第4講-差分方法2

1、計(jì)算流體力學(xué)講義計(jì)算流體力學(xué)講義 第四講第四講 有限差分法（有限差分法（2）李新亮李新亮 ；力學(xué)所主樓；力學(xué)所主樓219； 82543801 知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 離散誤差的離散誤差的Fourier分析分析; 間斷周?chē)鷶?shù)值振蕩的原因；間斷周?chē)鷶?shù)值振蕩的原因； GVC格式；格式； 模型方程向模型方程向N-S方程的推廣；方程的推廣； 1講義、課件上傳至講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)）流體中文網(wǎng)） - “流體論壇流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論 ”Copyright by Li Xinliang 3.3 差分格式的進(jìn)一步分析差分格式的進(jìn)一步分析1. 耗散與色散誤差耗散與色散誤差2Copyrigh

2、t by Li Xinliang)sin()0 ,(0 xxuxutu精確解1階迎風(fēng)xu0123456-1-0.500.51Exact1st upwind2nd upwindCopyright by Li Xinliangt=solutions of 1D convection Eq.2階迎風(fēng))2/()43(21xuuuujjjjxuuujjj/ )(1數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn) boundaryperiodicxxxuxutu,2 , 0)sin()0 ,(0時(shí)間推進(jìn)：時(shí)間推進(jìn)： 3步步TVD型型Runge-Kutta, 且且時(shí)間步長(zhǎng)足夠?。ㄕ`差忽略）時(shí)間步長(zhǎng)足夠?。ㄕ`差忽略）空間離散：空間離散： 1

3、階及階及2階迎風(fēng)格式階迎風(fēng)格式 （20個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)）個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)）實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象 兩類誤差：兩類誤差： 振幅誤差振幅誤差 相位誤差相位誤差 （波速誤差）（波速誤差） Copyright by Li Xinliang3對(duì)以上對(duì)以上“實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象”進(jìn)行理論分析進(jìn)行理論分析半離散分析：半離散分析： 假設(shè)時(shí)間推進(jìn)是精確的，僅假設(shè)時(shí)間推進(jìn)是精確的，僅分析空間離散帶來(lái)的誤差（難度小、常用）分析空間離散帶來(lái)的誤差（難度小、常用）全離散分析：全離散分析： 同時(shí)分析時(shí)、空離散的誤差同時(shí)分析時(shí)、空離散的誤差 （難度大）（難度大）boundaryperiodicxexfcxfctfikx,2 , 0)

4、0 ,()0(0考查問(wèn)題：實(shí)際上就是普通三角函數(shù)，實(shí)際上就是普通三角函數(shù)，采用復(fù)采用復(fù)數(shù)形式僅僅是為了理論推導(dǎo)數(shù)形式僅僅是為了理論推導(dǎo)方便。方便。用實(shí)數(shù)形式用實(shí)數(shù)形式 sin(kx), cos(kx)推導(dǎo)形推導(dǎo)形式上略顯繁瑣。式上略顯繁瑣。 精確解：ikxikctctxikeeetxf)(),(差分格式：0jxjfctf（1）xfffjjjx/ )(1)2/()43(21xuuufjjjjx 其他格式 jikxjexu)(假設(shè)對(duì)于：假設(shè)對(duì)于：有有jikxjxexku隱含假設(shè)隱含假設(shè): 線性差分格式線性差分格式 非線性系統(tǒng)作用于單波，會(huì)產(chǎn)生非線性系統(tǒng)作用于單波，會(huì)產(chǎn)生多個(gè)諧波多個(gè)諧波 （2） 差

5、分沒(méi)有誤差差分沒(méi)有誤差xikkCopyright by Li Xinliang4令：jikxjetutxf)( ),(jikxjxxektutxf/)( ),(（1）式化為：0/)( )( jjikxikxxektucedttud0/)( )( xktucdttud“半離散化半離散化”： 空間導(dǎo)數(shù)差分計(jì)算，空間導(dǎo)數(shù)差分計(jì)算，時(shí)間方程（常微）精確計(jì)算時(shí)間方程（常微）精確計(jì)算xctkeutu/)0( )( xctkikxikxjjjeuetutxf/)0( )( ),(ixikk如果如果 ， 無(wú)誤差無(wú)誤差分析分析 （修正波數(shù)）與誤差的關(guān)系（修正波數(shù)）與誤差的關(guān)系kirikkk)/(/)0( ),(

6、xkctkxikxctkjijreeutxf 理想情況：理想情況： 的誤差導(dǎo)致解的幅值誤差的誤差導(dǎo)致解的幅值誤差 耗散誤差耗散誤差 的誤差導(dǎo)致解傳播速度的誤差的誤差導(dǎo)致解傳播速度的誤差 色散誤差色散誤差xkkkir , 0rkikjikxjexu)(假設(shè)對(duì)于：假設(shè)對(duì)于：有有jikxjxexku 反映了一個(gè)波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。反映了一個(gè)波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。PPW （波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)）（波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)）= Copyright by Li Xinliang5jikxjexu)(jikxjxexku耗散、色散誤差分別由修正波數(shù)耗散、色散誤差分別由修正波數(shù)的實(shí)部和虛部決定。的實(shí)部和虛部決定。k關(guān)鍵參數(shù)：關(guān)鍵參數(shù)： 修正波數(shù)修正波

7、數(shù)含義：含義： 反應(yīng)波數(shù)（譜）空間內(nèi)差分的誤差反應(yīng)波數(shù)（譜）空間內(nèi)差分的誤差jikxkkjefxf)(任意函數(shù)：jikxkkjefikxf)(定義：kkfikf求導(dǎo)數(shù)，精確解求導(dǎo)數(shù)，精確解差分解差分解jikxkkjxjef xk ifF/kkfxkFFourier 分析的任務(wù)分析的任務(wù)計(jì)算出計(jì)算出 ，并考差其與，并考差其與 的逼近程度。的逼近程度。kixik 考察格式考察格式分辨率（分辨率（resolution）的重要指標(biāo)的重要指標(biāo) 精度：精度： 反映反映 時(shí)的情況時(shí)的情況 分辨率：網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)很少（例如波里面只有分辨率：網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)很少（例如波里面只有6個(gè)點(diǎn)）時(shí)的性能個(gè)點(diǎn)）時(shí)的性能對(duì)于多尺度問(wèn)題，分

8、辨率更重要。對(duì)于多尺度問(wèn)題，分辨率更重要。 犧牲精度，提高分辨率犧牲精度，提高分辨率0 xxk 優(yōu)秀的差分格式，優(yōu)秀的差分格式，1個(gè)個(gè)波長(zhǎng)里面波長(zhǎng)里面6個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 即可即可/2精度精度 分辨率分辨率Copyright by Li Xinliang6如何計(jì)算修正波數(shù)？如何計(jì)算修正波數(shù)？jikxjexu)(jikxjxexku定義： 方法方法1. 理論計(jì)算理論計(jì)算 根據(jù)差分具體表達(dá)式及定義計(jì)算根據(jù)差分具體表達(dá)式及定義計(jì)算例例1：xuuujjjx1令jikxjeu 則：jjjjikxiikxxxikikxjjjxexkexeeexxuuu)1 ()(1)(1xk于是：sin)cos1 (1ieki1階

9、迎風(fēng)階迎風(fēng)sin,cos1irkk例例2：)2/()43(21xuuuujjjjx2階迎風(fēng)階迎風(fēng))43(2243221iiikxjjjjxeexexuuuuj2/ )43(2iieek2/ )2sinsin4(,2/ )2coscos43(irkkCopyright by Li Xinliang7方法方法2： 數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算jikxjexu)(jikxjxexku定義：Step 1）選取計(jì)算域）選取計(jì)算域0,2 , 計(jì)算網(wǎng)格（例如計(jì)算網(wǎng)格（例如64，128）Step 2）給定波數(shù)給定波數(shù) k, 生成函數(shù)值生成函數(shù)值Step 3) 調(diào)用差分子程序，得到導(dǎo)數(shù)值調(diào)用差分子程序，得到導(dǎo)數(shù)值Step

10、4) 通過(guò)通過(guò)Fourier反變換，得到譜：反變換，得到譜：假設(shè)已有求差分的子程序（黑箱，已知是線性的）假設(shè)已有求差分的子程序（黑箱，已知是線性的）x線性黑箱ju強(qiáng)調(diào)：研究CFD本身，不能只使用理論手段，還要用數(shù)值手段jxjuv).2 , 1(Njeujikxj).2 , 1(NjvjNjikxjkjevNv11根據(jù)修正波數(shù)的定義，根據(jù)修正波數(shù)的定義， 有有xvkk Step 5) 改變改變k的值，重復(fù)的值，重復(fù)2-5， 得到得到 對(duì)于對(duì)于 的依賴關(guān)系。畫(huà)圖的依賴關(guān)系。畫(huà)圖kxk非線性情況會(huì)產(chǎn)生高次諧波，造成非線性情況會(huì)產(chǎn)生高次諧波，造成 step 4 中隱含的假設(shè)無(wú)法成立中隱含的假設(shè)無(wú)法成立

11、 將將Fourier分析手段拓展到非線性系統(tǒng)分析手段拓展到非線性系統(tǒng) 需要研究的課題需要研究的課題隱含條件：只有隱含條件：只有波數(shù)為波數(shù)為k的那個(gè)的那個(gè)譜不為譜不為0 （線性（線性系統(tǒng)）系統(tǒng)）Copyright by Li Xinliang8中心差分格式的色散特性中心差分格式的色散特性0： 精確解；精確解； 1 ： 4階普通階普通2： 6階普通；階普通； 3：4階緊致階緊致4： 6階緊致；階緊致； 5：6階超緊致階超緊致迎風(fēng)差分格式的色散特性迎風(fēng)差分格式的色散特性0： 精確解，精確解， 1： 2階迎風(fēng)階迎風(fēng)2： 5階迎風(fēng)偏心階迎風(fēng)偏心 3： 3階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致4： 5階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致

12、每個(gè)波長(zhǎng)里面每個(gè)波長(zhǎng)里面2個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)， 譜方法譜方法的分辨率，的分辨率， 差分法分辨率的極限（只差分法分辨率的極限（只有無(wú)窮階精度才能達(dá)到）有無(wú)窮階精度才能達(dá)到）2)int(WavePersPoPPW20階超緊階超緊致格式致格式 接近譜接近譜方法方法Copyright by Li Xinliang9不同差分格式的色散誤差曲線不同差分格式的色散誤差曲線結(jié)論：結(jié)論： 要求分辨率相同的情況下，要求分辨率相同的情況下， 采用高階格式可放寬空間網(wǎng)格步采用高階格式可放寬空間網(wǎng)格步長(zhǎng)，從而減少計(jì)算量長(zhǎng)，從而減少計(jì)算量重要方向：重要方向： 高分辨率差分格式高分辨率差分格式0： 精確解精確解1： 2階迎

13、風(fēng)階迎風(fēng)2: 3階迎風(fēng)階迎風(fēng)3： 3階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致4： 5階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致 指定誤差要求的情況下，不同差分格指定誤差要求的情況下，不同差分格式能模擬的最大式能模擬的最大 ( ( 越大，所需網(wǎng)越大，所需網(wǎng)格越少）格越少） /2PPW作業(yè)題作業(yè)題1： 構(gòu)造高分辨率差分格式，并進(jìn)行理論分析及數(shù)值實(shí)驗(yàn)構(gòu)造高分辨率差分格式，并進(jìn)行理論分析及數(shù)值實(shí)驗(yàn) 針對(duì)單波方程針對(duì)單波方程：0 xutu 對(duì)于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過(guò)對(duì)于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過(guò)6點(diǎn)格式；并進(jìn)行點(diǎn)格式；并進(jìn)行Fourier誤差分析，誤差分析，畫(huà)出畫(huà)出kr,ki的曲線。的曲線。 要求：精度不限；要求：精度不限； 網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不

14、超過(guò)網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6個(gè)；個(gè)； 能夠分辨的波數(shù)范圍盡量寬；能夠分辨的波數(shù)范圍盡量寬； （即（即kr,ki曲線近可能接近準(zhǔn)確解）曲線近可能接近準(zhǔn)確解） 給出差分的具體表達(dá)式，給出差分的具體表達(dá)式， 畫(huà)出畫(huà)出kr,ki的曲線；的曲線； 說(shuō)明構(gòu)造格式的階數(shù)，并采用本說(shuō)明構(gòu)造格式的階數(shù)，并采用本PPT第第5頁(yè)的方法給出的精度驗(yàn)證；頁(yè)的方法給出的精度驗(yàn)證； 26154131231jjjjjjjjuauauauauauaxuu16514233241jjjjjjjjuauauauauauaxuu形如：另外，進(jìn)行如下數(shù)值驗(yàn)證：另外，進(jìn)行如下數(shù)值驗(yàn)證：)sin()0 ,(2 , 0, 0 xxuxxutu空間

15、采用空間采用20個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，采用新構(gòu)造的差分格式離散；時(shí)間推進(jìn)采用個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，采用新構(gòu)造的差分格式離散；時(shí)間推進(jìn)采用3步步Runge-Kutta方法，時(shí)間步長(zhǎng)可足夠?。ɡ绶椒?，時(shí)間步長(zhǎng)可足夠?。ɡ?.01）。給出）。給出t=20,50兩個(gè)時(shí)兩個(gè)時(shí)刻的數(shù)值解，與精確解比較（畫(huà)圖），并給出數(shù)值解的刻的數(shù)值解，與精確解比較（畫(huà)圖），并給出數(shù)值解的L2模誤差。模誤差。10Copyright by Li Xinliang提示： 1. 如不使用優(yōu)化技術(shù)，則格式構(gòu)造方法簡(jiǎn)單， Taylor展開(kāi)后解代數(shù)方程組即可。 2. 建議嘗試使用優(yōu)化技術(shù) 26154131231jjjjjjjjuauauauauauaxu

16、u例： 假設(shè)格式形式如下如果要求其有5階精度，則通過(guò)Taylor展開(kāi)可得到6個(gè)方程，6個(gè)系數(shù)可直接解出。我們要求其有4階精度（當(dāng)然3階，2階也可），于是Taylor展開(kāi)只能提供5個(gè)方程。6個(gè)未知數(shù)（a1-a6）， 5個(gè)方程； 有1個(gè)自由參數(shù)。 調(diào)整這個(gè)自由參數(shù)，使得kr,ki曲線最為理想。 如何調(diào)整？ 1) 可以人工調(diào)整，觀察kr,ki曲線，選取滿意的。 2）可自動(dòng)調(diào)整，設(shè)立一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。 例如 調(diào)整自由參數(shù)，使得該目標(biāo)函數(shù)取最大值。思路：犧牲精度，提高分辨率 05. 0)(:*ik11Copyright by Li Xinliang附錄：附錄： 部分差分格式部分差分格式 j-2 j-1

17、j j+1 0 xuatu表中的迎風(fēng)差分格式均針對(duì)表中的迎風(fēng)差分格式均針對(duì) a0當(dāng)a0 時(shí)， 右側(cè)為“前”） 2） 根據(jù)根據(jù)GVC的思想構(gòu)造格式的思想構(gòu)造格式j(luò)jjjjjjjjjjjjjxuuuuwhenxuuuuuuwhenxuuuu11111121)2/()()2/()43(間斷前：快格式；間斷前：快格式；間斷后：慢格式；間斷后：慢格式；格式 GVC23） 改寫(xiě)成為守恒型改寫(xiě)成為守恒型非線性情況，通常守非線性情況，通常守恒型效果更好恒型效果更好jjjjjjjjjjjjjuuuuwhenuuuuuuwhenuuF1111112/12/ )(2/ )3(xFFujjjx/ )(2/12/1NN

18、D格式 GVC2a17Copyright by Li Xinliang 4） a 0 時(shí)，時(shí)， 同樣思路構(gòu)造同樣思路構(gòu)造 （利用對(duì)稱性，僅需把下標(biāo)（利用對(duì)稱性，僅需把下標(biāo)j+k換成換成j-k即可）即可） 00axuatujjjjjjjjjjjjjuuuuwhenuuuuuuwhenuuF1111112/12/ )(2/ )3(采用GVC2a (NND 2a)格式的計(jì)算結(jié)果 消除振蕩xu00.8100.51NND 2aNND 2Exact solution1st upwindDeveloping of initial discontinuity2nd NND(C) Li Xin

19、liangt=0.2使用NND2a （守恒形式）；NND2 （普通形式）及1階迎風(fēng)格式的計(jì)算結(jié)果1211121212/12/ )(2/ )3(jjjjjjjjjjjjjuuuuwhenuuuuuuwhenuuF將j換成j+118Copyright by Li Xinliang作業(yè)題作業(yè)題2： 構(gòu)造更高分辨率的構(gòu)造更高分辨率的GVC格式格式 對(duì)于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過(guò)對(duì)于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過(guò)6點(diǎn)的點(diǎn)的GVC格式。要求：格式。要求： a. 精度不限；精度不限； b. 網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不超過(guò)網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6個(gè)；個(gè)； c. 求解模型方程求解模型方程 1,0axuatu5 . 015 . 00

20、)0 ,(xxxu計(jì)算結(jié)果間斷盡量保持計(jì)算結(jié)果間斷盡量保持“銳利銳利”;計(jì)算結(jié)果振蕩盡量小。計(jì)算結(jié)果振蕩盡量小。振蕩的定量判據(jù)：振蕩的定量判據(jù)： 總變差（總變差（Total Variation）：）： 間斷間斷“銳利銳利”的定量判據(jù)：的定量判據(jù)： 間斷區(qū)內(nèi)的點(diǎn)數(shù)？間斷區(qū)內(nèi)的點(diǎn)數(shù)？ （自行設(shè)計(jì)）（自行設(shè)計(jì)）111NjjjuuTV給出差分格式的表達(dá)式、色散給出差分格式的表達(dá)式、色散/耗散分析耗散分析 （ki,kr曲線）；曲線）；給出模型方程給出模型方程t=0.2的結(jié)果（空間的結(jié)果（空間100個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，計(jì)算域個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，計(jì)算域0,1，時(shí)間推進(jìn)可采用，時(shí)間推進(jìn)可采用3階階Runge-Kutta方法）；與

21、精確解及方法）；與精確解及NND2a進(jìn)行比較（畫(huà)在同一張圖上）進(jìn)行比較（畫(huà)在同一張圖上）xu00.8100.51NND 2aNND 2Exact solution1st upwindDeveloping of initial discontinuity2nd NND(C) Li Xinliangt=0.2建議： 利用優(yōu)化方法19Copyright by Li Xinliang 3.5 從模型方程推廣到從模型方程推廣到N-S方程（方程（Euler方程）方程）0 xuatu?0?,0aa格式F+格式F-visf(U)UxtTTpEupuufEuU)(,(,),(2xf(U)xua

22、（教科書(shū)第6章）對(duì)流項(xiàng)：信息（波）從上游傳至下游對(duì)流項(xiàng)：信息（波）從上游傳至下游 上游信息更重要上游信息更重要 迎風(fēng)差分迎風(fēng)差分?jǐn)U散項(xiàng)：擴(kuò)散項(xiàng)： 信息從中心向周?chē)鷶U(kuò)散信息從中心向周?chē)鷶U(kuò)散 不區(qū)分上、下游不區(qū)分上、下游 中心差分中心差分迎風(fēng)差分優(yōu)點(diǎn)：迎風(fēng)差分優(yōu)點(diǎn)： 有效利用信息傳播的方向，增強(qiáng)穩(wěn)定性有效利用信息傳播的方向，增強(qiáng)穩(wěn)定性微分與差分方程的影響域N-S方程：?jiǎn)尾ǚ匠蹋簡(jiǎn)尾ǚ匠虇尾ǚ匠?一個(gè)波，容易判斷波傳播方向一個(gè)波，容易判斷波傳播方向N-S對(duì)流項(xiàng)（對(duì)流項(xiàng)（Euler） 方程組：多波問(wèn)題，方程組：多波問(wèn)題， 復(fù)雜復(fù)雜雙曲方程組的原則雙曲方程組的原則 特征分解，找到獨(dú)立傳播的波特征分解，找

23、到獨(dú)立傳播的波0000 xvtvxtxtxtkkkVVUSSUUAU1常系數(shù)矩陣常系數(shù)矩陣A的情況的情況 完全解耦，獨(dú)立求解完全解耦，獨(dú)立求解變系數(shù)矩陣變系數(shù)矩陣A的情況的情況 局部討論局部討論20Copyright by Li Xinliang1. Jacobian 系數(shù)矩陣及其性質(zhì)系數(shù)矩陣及其性質(zhì)xxUAf(U)Uf(u)Af(U)Uf)(f(U)UUU)f()()(1AUUUf(U)f(U)(xxxUAAUf(U)(重要性質(zhì)uucucuuu222322311221)3(23010AtttUAAUf(U)(特點(diǎn)：特點(diǎn)： A 可以像常數(shù)一樣，和求導(dǎo)運(yùn)算交換可以像常數(shù)一樣，和求導(dǎo)運(yùn)算交換vis

24、f(U)UxtTTpEupuufEuU)(,(,),(221Copyright by Li Xinliang2. 對(duì)流項(xiàng)的分裂對(duì)流項(xiàng)的分裂 目的：目的： 確定波傳播方向，便于使用迎風(fēng)差分確定波傳播方向，便于使用迎風(fēng)差分方法：方法： 1） 逐點(diǎn)分裂逐點(diǎn)分裂 2） 嚴(yán)格特征分裂嚴(yán)格特征分裂 1） 逐點(diǎn)分裂逐點(diǎn)分裂 利用性質(zhì))(AUUAf(U)xxxSSA1kdiagkdiag2,2kk=+優(yōu)點(diǎn)：耗散小缺點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)間斷SSA1SUSUAf1方式 A:2)(2/122kkk) 1(2)(3(232cw特點(diǎn)：特點(diǎn)： 不必進(jìn)行矩陣運(yùn)算，計(jì)算量小不必進(jìn)行矩陣運(yùn)算，計(jì)算量小Steger-Warming 分裂分裂

25、wcucuucucuu232221321321)(2)(2) 1()()() 1(2) 1(22)(f)(fffffA: Steger-Warming 分裂分裂22Copyright by Li Xinliang Steger-Warming 具體步驟具體步驟 （以一維為例）（以一維為例）已知已知TEuU),(1） 計(jì)算計(jì)算2） 計(jì)算計(jì)算3） 計(jì)算計(jì)算4） 帶入（帶入（1）式得到）式得到5） 利用不同的迎風(fēng)格式，分別計(jì)算利用不同的迎風(fēng)格式，分別計(jì)算 pu,cucuu321,2)(2/122kkk)3 , 2 , 1(,kkkwcucuucucuu232221321321)(2)(2) 1()(

26、)() 1(2) 1(22)(f) 1(2)(3(232cw)(),(ffff（1）ff ,fffxxff,xxff0a0 xuatu0a（后差，前差）（后差，前差） 6） xxxfff計(jì)算計(jì)算7） 時(shí)間推進(jìn)時(shí)間推進(jìn)0 xtfU23Copyright by Li Xinliang二維問(wèn)題的二維問(wèn)題的steger-Warming 分裂分裂021yxtffUTpEuuvpuu)(,21fTpEvpvuvv)(,22fTEvu,U21fff令：則：WvuvuVvvvuuu2222)(2222421213202413024130430f) 1(2)(3(243cW10) 1(211kcuu12kcuu

27、/1k/2k21kcvv22kcvv22具體使用步驟，具體使用步驟， 以計(jì)算以計(jì)算 為例為例x1f令令 計(jì)算特征值計(jì)算特征值 分裂特征值，計(jì)算分裂特征值，計(jì)算 帶入左式，計(jì)算正、負(fù)流通矢帶入左式，計(jì)算正、負(fù)流通矢量量 計(jì)算計(jì)算0, 1cucuu4321,2)(2/122kkk)4 , 3 , 2 , 1(,kkk)(1ffxxx111fffy2f計(jì)算計(jì)算 設(shè)置設(shè)置 ，并注意，并注意1, 0cvcvv4321,對(duì)于曲線坐標(biāo)系對(duì)于曲線坐標(biāo)系021ffUt21111fffyxJJ僅需令yxJJ11, 三維問(wèn)題同樣處理三維問(wèn)題同樣處理 二維、三維具體二維、三維具體 公式見(jiàn)傅德薰等公式見(jiàn)傅德薰等計(jì)算空氣

28、動(dòng)力學(xué)計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué) 4.7節(jié)節(jié) （158-162）書(shū)中公式有一定的排版錯(cuò)誤，使用前務(wù)必書(shū)中公式有一定的排版錯(cuò)誤，使用前務(wù)必重新仔細(xì)重新仔細(xì)推導(dǎo)！推導(dǎo)！24Copyright by Li XinliangB: L-F分裂分裂AUf(U) 2/ )(, 2/ )(*IAAIAA特點(diǎn)： A正特征值 負(fù)特征值A(chǔ)2/ )(*UffUA=+缺點(diǎn)：耗散偏大局部局部L-F分裂分裂，每個(gè)點(diǎn)上計(jì)算，每個(gè)點(diǎn)上計(jì)算 全局全局L-F分裂分裂，全局（一維）上計(jì)算，全局（一維）上計(jì)算 cu *足夠大cu *數(shù)學(xué)性質(zhì)（光滑性）數(shù)學(xué)性質(zhì)（光滑性）最好，但耗散偏大最好，但耗散偏大)(max*cux常數(shù)與迎風(fēng)格式結(jié)合，等價(jià)于人工

29、粘性與迎風(fēng)格式結(jié)合，等價(jià)于人工粘性UfUfUfUfUfUffffxxxxxxxxxxxxxx*0*)(2)(21)()(21)()(21例如，可取例如，可取0 xtf(U)U22*xxtUf(U)U25Copyright by Li Xinliang2,2kkkkkkkkk方式很多=+S-W:L-F:=+2,2*kkkk0, 0kkVan Leer:=+221112) 1() 1(22) 1(cufcufff2121Macfff0f1Ma1MaffcuMa/0f1Ma26Copyright by Li Xinliang 分裂后分裂后 失去了失去了A的性質(zhì)（可以的性質(zhì)（可以像常數(shù)一樣與求導(dǎo)交換）

30、像常數(shù)一樣與求導(dǎo)交換）逐點(diǎn)分裂：逐點(diǎn)分裂： 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 無(wú)需矩陣運(yùn)算，計(jì)算量小無(wú)需矩陣運(yùn)算，計(jì)算量小 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 分裂后改變了特征方向，分裂后改變了特征方向， 耗散大耗散大xxx(U)f(U)ff(U)SUSUAf1利用了性質(zhì))(AUUAf(U)xxx一般情況下：一般情況下：xxxUAUAf變系數(shù)，變系數(shù)， 不能與導(dǎo)數(shù)交換不能與導(dǎo)數(shù)交換AAxBxUf AB實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)： 沒(méi)有做到解耦；沒(méi)有做到解耦； 只是把原變量重新組合，組合后波的傳播方向的保證只是把原變量重新組合，組合后波的傳播方向的保證 f+ 向正向正向傳播，向傳播，f-向負(fù)向傳播向負(fù)向傳播 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 由于未解耦，各變量的誤差會(huì)相互

31、傳遞由于未解耦，各變量的誤差會(huì)相互傳遞 27Copyright by Li Xinliang概念澄清：概念澄清： 流通流通矢量分裂本身不帶來(lái)耗散矢量分裂本身不帶來(lái)耗散， 但其會(huì)但其會(huì)影響到差分的耗散影響到差分的耗散;舉例：0)(xUftUfff分裂過(guò)程),(21),(21UffUfffffxxxUaftUxxx00耗散如果差分格式無(wú)耗散（例如都用中心差分），則通量分裂不帶來(lái)耗散。ffffffxxxxx0000)(=+向上平移向下平移分裂差分格式耗散分裂后的流場(chǎng)越偏離原先流場(chǎng)，則分裂后的流場(chǎng)越偏離原先流場(chǎng)，則總體耗散越大總體耗散越大fff精確滿足，不引入誤差！如使用低精差分度格式，如使用低精差分

32、度格式， 則對(duì)分裂形式敏感則對(duì)分裂形式敏感 （推薦使用特征分裂）（推薦使用特征分裂）如使用高精度格式（低耗散），則對(duì)分裂形式不敏感如使用高精度格式（低耗散），則對(duì)分裂形式不敏感 （可使用逐點(diǎn)分裂）（可使用逐點(diǎn)分裂）28Copyright by Li Xinliang2. 嚴(yán)格特征分裂嚴(yán)格特征分裂 基架點(diǎn)上凍結(jié)系數(shù)基架點(diǎn)上凍結(jié)系數(shù)常系數(shù)常系數(shù)方程組：方程組：00 xtxtUAUf(U)U0000 xvtvxtxtxtkkkVVUSSUUAU1完全解耦變系數(shù)情況變系數(shù)情況 局部?jī)鼋Y(jié)系數(shù)局部?jī)鼋Y(jié)系數(shù)0jjjxtUAU j-2 j-1 j j+1 在基架點(diǎn)上系數(shù) 不變jjxUAjjxUAjA計(jì)算：在差

33、分基架點(diǎn)上在差分基架點(diǎn)上Aj 不變，不變， 可按常矩陣處理可按常矩陣處理jj1jSSAj)()(jjjjjjjjxxxxxxVVSVSUSSUSSUA1j1j1jj1j局部?jī)鼋Y(jié)系數(shù)分別采用后差和前差USVj優(yōu)點(diǎn)： 嚴(yán)格保證（局部）特征方向，數(shù)值解質(zhì)量好；缺點(diǎn)： 大量矩陣運(yùn)算，計(jì)算量大。29Copyright by Li XinliangUSVjUSVj通常寫(xiě)成守恒型差分通常寫(xiě)成守恒型差分，計(jì)算計(jì)算x)(Ufxxjjj/ )()(2/12/1ffUf j-2 j-1 j j+1 在基架點(diǎn)上系數(shù) 不變jjxUAjA)(2/12/112/12/1jjjjSVVfUSV2/1j具體步驟：具體步驟： 假

34、設(shè)已知假設(shè)已知 U， 且針對(duì)模型方程（線性單波方程）且針對(duì)模型方程（線性單波方程） 已構(gòu)造出差分格式已構(gòu)造出差分格式xvvvxvvvjjjjjj/ )(;/ )(2/12/12/12/10 xvatv（1）1） 計(jì)算出計(jì)算出2/12/112/1,jjjSS教材教材130頁(yè)的公式頁(yè)的公式(6.1.11-6.1.13), 式中用到各變量在式中用到各變量在j+1/2的值（例如的值（例如 ） 可使用可使用j, j+1 點(diǎn)值的算術(shù)平均點(diǎn)值的算術(shù)平均 （如（如 ） 或或Roe平均平均 （教材（教材6.4節(jié)）；節(jié)）； 由由 計(jì)算；方法很多，例如前面介紹的計(jì)算；方法很多，例如前面介紹的 或或 2/1ju2/ )(12/1jjjuuu30Copyright by Li Xi