第二章導熱理論基礎

1、2-1 2-1 基本概念及傅立葉定律基本概念及傅立葉定律 2-2 2-2 導熱微分方程導熱微分方程2-3 2-3 導熱過程的單值性條件導熱過程的單值性條件 2-1 2-1 基本概念及傅立葉定律基本概念及傅立葉定律 ,zyxft ),(, 0zyxftt)(xft 一一 、基本概念、基本概念1 、溫度場、溫度場 （Temperature field）物體中瞬間各點的溫度分布總稱物體中瞬間各點的溫度分布總稱。穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)：一維穩(wěn)態(tài)：一維穩(wěn)態(tài)： 等溫線：等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到一個等溫線簇。個平面上得到一個等溫線簇。 等溫面：等溫面：同一時刻、溫度

2、場中所有同一時刻、溫度場中所有溫度相溫度相同的點同的點連接起來所構(gòu)成的面。連接起來所構(gòu)成的面。 (a) (a) 溫度不同的等溫面或等溫線溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相彼此不能相交交。 (b) (b) 在在連續(xù)的溫度場連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線中，等溫面或等溫線不會中斷不會中斷，它們或者是物體中完全封閉的，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止于物體的邊界曲面（曲線），或者就終止于物體的邊界上。上。(c)(c) 等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)岬葴鼐€的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)?熱流密度的大小。熱流密度的大小。等溫線較密集等溫線較密集的地方說明的地方說明溫度的變化率較大，導熱熱

3、流也較大溫度的變化率較大，導熱熱流也較大。3、溫度梯度（、溫度梯度（Temperature gradient） 梯度梯度指向變化最劇烈的方向指向變化最劇烈的方向 kztjytixtnntnttgradntstn0lim溫度梯度是向量，溫度梯度是向量，指向溫度升高的指向溫度升高的方向。方向。4、熱流（密度）矢量、熱流（密度）矢量 熱流密度熱流密度：單位時間、單位面積上所傳遞的熱量。：單位時間、單位面積上所傳遞的熱量。 在不同方向上，熱流密度在不同方向上，熱流密度的大小是不同的的大小是不同的kqjqiqqzyx熱流矢量熱流矢量：等溫面上某點，以通過該點最大：等溫面上某點，以通過該點最大熱流密度的方

4、向為方向，數(shù)值上也正好等于熱流密度的方向為方向，數(shù)值上也正好等于沿該方向熱流密度的矢量。沿該方向熱流密度的矢量。二、傅立葉定律二、傅立葉定律 nnttgradqztqytqxtqzyx投影為標量 各向同性各向同性共線、反向與則：gradtq在直角坐標系中：在直角坐標系中：三、導熱系數(shù)三、導熱系數(shù)1 1 、導熱系數(shù)的含義、導熱系數(shù)的含義 數(shù)值上等于在單位溫度梯度作用下物體數(shù)值上等于在單位溫度梯度作用下物體內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度矢量的模。內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度矢量的模。 nntq導熱系數(shù)的定義式由傅里葉定律的數(shù)學表導熱系數(shù)的定義式由傅里葉定律的數(shù)學表達式給出：達式給出：2 2、導熱系數(shù)的影響因素：、導熱系

5、數(shù)的影響因素： 物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等。濕度、壓力、密度等。(物性參數(shù)物性參數(shù))1 (0bt在一定溫度范圍內(nèi)，大多數(shù)工在一定溫度范圍內(nèi)，大多數(shù)工程材料的程材料的 滿足線性關系。滿足線性關系。金屬材料的 最大液體 次之氣體 最小非金屬 有大有小，變化 范圍較大保溫材料（隔熱、絕熱材料）保溫材料（隔熱、絕熱材料） 我國規(guī)定：我國規(guī)定： 低于低于350 350 時，時， 0.12w/m.k 0.12w/m.k 的材料為保溫材料的材料為保溫材料. .隔熱保溫材料、隔熱保溫材料、鑄造用的造型鑄造用的造型材料材料,都是多都是多孔結(jié)構(gòu)材料孔結(jié)構(gòu)材料.建立導

6、熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式。表達式。2-2 導熱微分方程導熱微分方程（ Heat Diffusion Equation）理論基礎理論基礎:能量守恒定律與傅立葉定律能量守恒定律與傅立葉定律與熱流密與熱流密度的區(qū)別度的區(qū)別?假設假設：（1）所研究的物體是各向同性的連續(xù)介）所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；（質(zhì)；（2） 、c均為已知；（均為已知；（3）物體具有內(nèi)）物體具有內(nèi)熱源（強度熱源（強度(w/m3).熱平衡：熱平衡：凈導入微元體的總熱流量內(nèi)熱源生成熱凈導入微元體的總熱流量內(nèi)熱源生成熱微元體熱力學能的增量微元體熱力學能的增量 dydzdxxtxdydzx

7、tdydzdxxqqdydzqddydzxtdydzqdIxxdxxdxxxx)()(:dxdydzxtxddxdxxx)(向凈導入熱量：dxdydzztzdddxdydzytyddzydzzzdyyy)()(向凈導入熱量：、同理，dxdydzdxdydztcdxdydzztytxt)(z)(y)(x導熱微分方程導熱微分方程一般形式一般形式)()()(ztzytyxtxtc非穩(wěn)態(tài)項非穩(wěn)態(tài)項:凈導入微元體的總熱流量凈導入微元體的總熱流量:微元體內(nèi)熱源的生成熱微元體內(nèi)熱源的生成熱:微元體熱力學能的增量微元體熱力學能的增量擴散項擴散項源項源項1 1）對上式化簡：）對上式化簡： 導熱系數(shù)為常數(shù)導熱系數(shù)

8、為常數(shù) 式中，式中，)/( ca導熱系數(shù)為常數(shù)導熱系數(shù)為常數(shù) 、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài) cztytxtat)(222222)()()(ztzytyxtxtc稱為熱擴散系數(shù)稱為熱擴散系數(shù)(m(m2 2/s)(thermal diffusivity)/s)(thermal diffusivity)。0222222ztytxt-拉普拉斯方程拉普拉斯方程熱擴散率的物理意義熱擴散率的物理意義 )/( ca 分子分子: 是物體的導熱系數(shù)，是物體的導熱系數(shù)， 越大，在相同溫度梯越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。度下，可以傳導更多的熱量。 分母分母: 是熱容，即單位體積的物體溫度升高是熱容，

9、即單位體積的物體溫度升高 1 所需的熱量。所需的熱量。 c越小，溫度升高越小，溫度升高 1 所吸收的所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。由定義式由定義式:的物理意義的物理意義： 越大，表示物體受熱時，其內(nèi)部各點越大，表示物體受熱時，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。溫度扯平的能力越大。 越大，表示物體中溫度變化傳播的越越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，快。所以，也是材料傳播溫度變化能也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)導溫

10、系數(shù)。幾何尺寸相同的鐵板和幾何尺寸相同的鐵板和木板，當一面溫度很高木板，當一面溫度很高時，短時間內(nèi)另一面的時，短時間內(nèi)另一面的感覺有何不同？感覺有何不同？2 2）圓柱坐標系中的導熱微分方程：）圓柱坐標系中的導熱微分方程：)()(1)(12ztztrrtrrrtc3 3）球坐標系中的導熱微分方程：）球坐標系中的導熱微分方程：)sin(sin1)(sin1)(122222trtrrtrrrtc 2-3 2-3 初始條件及邊界條件初始條件及邊界條件 完整數(shù)學描寫完整數(shù)學描寫： 導熱微分方程導熱微分方程+ +邊界條件邊界條件+ +初始條件初始條件一、常見的邊界條件一、常見的邊界條件)(.fttcons

11、tttwsws（1 1）第一類邊界條件：第一類邊界條件：已知已知邊界上的溫度值。邊界上的溫度值。（2 2）第二類邊界條件第二類邊界條件：已知已知邊界上的熱流邊界上的熱流密度值。密度值。wwwqntfqconstqw)(.或（3 3）第三類邊界條件第三類邊界條件: :)(wfwtthnt已知已知邊界面與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)邊界面與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h h 及周圍流體的溫度及周圍流體的溫度 t tf.f.可表示為可表示為: :.),(00consttzyxft二、初始條件：二、初始條件： 不穩(wěn)態(tài)時用。不穩(wěn)態(tài)時用。 例: 一半徑為一半徑為R長度為長度為L的導線，其導熱系的導線，其導熱系數(shù)

12、數(shù) 為常數(shù)為常數(shù).導線的電阻率為導線的電阻率為 ( .m2/m).導線通過電流導線通過電流I(A)而均勻發(fā)熱而均勻發(fā)熱.已知空氣已知空氣的溫度的溫度為為tf ，導線與空氣之間的表面?zhèn)?，導線與空氣之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為熱系數(shù)為h，試寫出這一穩(wěn)態(tài)過程的完，試寫出這一穩(wěn)態(tài)過程的完整數(shù)學描寫。整數(shù)學描寫。解題思路：解題思路：3. 常熱物性常熱物性1.穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)2.溫度分布是對稱的溫度分布是對稱的,故溫度只隨半徑故溫度只隨半徑r變化變化(一一維維),與坐標與坐標z、 無關無關)()(1)(12ztztrrtrrrtc0)(1drdtrdrdr導熱微分方程簡化后為：導熱微分方程簡化后為： 邊界條件邊界條件:2

13、2222)(RIALALIVRI）（電阻RrdrdtRL21 ）0)20rdrdt)(2fRrttRLh 課堂作業(yè): 一半徑為一半徑為R的實心球，初始溫的實心球，初始溫度均勻并等于度均勻并等于 t0，突然將其放入一溫度，突然將其放入一溫度恒定并等于恒定并等于tf的液體槽內(nèi)冷卻。已知球的液體槽內(nèi)冷卻。已知球的熱物性參數(shù)的熱物性參數(shù) 、 和和c，球壁表面的表，球壁表面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，試寫出球體冷卻過程的，試寫出球體冷卻過程的完整數(shù)學描寫。完整數(shù)學描寫。)sin(sin1)(sin1)(122222trtrrtrrrtc3. 常熱物性常熱物性解題思路：解題思路：1.無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源2.溫度只隨半徑溫度只隨半徑r和時