電磁場(chǎng)與電磁波第4章

1、電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波第第4 4章章 靜態(tài)場(chǎng)的解靜態(tài)場(chǎng)的解 4.1邊值問題的分類邊值問題的分類4.2唯一性定理唯一性定理4.4鏡像法鏡像法4.5分離變量法分離變量法4.6復(fù)變函數(shù)法復(fù)變函數(shù)法4.7格林函數(shù)法格林函數(shù)法4.8有有限差分法限差分法本章小結(jié)本章小結(jié) &內(nèi)容提要內(nèi)容提要電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 無界空間中，如果已知分布電荷的體密度，可無界空間中，如果已知分布電荷的體密度，可直接通過積分公式計(jì)算任意點(diǎn)的電位；但計(jì)算有界直接通過積分公式計(jì)算任意點(diǎn)的電位；但計(jì)算有界區(qū)區(qū)域電位時(shí)，必需給定邊界上的邊界條件，把通過域電位時(shí)，必需給定邊界上的邊界條件，把通過微分方程及相關(guān)邊界條件

2、描述的問題稱為微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問題稱為邊值問題邊值問題。&邊值問題的分類邊值問題的分類 n 兩類靜態(tài)場(chǎng)問題兩類靜態(tài)場(chǎng)問題 一類是已知場(chǎng)源一類是已知場(chǎng)源(電荷分布、電流分布電荷分布、電流分布)，直接計(jì)，直接計(jì)算空間各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)和位函數(shù)，這類問題稱作算空間各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)和位函數(shù)，這類問題稱作 分布型問分布型問題題 ；一類是已知空間；一類是已知空間 某給定區(qū)域的某給定區(qū)域的 場(chǎng)源分布和該區(qū)場(chǎng)源分布和該區(qū)域邊界面上的位函數(shù)域邊界面上的位函數(shù)(或其法向?qū)?shù)或其法向?qū)?shù))，求解場(chǎng)內(nèi)位函，求解場(chǎng)內(nèi)位函數(shù)的分布，這類問題稱作數(shù)的分布，這類問題稱作邊值型問題邊值型問題。n 邊值型問題的分類邊值型問題的

3、分類電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 1. 第一類邊值問題第一類邊值問題 給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值；給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值； 2. 第二類邊值問題第二類邊值問題 給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法向?qū)?shù)；給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法向?qū)?shù)； 3. 第三類邊值問題第三類邊值問題 給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位，同時(shí)給定另一給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位，同時(shí)給定另一部分邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。部分邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。&邊值問題的分類邊值問題的分類 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波SVVSFFdd在散度定理公式在散度定理公式(4-1)2)(F(4-2)則對(duì)式則對(duì)式(4-2)兩邊體積分有：兩邊體積分

4、有：中，令中，令 ，則則(根據(jù)附錄根據(jù)附錄1的的A1.4和和A1.8)(P298)有有:F&唯一性定理唯一性定理n 格林公式格林公式電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波SnVVSSVVdd)(d )(d2SF即：即：SVSnVdd )(2(4-3) 把式把式(4-3)稱為稱為格林第一恒等式格林第一恒等式。 是面元的正法向是面元的正法向單位矢量，即閉合面的外法向單位矢量。單位矢量，即閉合面的外法向單位矢量。n&唯一性定理唯一性定理電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波將式將式(4-2)中的中的 和和 交換位置，同樣可得：交換位置，同樣可得：SVSnVdd )(2(4-4)用式用式(4-3)和式和式

5、(4-4)相減得：相減得：SVSnnVdd )(22(4-5)把式把式(4-5)稱為稱為格林第二恒等式格林第二恒等式。 &唯一性定理唯一性定理n 唯一性定理唯一性定理電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 1. 唯一性定理唯一性定理 它表明，對(duì)任意的靜電場(chǎng)，當(dāng)空間各點(diǎn)的電荷分布它表明，對(duì)任意的靜電場(chǎng)，當(dāng)空間各點(diǎn)的電荷分布與整個(gè)邊界上的邊界條件已知時(shí)，空間各部分的場(chǎng)就唯與整個(gè)邊界上的邊界條件已知時(shí)，空間各部分的場(chǎng)就唯一確定了。一確定了。用反證法。設(shè)在區(qū)域用反證法。設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，內(nèi)， 1和和 2滿足泊松方程，即：滿足泊松方程，即：2. 唯一性定理的證明唯一性定理的證明)()(2212rr&唯

6、一性定理唯一性定理電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波在在V的邊界的邊界S上，上， 1和和 2滿足同樣的邊界條件，滿足同樣的邊界條件， 即：即：)(|)(|21rrffSS 令令 = 1- 2，則在，則在V內(nèi)，內(nèi)， 2 =0，在邊界面，在邊界面S上，上， |S=0。在格林第一恒。在格林第一恒等式中，令等式中，令 = ，則：，則：SVSnVdd )(2由于由于 2 =0，所以有：，所以有：&唯一性定理唯一性定理電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波SVSnVdd2在在S上上 =0，因而上式右邊為零，因而有：，因而上式右邊為零，因而有：0d2VV 由于對(duì)任意函數(shù)由于對(duì)任意函數(shù) ， 0，所以得，所以得 =0，

7、于是，于是 只能是常數(shù)，再根據(jù)邊界面上只能是常數(shù)，再根據(jù)邊界面上 =0 ，可知在整個(gè)區(qū)域，可知在整個(gè)區(qū)域內(nèi)內(nèi) 0，即，即 1= 2。第二類、第三類邊值問題同樣滿足。第二類、第三類邊值問題同樣滿足唯一性定理。唯一性定理。&唯一性定理唯一性定理電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 唯一性定理對(duì)求解邊值問題特別重要唯一性定理對(duì)求解邊值問題特別重要；即有時(shí)可；即有時(shí)可通過猜想來確定問題的解，只要此解滿足拉普拉斯方通過猜想來確定問題的解，只要此解滿足拉普拉斯方程程(泊松方程泊松方程)及邊界條件，由唯一性定理可確定這個(gè)及邊界條件，由唯一性定理可確定這個(gè)解就是所求的唯一解。解就是所求的唯一解。 鏡像法是應(yīng)用

8、唯一性定理的典型范例鏡像法是應(yīng)用唯一性定理的典型范例。&唯一性定理唯一性定理電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 例例4-1 求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方，距求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面導(dǎo)體面為為h處的點(diǎn)電荷處的點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中的電位。的電場(chǎng)中的電位。 解解：如圖：如圖4-1(a)所示，設(shè)所示，設(shè)z=0為導(dǎo)體平面，點(diǎn)電荷為導(dǎo)體平面，點(diǎn)電荷 q 位于位于(0,0,h)處，待求即是處，待求即是z 0中的電位。于是可把上中的電位。于是可把上半空間的電位看作兩部分之和，即半空間的電位看作兩部分之和，即 = q+ S，其中，其中 q， S分別表示點(diǎn)電荷和導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位；分別表示點(diǎn)

9、電荷和導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位；由于上半空間只有點(diǎn)電荷由于上半空間只有點(diǎn)電荷q，故電位，故電位 應(yīng)滿足拉普拉斯應(yīng)滿足拉普拉斯方程；而導(dǎo)體表面由所有電荷產(chǎn)生的總電位為零方程；而導(dǎo)體表面由所有電荷產(chǎn)生的總電位為零(因?yàn)橐驗(yàn)榻拥亟拥?，無窮遠(yuǎn)處的總電位也為零，無窮遠(yuǎn)處的總電位也為零(因?yàn)槿o窮遠(yuǎn)處為因?yàn)槿o窮遠(yuǎn)處為零電位點(diǎn)零電位點(diǎn))，即：，即：&鏡像法鏡像法n 平面鏡像法平面鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 (1)當(dāng)當(dāng) z0 時(shí)，時(shí)， 2 =0； (2)當(dāng)當(dāng) z=0時(shí)，時(shí)， =0； (3)當(dāng)當(dāng) z、|x|、|y|時(shí)，時(shí)， 0。 根據(jù)圖根據(jù)圖4-1(b)所示的電荷分布，可求得這一組電荷所

10、示的電荷分布，可求得這一組電荷分布場(chǎng)中的任一點(diǎn)的電位為：分布場(chǎng)中的任一點(diǎn)的電位為：rqrq041(4-6)2/12222/1222)()(hzyxrhzyxr式中：式中：&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖4-1 無限大導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷的鏡像 xyzP(x,y,z)&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 比較圖比較圖4-1(a)和圖和圖4-1(b)可以看出，在可以看出，在z0的區(qū)域，的區(qū)域，二者電荷分布相同，即在二者電荷分布相同，即在(0,0,h)點(diǎn)有一個(gè)電荷點(diǎn)有一個(gè)電荷q，在區(qū)，在區(qū)域的邊界上也有相同的邊界條件域的邊界上也有相同的邊界條件( (即在即在z=0的平面

11、上電的平面上電位為零，在半徑趨于無窮大的半球面上電位為零位為零，在半徑趨于無窮大的半球面上電位為零) )。 根據(jù)邊值問題的唯一性定理，可知二者在上半空根據(jù)邊值問題的唯一性定理，可知二者在上半空間電位分布相同，也就是說，可用圖間電位分布相同，也就是說，可用圖4-1( (b) )中的點(diǎn)電中的點(diǎn)電荷荷-q等效圖等效圖4-1(a)中的感應(yīng)面電荷；稱圖中的感應(yīng)面電荷；稱圖4-1(b)所示問所示問題為圖題為圖4-1(a)所示問題的等效所示問題的等效鏡像問題鏡像問題；位；位(0，0，-h)的點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷-q 是原電荷是原電荷q的的鏡像電荷鏡像電荷。從而可得。從而可得z0區(qū)域區(qū)域的電場(chǎng)為：的電場(chǎng)為：zyxe

12、zeyexE&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波3303303304114114rhzrhzqErrqyErrqxEzyx 由導(dǎo)體表面邊界條件式由導(dǎo)體表面邊界條件式(2-68)(P35)Dn= S可得導(dǎo)體表可得導(dǎo)體表面的面電荷密度為：面的面電荷密度為： 即即 的的3個(gè)分量為：個(gè)分量為：E&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波2/32220zn)(2hyxqhEDDzS導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷為：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷為： qhyxyxqhSqS2/3222in)(dd2d 如果導(dǎo)體平面是如圖如果導(dǎo)體平面是如圖4-2(a)所示相互正交的兩個(gè)無所示相互正交的兩個(gè)無限大接地平面，

13、此時(shí)需采用圖限大接地平面，此時(shí)需采用圖4-2(b)所示的三個(gè)鏡像點(diǎn)所示的三個(gè)鏡像點(diǎn)荷；由圖荷；由圖4-2(a)和圖和圖4-2(b)可見，在待求區(qū)域內(nèi)可見，在待求區(qū)域內(nèi)(原電荷原電荷所在區(qū)域所在區(qū)域)，兩問題的電荷分布不變，電位邊界條件相，兩問題的電荷分布不變，電位邊界條件相同。同。&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖4-2 相互正交的兩個(gè)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 &鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-2 如圖如圖4-3(a)所示，一個(gè)半徑為所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q位于距球心位于距球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。處，求球外

14、任一點(diǎn)的電位。 解解：我們先試探用一個(gè)鏡像電荷：我們先試探用一個(gè)鏡像電荷 q 等效球面上的感應(yīng)等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位面電荷在球外產(chǎn)生的電位 和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷像電荷q 應(yīng)置于球心與電荷應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)的連線上，設(shè)q 離球心距離球心距離為離為b(b0)中的電位也就是要求的電位。中的電位也就是要求的電位。由式由式(4-12)可得等位線方程可得等位線方程為：為：22222)()(mydxydx2222221211mmdydmmxm為常數(shù)，上式可進(jìn)一步變形為：為常數(shù)，上式可進(jìn)一步變形為：(4-13)(4-14) 顯然，方程顯然，方程(4

15、-14)表示一簇圓，圓心在表示一簇圓，圓心在(x0, y0)，半，半徑是徑是R0，即：，即： &鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波01112022020ydmmxmmdR 每一個(gè)給定的每一個(gè)給定的m(m0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為：的電位為：mln120(4-15)(4-16) 圖圖4-5(b)畫出了不同畫出了不同m值的等位圓。由式值的等位圓。由式(4-14)可可見，右半空間見，右半空間(x0)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m1，電位為正；左半空間，電位為正；左半空間(x0)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m1，電位為負(fù)；，電位為負(fù)；y軸對(duì)應(yīng)軸對(duì)應(yīng)m=1，電位為零；，電位為零；m=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)

16、點(diǎn)(-d,0)， m= 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(d,0)。&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-5 兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a，導(dǎo)體軸，導(dǎo)體軸線之線之間的距離是間的距離是 2b，如圖，如圖 4-6，求導(dǎo)體單位長(zhǎng)的電容。，求導(dǎo)體單位長(zhǎng)的電容。 解解: 設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體圓柱單位長(zhǎng)帶電分別為設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體圓柱單位長(zhǎng)帶電分別為 l和和- l，利用，利用柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用等效的線電荷柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用等效的線電荷 l和和- l代替，線電荷相距原點(diǎn)均為代替，線電荷相距原點(diǎn)均為d，此時(shí)兩個(gè)園柱導(dǎo)，此時(shí)兩個(gè)園柱導(dǎo)體面均為等位面，設(shè)其體面均為等位面，設(shè)其電

17、位分別為電位分別為 1和和 2。根據(jù)式。根據(jù)式(4-15)有：有： bdmmxammdR111222020園心坐標(biāo)半徑&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波消去消去d解之得：解之得：aabbm222, 1)n1n1 (221021mmUl 式中的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)第一、第二個(gè)圓柱體。由式中的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)第一、第二個(gè)圓柱體。由式式(4-16)有：有：&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖圖4-6 4-6 平行雙導(dǎo)體平行雙導(dǎo)體 yxm1m2&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波aabbnUUqCl22011當(dāng)當(dāng)ba時(shí)，時(shí)， abC2n10兩個(gè)導(dǎo)體圓柱之間單位長(zhǎng)的

18、電容為：兩個(gè)導(dǎo)體圓柱之間單位長(zhǎng)的電容為：(4-17)(4-18)aabbabbabbll22022220n1n12&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-6 設(shè)兩種介電常數(shù)分別為設(shè)兩種介電常數(shù)分別為 1、 2的介質(zhì)充填于的介質(zhì)充填于x0 的半空間，在介質(zhì)的半空間，在介質(zhì) 2 中點(diǎn)中點(diǎn)(d, 0, 0)處有一點(diǎn)電處有一點(diǎn)電荷荷q, 如圖如圖 4-7(a)所示，所示， 求空間各點(diǎn)的電位。求空間各點(diǎn)的電位。 解解：把原問題分成：把原問題分成 x0和和 x0 區(qū)域區(qū)域的電位時(shí)，假設(shè)全空間均填充介電常數(shù)的電位時(shí)，假設(shè)全空間均填充介電常數(shù) 2的介質(zhì)，的介質(zhì)，在在q的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)( (-

19、d,0,0) )放一鏡像電荷放一鏡像電荷q 來代替界面上的來代替界面上的束縛電束縛電荷荷；求；求x 0區(qū)域的電位時(shí)，在原電荷所在點(diǎn)區(qū)域的電位時(shí)，在原電荷所在點(diǎn)(d,0, 0) )放一鏡像電荷放一鏡像電荷q 來代替原電荷及束縛電荷的來代替原電荷及束縛電荷的共同影響，并假設(shè)全空間填充介電常數(shù)為共同影響，并假設(shè)全空間填充介電常數(shù)為 1 的介質(zhì)；的介質(zhì)；則右半空間任一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷電位計(jì)算公式為：則右半空間任一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷電位計(jì)算公式為：&鏡像法鏡像法n 平面介質(zhì)鏡像法平面介質(zhì)鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖圖4-7 4-7 例例 4-64-6用圖用圖(a) 介質(zhì)鏡像問題介質(zhì)鏡像問題

20、(b) 區(qū)域區(qū)域 2 等效等效(c) 區(qū)域區(qū)域 1 等等效效r2122211&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波122241rqrq左半空間任一點(diǎn)的電位為：左半空間任一點(diǎn)的電位為：2114 rq(4-19)(4-20)其中其中q 和和q 待定。待定。 在界面在界面(x=0即即r1=r2=r 2)上，已把其電荷等效為上，已把其電荷等效為q 或或q ,則其面電荷密度為則其面電荷密度為0，根據(jù)分界面上的邊界條件，根據(jù)分界面上的邊界條件(2-64)和和(2-66)(P34)，則，則式式(4-19)和和(4-20)所表示的電位應(yīng)滿足：所表示的電位應(yīng)滿足： &鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)

21、與與電電磁磁波波 21qqqqqqxx221121將式將式(4-19)和和(4-20)代入得：代入得：qqqq12112122 解之得到：解之得到：&鏡像法鏡像法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 總之，采用鏡像法時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟總之，采用鏡像法時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟: (1)將原問題分成不同的區(qū)域求解將原問題分成不同的區(qū)域求解，對(duì)各個(gè)區(qū)域使對(duì)各個(gè)區(qū)域使用鏡像電荷代替求解區(qū)域邊界面上的面電荷用鏡像電荷代替求解區(qū)域邊界面上的面電荷； (2)鏡像電荷應(yīng)在待求區(qū)域外鏡像電荷應(yīng)在待求區(qū)域外； (3)找出鏡像電荷的大小與位置找出鏡像電荷的大小與位置。&鏡像法鏡像法n 鏡像法的總結(jié)鏡像法的總結(jié)電電

22、磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.4 分離變量法分離變量法1.1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法 在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中， 拉普拉斯方程為拉普拉斯方程為: 0222222zyx設(shè)設(shè)可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積， 即即: )()()(),(zZyYxXzyx0222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波然后用然后用XYZ除上式，得除上式，得: 0ZZYYXX222ZZYYaXX4.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波0222a當(dāng)當(dāng)2=0時(shí)，則時(shí)，則: 00)(bxaxX 當(dāng)當(dāng)20 時(shí)，令時(shí)，令=kx，則，則

23、: 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波xkxkxxxxededxXxchkcxshkcxX2121)()(或或 4.4 分離變量法分離變量法例例4-74-7 橫截面如圖橫截面如圖4-8 所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位，槽體的電位為零，蓋板的電位為為零，蓋板的電位為U0， 求此區(qū)域內(nèi)的電位。求此區(qū)域內(nèi)的電位。 解解：本題的電位與：本題的電位與z無關(guān)，只是無關(guān)，只是x、y的函數(shù)，即的函數(shù)，即=(x, y)。 在區(qū)域在區(qū)域 0ya、0yb內(nèi)，內(nèi)，電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖4-8 矩形截面導(dǎo)體槽 4

24、.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 2 =0 邊界條件為邊界條件為: x=0, (0, y)=0 x=a, (a, y)=0 y=0, (x, 0)=0 y=b, (x, b)=U0 4.4 分離變量法分離變量法xkaxkaxXxxcossin)(210sinakx 即即kxa=n或或kx=n/a(n=1, 2, 3, ),這樣得到這樣得到X(x)=a1sin(nx/a)。 由于由于2+2=0，所以得到，所以得到Y(jié)(y)的形式的形式為指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)， 即即: 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波ychkcyshkcyYxx21)(有有c2=0, Y(y)=

25、c1sh(ny/a)，這樣我們就得到基本乘，這樣我們就得到基本乘積解積解X(x)Y(y)， 記作記作: aynshaxnCyYxXnnnnsin)()(4.4 分離變量法分離變量法 取不同的取不同的n值對(duì)應(yīng)的值對(duì)應(yīng)的n并疊加，即并疊加，即: axnshaxnCyxnnnn11sin),(電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波由邊界條件由邊界條件，有，有(x, b)=U0， 即即: axnBaxnabnshCUnnnn110sinsinabnshCBnn其中：其中： 4.4 分離變量法分離變量法mnmnadxaxmaxna02/sinsin0左右兩邊同乘以左右兩邊同乘以sin(mx/a)， 并在區(qū)間并在區(qū)

26、間(0，a)積分，有積分，有: 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波dxaxmaxnBdxaxmUanasinsinsin0002sinsin0200aBdxaxnBdxaxnUnana4.4 分離變量法分離變量法因而，因而， )cos1 (2sin2000nnUdxaxnaUBannUBn040n=2, 4, 6, n=1, 3, 5, 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波所以，當(dāng)所以，當(dāng)n=1, 3, 5, 時(shí)，時(shí)， abnshnUCn044.4 分離變量法分離變量法當(dāng)當(dāng)n=2, 4, 6, 時(shí)，時(shí)， 0nC這樣得到待求區(qū)域的電位為這樣得到待求區(qū)域的電位為: axnaynshabnnshUyxnsin14

27、),(, 3 , 10電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-84-8 如圖如圖4-9所示，兩塊半無限大平行導(dǎo)體板的電位為所示，兩塊半無限大平行導(dǎo)體板的電位為零，與之垂直的底面電位為零，與之垂直的底面電位為(x, 0)，求此半無限槽中的，求此半無限槽中的電位。電位。 其中：其中： 0)0 ,(0Ux20ax axa24.4 分離變量法分離變量法解解:和前題類似，這是一個(gè)二維拉普拉斯方程邊值問題，和前題類似，這是一個(gè)二維拉普拉斯方程邊值問題，=(x, y)，邊界條件為，邊界條件為: (0, y)=0 (a, y)=0 (x, )=0 電電磁磁場(chǎng)

28、場(chǎng)與與電電磁磁波波圖圖4-9 4-9 無限長(zhǎng)槽的電位無限長(zhǎng)槽的電位 4.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 0)0 ,(0Ux20ax axa24.4 分離變量法分離變量法為滿足邊界條件為滿足邊界條件，取級(jí)數(shù)，取級(jí)數(shù) axneCyxnaynnsin),(1/代入邊界條件代入邊界條件， 得得: 0sin01UaxnCnn20ax axa2電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波運(yùn)用正弦函數(shù)的正交歸一性，運(yùn)用正弦函數(shù)的正交歸一性， 得得: 2cos12sin202/00nUCdxaxnUaCnan4.4 分離變量法分離變量法2.2.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 01122

29、222zrrrrr 當(dāng)電位與坐標(biāo)變量當(dāng)電位與坐標(biāo)變量z無關(guān)時(shí)，上式第三項(xiàng)為零，此無關(guān)時(shí)，上式第三項(xiàng)為零，此時(shí)電位時(shí)電位(r,)滿足二維拉普拉斯方滿足二維拉普拉斯方程：程： 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波022rrrr運(yùn)用分離變量法解之，令運(yùn)用分離變量法解之，令 )()(rR4.4 分離變量法分離變量法0122ddrdRrdrdRr兩個(gè)常微分方程：兩個(gè)常微分方程： 002222222nddRndrdRrdrRdr電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波當(dāng)當(dāng)n0 時(shí)，上面兩方程的解為時(shí)，上面兩方程的解為: ndncbrarRnnsincos4.4 分離變量法分離變量法)sincos()sincos(),(11n

30、DnCrnBnArrnnnnnnnn0000001)()(DnrCrRBA當(dāng)當(dāng)n=0 時(shí)，時(shí)， 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-94-9 將半徑為將半徑為a的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場(chǎng)電場(chǎng)E0中，柱軸與中，柱軸與E0垂直，求任意點(diǎn)的電位。垂直，求任意點(diǎn)的電位。 解解：令圓柱的軸線與：令圓柱的軸線與z軸重合，軸重合，E0的方向與的方向與x方向一致方向一致,如圖如圖4-10 所示。由于導(dǎo)體柱是一個(gè)等位體所示。由于導(dǎo)體柱是一個(gè)等位體,不妨令其為不妨令其為零零,即在柱內(nèi)即在柱內(nèi)(ra), 1=0，柱外電

31、位，柱外電位2滿足拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程。2的形式就是圓柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的通解。以下的形式就是圓柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的通解。以下由邊界條件確定待定系數(shù)。本例的邊界條件是：由邊界條件確定待定系數(shù)。本例的邊界條件是： r，柱外電場(chǎng)，柱外電場(chǎng)E2E0ex, 這樣這樣2E0 x，即，即0-E0rcos。 r=a，導(dǎo)體柱內(nèi)、外電位連續(xù)，即，導(dǎo)體柱內(nèi)、外電位連續(xù)，即2=0。 4.4 分離變量法分離變量法 除此之外，電位關(guān)于軸對(duì)稱，即在通解中只取余弦除此之外，電位關(guān)于軸對(duì)稱，即在通解中只取余弦 項(xiàng)，于是，項(xiàng)，于是， 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖4-10 均勻場(chǎng)中導(dǎo)體柱 4.4 分離變量法分離變

32、量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波12cos)(nnnnnnrCrA)(ar 0,01nAEA) 1( n102coscosnnnnrCrE0coscos10nnnnrCaE4.4 分離變量法分離變量法因這一表達(dá)式對(duì)任意的因這一表達(dá)式對(duì)任意的成立，所以成立，所以 ) 1(0,201nCaECn電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波于是，于是， cos202rarE4.4 分離變量法分離變量法例例4-104-10 若在電場(chǎng)強(qiáng)度為若在電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的均勻靜電場(chǎng)中放入一個(gè)半的均勻靜電場(chǎng)中放入一個(gè)半徑為徑為a的電介質(zhì)圓柱，柱的軸線與電場(chǎng)互相垂直，介質(zhì)的電介質(zhì)圓柱，柱的軸線與電場(chǎng)互相垂直，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為柱的介電

33、常數(shù)為，柱外為真空，如圖柱外為真空，如圖4-11 所示，求柱所示，求柱內(nèi)、外的電場(chǎng)。內(nèi)、外的電場(chǎng)。 解解: 設(shè)柱內(nèi)電位為設(shè)柱內(nèi)電位為1，柱外電位為，柱外電位為2，1和和2與與z無無關(guān)。關(guān)。 取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，邊界條件如下：取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，邊界條件如下： r, 2=-E0rcos r=0, 1=0電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖4-11 均勻場(chǎng)中介質(zhì)柱 4.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波 r=a, 1=2 r=a, rr2014.4 分離變量法分離變量法于是，柱內(nèi)、柱外電位的通解為于是，柱內(nèi)、柱外電位的通解為: )sincos()sincos(),()sinco

34、s()sincos(),(112111nDnCrnBnArrnDnCrnBnArrnnnnnnnnnnnnnnnn 考慮本題的外加電場(chǎng)、極化面電荷均關(guān)于考慮本題的外加電場(chǎng)、極化面電荷均關(guān)于x軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，柱內(nèi)、柱外電位解只有余弦項(xiàng)，柱內(nèi)、柱外電位解只有余弦項(xiàng)，即即: 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波0nnnnDBDB)2( n于是，于是， nArrnnn11cos),(nrCrErnnn102coscos),(4.4 分離變量法分離變量法由邊界條件由邊界條件和和， 可得可得: 1100011101coscoscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnanCEnanAnaCnaEnaA電電

35、磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波)2(0, 011,1220101nCAaECEAnnrrr4.4 分離變量法分離變量法其中，其中，r=/0，是介質(zhì)圓柱的相對(duì)介電常數(shù)。于是柱，是介質(zhì)圓柱的相對(duì)介電常數(shù)。于是柱內(nèi)、外的電位為內(nèi)、外的電位為 cos111cos1222201rrarErrr電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波00112)sincos(12EeeeEErxrrsin111cos1110220222EraeEraeErrrrr4.4 分離變量法分離變量法例例4-114-11 在一個(gè)半徑為在一個(gè)半徑為a的圓柱面上，給定其電的圓柱面上，給定其電位分布：位分布： 00U00求圓柱內(nèi)、外的電位分布。求圓柱內(nèi)、

36、外的電位分布。 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波解解： 101)sincos(),(nnnnnBnArAr0)sincos(),(0101UnBnAaAannnn0-0 4.4 分離變量法分離變量法由傅里葉級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，由傅里葉級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)， 可得出可得出: 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波) 1(1 sinsin),(1) 1(0coscos),(12),(210001001010nnnnnnnnnnnUadnUaBdnaBandnUaAdnaAaUdaA4.4 分離變量法分離變量法電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波即即: ), 5 , 3 , 1(20nnUaBnn將這些系數(shù)代入上面的通解，將這些系

37、數(shù)代入上面的通解， 得到圓柱內(nèi)部的電位：得到圓柱內(nèi)部的電位： , 3 , 1001sin122),(nnnarnUUr4.4 分離變量法分離變量法3.3.球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法 0sin1sinsin12222222rrrrrrrr電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波0sinsin11222rrrrr 令令 =R(r)()，將其代入式，將其代入式(4-54)，并用，并用r2/ 乘該乘該式的兩邊，式的兩邊， 得得: 0sinsin112ddddrdRrdrdR4.4 分離變量法分離變量法上式的第一項(xiàng)只是上式的第一項(xiàng)只是r的函數(shù)，第二項(xiàng)只是的函數(shù)，第二項(xiàng)只是的函數(shù)。要其的函數(shù)。要其對(duì)

38、空間任意點(diǎn)成立，必須使每一對(duì)空間任意點(diǎn)成立，必須使每一項(xiàng)為常數(shù)。令第一項(xiàng)等項(xiàng)為常數(shù)。令第一項(xiàng)等于于k，于是有，于是有: 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波kdrdRrdrdR21kddddsinsin1cosx0)1 (2kdxdxdxd4.4 分離變量法分離變量法稱為稱為勒讓德方程勒讓德方程，它的解具有冪級(jí)數(shù)形式，且在，它的解具有冪級(jí)數(shù)形式，且在-1x0)的格林函數(shù)，就是求位于上半的格林函數(shù)，就是求位于上半空間空間 (x,y,z)處的處的單位正點(diǎn)電荷單位正點(diǎn)電荷，以以z=0 平面為電位平面為電位 r電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 211141) ,(RRGrr(4-94)

39、 這時(shí)單位正點(diǎn)電荷一般地位于這時(shí)單位正點(diǎn)電荷一般地位于(x,y,z)處而不是在處而不是在z軸上，故式中：軸上，故式中： 2/122222/12221) () () () () () (zzyyxxRzzyyxxR零點(diǎn)時(shí)零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)在上半空間任意一點(diǎn) 處的電位。這個(gè)電位可處的電位。這個(gè)電位可以用平以用平面鏡像法求得，由式面鏡像法求得，由式(4-6)(P83)可得上半空間的格可得上半空間的格林函數(shù)為：林函數(shù)為：r電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 同理可得出二維半同理可得出二維半(半二維半二維)空間空間(y0)的格林函數(shù)。的格林函數(shù)。也使用鏡像法，可以比較容易地

40、算出位于也使用鏡像法，可以比較容易地算出位于(x , y )處的處的單位線電荷，在以單位線電荷，在以y=0 為電位參考點(diǎn)時(shí)，在為電位參考點(diǎn)時(shí)，在(x, y)處的處的電位。由式電位。由式(4-12)(P87)及及 l=1可得可得半二維半二維空空間間(y0)的的格林函數(shù)為：格林函數(shù)為：12n121) ,(RRGrr(4-95)式中：式中： 2/12222/1221) () () () (yyxxRyyxxR電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 2.3. 球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)球內(nèi)、外空間的格林函數(shù) 可以由球面鏡像法，由式可以由球面鏡像法，由式(4-7)(P84)求出球心在坐標(biāo)求

41、出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為原點(diǎn)、半徑為a的球外空間的格林函數(shù)為：的球外空間的格林函數(shù)為：21141) ,(RraRGrr(4-96) 式中各量如圖式中各量如圖4-19所示，所示，a是球的徑，是球的徑， ， ，R1是是 到場(chǎng)點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn) 的距離，的距離，R2是是 的鏡像點(diǎn)的鏡像點(diǎn) 到場(chǎng)點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn) 的距離。的距離。rr rr rrr rr電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 )cos 2 ()cos2(22/12222/1221rarrrrrRrrrrR) cos(sinsincoscoscos同理可得到球外空間的格林函數(shù)為：同理可得到球外空間的格林函數(shù)為： 其中其中， ；，分別是分別

42、是r，r在球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)參量參量(高低角和方位角高低角和方位角)。電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 21141) ,(RraRGrr(4-97)式中各量如圖式中各量如圖4-20所示。所示。圖圖4-20 4-20 球內(nèi)格林函數(shù)球內(nèi)格林函數(shù) 圖圖4-19 4-19 球外格林函數(shù)球外格林函數(shù) PP+1+1(-a/r)(-a/r) 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波3. 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函數(shù)的應(yīng)用 用格林函數(shù)求三類靜電場(chǎng)的邊值問題時(shí)，分以下用格林函數(shù)求三類靜電場(chǎng)的邊值問題時(shí)，分以下3步進(jìn)行：步進(jìn)行： (1)首先求出三類邊值問題的格林函數(shù)；首先求出三類邊值問題的格

43、林函數(shù)； (2)然后求出格林函數(shù)所滿足的三類齊次邊界條件；然后求出格林函數(shù)所滿足的三類齊次邊界條件； (3)最后代入解的公式最后代入解的公式(4-85)、(4-87)和和(4-90)，即，即可求得三類靜電場(chǎng)的邊值問題的解。可求得三類靜電場(chǎng)的邊值問題的解。例例4-16 已知無限大導(dǎo)體平板由兩個(gè)相互絕緣的半無限已知無限大導(dǎo)體平板由兩個(gè)相互絕緣的半無限大導(dǎo)體平板組成大導(dǎo)體平板組成(如圖如圖4-21所示所示)，右半部的電位為，右半部的電位為U0，左半部的電位為左半部的電位為零，求上半空間的電位。零，求上半空間的電位。 4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)

44、法 圖圖4-21 4-21 例例4-164-16用圖用圖 解解：顯然，上半空間無電荷分布：顯然，上半空間無電荷分布(體電荷密度體電荷密度 )，問題為拉普拉斯方程的第一類邊值問題，公式問題為拉普拉斯方程的第一類邊值問題，公式(4-85)(P106)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為： SSnGd) ,() (rrr(4-98)0)(ryx電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波) () (n1) () (n141n121) ,(222212yyxxyyxxRRGrr4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 由題知，其邊界條件為由題知，其邊界條件為 和和 ；又又由于左半部電位為零，故可把所求空間看成二維半無由于左半部電位為零，故可把所求空間

45、看成二維半無界空間，由式界空間，由式(4-95)可得其格林函數(shù)為：可得其格林函數(shù)為：0)(UrS0)(Sr其中：其中： 2/1221) () (yyxxR電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波2222) () () (2) () () (241yyxxyyyyxxyyyGnG4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 2/1222) () (yyxxR由于界面的外法向由于界面的外法向n即是即是y的負(fù)方向，于是得到：的負(fù)方向，于是得到：進(jìn)一步得到邊界面進(jìn)一步得到邊界面y=0上的外法向?qū)?shù)值為：上的外法向?qū)?shù)值為：電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 yxUxxxyyUarctan2d) ()(022

46、00r22) (1yxxynGS 將上式及邊界條件將上式及邊界條件 和和 代入代入式式(4-98) 可得：可得：0)(UrS0)(Sr電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖4-22 例4-17用圖 4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 例例4-17 一個(gè)間距為一個(gè)間距為d的平板電容器，極板間的平板電容器，極板間的體電荷密的體電荷密度是度是0(0為常數(shù)為常數(shù))，上、下板的電位分別是上、下板的電位分別是U0和和0，求，求格林函數(shù)。格林函數(shù)。 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波解解：選取如圖所示的坐標(biāo)系，可知電位：選取如圖所示的坐標(biāo)系，可知電位(x)僅是坐標(biāo)僅是坐標(biāo)x的函數(shù)。的函數(shù)。 (x)所滿足的微分方程及邊界條件為：

47、所滿足的微分方程及邊界條件為： 0)0()()0(d)(d00022Uddxxx4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 由于是一維關(guān)系，故其格林函數(shù)及格林函數(shù)所滿由于是一維關(guān)系，故其格林函數(shù)及格林函數(shù)所滿足的齊次邊界條件為：足的齊次邊界條件為：)0() (d) ,(d022dxxxxxxG(4-99)電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 )0(0) ,()0(0) , 0(dxxdGdxxG 對(duì)于格林函數(shù)對(duì)于格林函數(shù)G的微分方程，分的微分方程，分xx兩部分積兩部分積分后，得：分后，得：)0() ,()0() ,(4321dxxCxCxxGdxxCxCxxG代入代入G的齊次邊界條件得：

48、的齊次邊界條件得：3420dCCC電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波即：即： )0() ,(1dxxxCxxG)0()() ,(3dxxxdCxxG4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 為了確定上式中的兩個(gè)待定常數(shù)為了確定上式中的兩個(gè)待定常數(shù)C1、C3。使用使用G在在x=x連續(xù)來確定。連續(xù)來確定。一方面有：一方面有：) (31xdCxC 另一方面，對(duì)式另一方面，對(duì)式 (4-99)在在x處左右積分一次并代入處左右積分一次并代入連續(xù)得：連續(xù)得：電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 00221ddddd)(dd),(dxxxxxxxxxGxGxxxxxxxG即：即： 0131CC解上面所得到的

49、兩個(gè)關(guān)于解上面所得到的兩個(gè)關(guān)于C1和和C3的聯(lián)立方程，得：的聯(lián)立方程，得：電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波)()()() ,(00 xxxddxxxxdxdxxG最后得到所求的格林函數(shù)為：最后得到所求的格林函數(shù)為： 4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 dxCdxdC0301 把求得的格林函數(shù)及邊界條件代入第一類邊值問把求得的格林函數(shù)及邊界條件代入第一類邊值問題的式題的式(4-85)即可求得即可求得 (x)。電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-18 已知一個(gè)半徑為已知一個(gè)半徑為a的圓柱形區(qū)域內(nèi)體的圓柱形區(qū)域內(nèi)體電荷密度為電荷密度為零，界面上的電位為：零，界面上的電位為：)(),(a用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的

50、電位用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的電位(r，)。 解解：使用鏡像法及格林函數(shù)的性質(zhì)，可以得出，半徑使用鏡像法及格林函數(shù)的性質(zhì)，可以得出，半徑a的圓柱內(nèi)部靜電的圓柱內(nèi)部靜電問題的格林函數(shù)為問題的格林函數(shù)為: aRrRrrG12n121) ,(4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波圖圖4-23 4-23 柱內(nèi)區(qū)域格林函數(shù)柱內(nèi)區(qū)域格林函數(shù) 4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波,)cos 2()cos2(22/12 222/12 21rarrrrrRrrrrR4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 SSnrrGrd) ,() (d) cos(2) (21222220arrar

51、a電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波例例4-194-19 如果上題的圓柱面上的電位為如果上題的圓柱面上的電位為(a,)=U0cos，求柱內(nèi)的電位。求柱內(nèi)的電位。解解： 2022220d) cos(2cos2)(arraraUr首先證明恒等式首先證明恒等式 ) 1(cos21)cos21/()1 (122knkkkknn(4-100)4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波22221111cos21121cos212cos2121sincos1sincos21sincos1sincos212112112121)(21)(212

52、1)(2121cos21kkkkkkkjkkjkkjkkjkkkekekekekekeeeknkjjjjnnnjnjnjnjnnnn4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波令令k=r/a，我們可以將式，我們可以將式(4-100)改寫成改寫成 cosd ) (cos1 cos2d) cos(211cos2)(0120022200arUnkUkkkUrnn4.6 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波4.7 有限差分法有限差分法 圖4-24 差分網(wǎng)格 1.1.差分表示式差分表示式 電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)與與電電磁磁波波KhxhxhxKhxhxhx3033202200330332022001! 3121! 3