實物物質(zhì)的主要區(qū)別是： 實物獨占一定的空間；而場總是彌漫在一定的空實物獨占一定的空間；而場總是彌漫在一定的空間內(nèi)，具有可疊加性。間內(nèi)，具有可疊加性。 電荷電荷 電場電場 電荷電荷q1q2rFre 一一 .電電 場場 電荷間的相互作用不是瞬時、超距的，而電荷間的相互作用

5、不是瞬時、超距的，而是通過電場來傳遞的是通過電場來傳遞的:10.2 電場電場 電場的描述電場的描述7 qo受力受力F，則該點的電場強度為，則該點的電場強度為 (1)上式表明上式表明,電場中某場點上的電場強度矢量等電場中某場點上的電場強度矢量等于置于該點的于置于該點的單位正電荷單位正電荷所所受的力受的力。 (2)電場強度矢量電場強度矢量E是反映電場性質(zhì)的物理量，與是反映電場性質(zhì)的物理量，與試驗電荷試驗電荷qo無關(guān)。無關(guān)。二二. 電場強度矢量電場強度矢量 E試驗電荷試驗電荷qo(電量、尺寸都很小的帶電體電量、尺寸都很小的帶電體)。oqFE 8 即即：n個點電荷產(chǎn)生的電場強度，等于每個點電個點電荷產(chǎn)

6、生的電場強度，等于每個點電荷單獨存在時所產(chǎn)生的電場強度的矢量和荷單獨存在時所產(chǎn)生的電場強度的矢量和，這一結(jié)這一結(jié)果稱為場強疊加原理果稱為場強疊加原理。 式中的式中的Ei是電荷是電荷qi單獨存在時產(chǎn)生的電場強度單獨存在時產(chǎn)生的電場強度。 niinFF.FFF121 nioioqFqFE1 niiE1三三. 場強疊加原理場強疊加原理 設(shè)有設(shè)有n個點電荷：個點電荷：q1 , q2 , , qn1niiEE9E 的大小：的大?。?4rqEo 若若q0,電場方向由點電荷沿徑向指向四周；若電場方向由點電荷沿徑向指向四周；若ql ,所以所以ixqlEoA342 342xpoe 132.中垂線上中垂線上B點點

7、的場強。的場強。B(0,y)loy-q+qx E)4(422lyqEEo BE E)4(4cos222lyqiEEEoB 2/ 322)4(4lyqlio 因因yl ,所以所以34yqliEoB 34 ypoe) 42 (3xpEoeA14 (2) 在帶電直線上坐標(biāo)為在帶電直線上坐標(biāo)為x處取一電荷元處取一電荷元dq= dx(視視為點電荷為點電荷)，它在，它在P點產(chǎn)生的電場強度大?。狐c產(chǎn)生的電場強度大小：24rdxdEo 將將dE分為沿各坐標(biāo)軸的分為沿各坐標(biāo)軸的分量分別積分分量分別積分(3) 分析問題的對稱性。分析問題的對稱性。dExdEyoPaxy xdqdxrdE 例題例題2.2 均勻帶電直

8、線，單位長度電量為均勻帶電直線，單位長度電量為 ，求線外，求線外P點的場強。點的場強。 解解 (1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖所示。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖所示。15dEx=dEcos 21cos42xxoxrdxE 21sin42xxoyrdxEr=a/sin , x=- - actg ,dx=ad /sin2 )sin(sin412ao 21sin4daEoydEy=dEsin 1 2 21cos4daEox)cos(cos421ao dExdEyoPaxy xdqdxrdE (4) 積分：積分：24rdxdEo 16 (1)對無限長帶電直線對無限長帶電直線, aEoy 2, 0 xE記??！記

9、??！ (2)對平面、柱面等形狀對平面、柱面等形狀,可利用帶電直線公式積分?？衫脦щ娭本€公式積分。 1=0和和 2= ，得，得 1 2oPaxy)sin(sin412aEox )cos(cos421aEoy 17 oE 2 = dx222xadxao dxcos aEo 2 E=2ordx1xyoaP.xdxrdEdEE 例題例題2.3 求均勻帶電的無限大平面外任一求均勻帶電的無限大平面外任一點的場強點的場強(設(shè)平面單位面積上的電量為設(shè)平面單位面積上的電量為 )。 解解 由對稱性可知，由對稱性可知，P點的電場方向是垂直于點的電場方向是垂直于平面向上的平面向上的(即即y方向方向)，所以，所以18

10、(勻強電場勻強電場)oE 2 oE 2 E=0E=0OE 2OE 23 oE 2 OE 23 記住無限大記住無限大平面電場！平面電場！+-19 將圓弧劃分為若干電荷元將圓弧劃分為若干電荷元dq(點電荷點電荷)，利用點電荷公式積，利用點電荷公式積分：分： 222sin22 RQoE24Ro dQ cosxoyRdqdEdRoQyxE 例題例題2.4 一均勻帶電一均勻帶電Q的圓弧，半徑為的圓弧，半徑為R、圓心角為圓心角為 ，求圓心，求圓心o處的電場。處的電場。 解解 由對稱性可知，圓心由對稱性可知，圓心o點的電場是沿角點的電場是沿角 的平分線的平分線(y軸軸)方向的。方向的。 20 xERoo 4

11、 202sin4cosRRdEooy 20 Rdocos cos24Ro d RxyodqdE 例題例題2.5 圓環(huán)半徑圓環(huán)半徑R，電荷線密度，電荷線密度 = ocos , 其中其中 o為常量，求圓心處場強。為常量，求圓心處場強。=0解解21 例題例題2.6 一圓環(huán)半徑為一圓環(huán)半徑為R、均勻帶電、均勻帶電q，求軸線上一點的場強。求軸線上一點的場強。rqocos42 即即 任何均勻帶電的旋轉(zhuǎn)體任何均勻帶電的旋轉(zhuǎn)體(如圓形、球形、柱形如圓形、球形、柱形)用圓環(huán)公式積分求電場最為方便。用圓環(huán)公式積分求電場最為方便。2/322)(41RxqxEo E 圓環(huán)圓環(huán)24rdqo cospoRxqrdqdEd

12、EE 解解 由對稱性可知，軸線由對稱性可知，軸線上的電場方向是沿軸線向上的。上的電場方向是沿軸線向上的。22xpE2/322)(41RxxqEo Eo 412322)(/rx x 2 rdr R01222Rxxo 當(dāng)當(dāng)R(xR)時時,oE 2 這正是無限大平面的電場。這正是無限大平面的電場。drrR 例題例題2.7 求半徑求半徑R、電荷面密度、電荷面密度 的均的均勻帶電薄圓盤軸線上一點的場強。勻帶電薄圓盤軸線上一點的場強。解解232/322)(41rzdqzdEo dq= 2 rRd z2+r2=R2，z =Rcos 202sin4dEoo2/322)(41RxxqEo Eo 4 od zRr

13、 例題例題2.8 求半徑求半徑R、電荷面密度電荷面密度 的的均勻均勻帶電半球面帶電半球面球心球心o處的電場。處的電場。24 (2)通過垂直于電場方向單位通過垂直于電場方向單位面積上的電場線條數(shù)等于該點電面積上的電場線條數(shù)等于該點電場強度的大小。場強度的大小。 d e 通過通過ds的電場線條數(shù)的電場線條數(shù)dsdEe dsEEE10.3 高斯定理高斯定理 一一.電場線電場線(電力線電力線) (1)電場線每一點的切線方向電場線每一點的切線方向與該點的場強方向一致與該點的場強方向一致; 25(a)正電荷正電荷(b)負電荷負電荷點電荷的電場線點電荷的電場線26靜電場電場線的特點：靜電場電場線的特點： (

14、1)電場線起自正電荷電場線起自正電荷，止于負電荷止于負電荷，或延伸到無窮或延伸到無窮遠處。遠處。 (2)電場線電場線不不形成閉合曲線。形成閉合曲線。 (3)在無電荷處在無電荷處，兩條電場線不相交兩條電場線不相交，也不會中斷。也不會中斷。(c)一對等量正電荷一對等量正電荷(d)一對等量異號電荷一對等量異號電荷27ds通過通過dS的電通量為的電通量為dsdEe dSEEdsde cosd e= E dS=Edscos Edsne 電通量電通量通過電場中任通過電場中任一給定曲面的一給定曲面的電場線總數(shù)電場線總數(shù)。 二二 .電電通量通量28 sseSdEEds cosenSdEEdsde cos通過任

15、意曲面通過任意曲面S的電通量應(yīng)為的電通量應(yīng)為29S 對閉合曲面，規(guī)定對閉合曲面，規(guī)定由內(nèi)向外由內(nèi)向外的的方向為各處方向為各處面元面元法向的正方向法向的正方向。 由由d e=Edscos 知知 當(dāng)電場線從面內(nèi)當(dāng)電場線從面內(nèi)穿出穿出時時, d e 為正為正; 當(dāng)電場線由面外當(dāng)電場線由面外穿入穿入時時, d e 為負為負。 式中的電通量式中的電通量 e是是凈通量凈通量。 sedSE EenEen 通過一個封閉曲面通過一個封閉曲面S的電通量表示為的電通量表示為30 (1)點電荷點電荷q位于一位于一半徑為半徑為r的球面中心，則通過這球面的的球面中心，則通過這球面的電通量為電通量為:24rqo ooqrr

16、q 2244 球球面面 cosEdSe 球球面面dSErq 球面球面三三 .真空中的真空中的高斯定理高斯定理 )s(isoqSdE內(nèi)內(nèi) 131 (2) 對包圍對包圍q的任意形的任意形狀的曲面狀的曲面S： (3) 如果閉合面如果閉合面S不包圍不包圍q, 則則oqdSE S曲面00 odSE S曲面Erq 球面球面sqEs32 高斯定理。高斯定理。q1qiqnQ1QjQms mjjniiEEE11 mjsjsnisiedSEdSEdSE11 )s(isoqSdE內(nèi)內(nèi) 1oiq ni1+0 (4)設(shè)封閉曲面設(shè)封閉曲面S內(nèi)內(nèi)有：有：點電荷點電荷q1,q2,qn；外外有：有：Q1,Q2,Qm，則，則33

17、 (1)真空中，通過任意封閉曲面真空中，通過任意封閉曲面(高斯面高斯面)的的電通量電通量等于等于該封閉曲面所該封閉曲面所包圍包圍的電荷的電量的代數(shù)和的電荷的電量的代數(shù)和(凈電荷凈電荷)乘以乘以1/ o倍倍 。 這就是說，通過一任意封閉曲面的電通量完全由這就是說，通過一任意封閉曲面的電通量完全由該封閉曲面所包圍的電荷確定該封閉曲面所包圍的電荷確定,而而與面外的電荷無關(guān)與面外的電荷無關(guān)。 (2)高斯定理表達式左方的場強高斯定理表達式左方的場強E是空間是空間所有電荷所有電荷(高斯面內(nèi)、外的電荷高斯面內(nèi)、外的電荷)共同產(chǎn)生共同產(chǎn)生的場強的矢量和。的場強的矢量和。 (3)高斯定理表明高斯定理表明靜電場是

18、一個有源場靜電場是一個有源場： 正電荷是發(fā)出電場線的源頭，而電場線止于負電荷正電荷是發(fā)出電場線的源頭，而電場線止于負電荷或延伸到無窮遠處。或延伸到無窮遠處。 )s(isoqSdE內(nèi)內(nèi) 1說明：說明：341.如果高斯面上如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷。如果高斯面上如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o凈電荷。處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o凈電荷。2.如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上E處處為零。處處為零。如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上E不一定為零不一定為零。3.如果高斯面上如果高斯面上E處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷

19、。處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷。如果高斯面上如果高斯面上E處處不為零處處不為零,則該面內(nèi)不一定有電荷。則該面內(nèi)不一定有電荷。 )s(isoqSdE內(nèi)內(nèi) 1物理意義辨析物理意義辨析35四四. 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 若電荷分布具有高度對稱性，可用高斯定理若電荷分布具有高度對稱性，可用高斯定理計算場強，其步驟：計算場強，其步驟： (1)分析場強分布的對稱性，找出場強的方向和分析場強分布的對稱性，找出場強的方向和場強大小的分布。場強大小的分布。 (2)選擇適當(dāng)?shù)母咚姑孢x擇適當(dāng)?shù)母咚姑?，并計算出通過該高斯面，并計算出通過該高斯面的電通量。的電通量。 (3)求出高斯面所包圍的電量。求出高斯面所包圍

20、的電量。 (4)按高斯定理求出場強。按高斯定理求出場強。 高斯定理一般用于求解三類問題：高斯定理一般用于求解三類問題： (a)球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ，如均勻帶電的球體、球面、球殼。，如均勻帶電的球體、球面、球殼。 (b)軸對稱軸對稱，如均勻帶電的長直柱體、柱面。，如均勻帶電的長直柱體、柱面。 (c)平面型平面型，如均勻帶電的無限大平面、平板。，如均勻帶電的無限大平面、平板。36 例題例題3.1 求半徑為求半徑為R的均勻帶電的均勻帶電q的球體的球體內(nèi)外的場強。內(nèi)外的場強。 sEdS cosE4 r2 內(nèi)內(nèi)qo1Rrr是場點到球心的距離。是場點到球心的距離。24rqEo 內(nèi)內(nèi)即即 內(nèi)內(nèi)q 是以是以r為半徑的

21、為半徑的球面內(nèi)電荷的代數(shù)和。球面內(nèi)電荷的代數(shù)和。 解解 選半徑選半徑r的球面為的球面為高斯面高斯面, 有：有：37rR :qRr24rqEo 內(nèi)內(nèi)38+=or1Po-r2PorE 3由上題的結(jié)果，球體內(nèi)：由上題的結(jié)果，球體內(nèi)： aooP 例題例題3.2 球體內(nèi)有一球形空腔，兩球心相球體內(nèi)有一球形空腔，兩球心相距距a；球體球體電荷體密度為電荷體密度為 ，求空腔中任一點，求空腔中任一點P的電場。的電場。 解解 空間任一點的電場可看作是帶電空間任一點的電場可看作是帶電的兩個的兩個實心球體電場的疊加。實心球體電場的疊加。39大?。捍笮。?3oaE 方向：由方向：由o指向指向o 。空腔中任一點空腔中任一

22、點P的電場為的電場為r1-r2aooorE 31 or 32 )(321rro oa 3 orE 3 +=or1Po- r2P aooP40空腔外空腔外C點的電場為點的電場為orE 3 內(nèi)內(nèi)實心球體：實心球體：24rqEo 外外oaE 3 2)2(4aqo +=or1Po- r2P aooPCaroa 3 23)2(434aro 4124rqEo 內(nèi)內(nèi);4:221rERrRo 224:rERro q1q1+q2rR1: 解解 由球?qū)ΨQ中的高斯定理由球?qū)ΨQ中的高斯定理24rEo 0=0;R1R2oq1q2 例題例題3.3 兩同心均勻帶電球面，兩同心均勻帶電球面，R1、R2，q1、q2, 求空間電場分布。求空間電場分布。42 解解 (1)由高斯定理由高斯定理:rR: E24 r2 =,drrRrRoo204)1(1 23212rREoo 內(nèi)內(nèi)qrEo 142)1 (Rro343ro 1