chp3-兩自由度系統(tǒng)的振動-1(振動微分方程的建立)

1、機械工程學(xué)院機械工程學(xué)院 機械裝備與控制工程系機械裝備與控制工程系n緒論緒論n單自由度線性系統(tǒng)的振動單自由度線性系統(tǒng)的振動兩自由度線性系統(tǒng)的振動兩自由度線性系統(tǒng)的振動p多自由度線性系統(tǒng)的振動多自由度線性系統(tǒng)的振動p連續(xù)體振動連續(xù)體振動p工工程振動及應(yīng)用程振動及應(yīng)用振動理論及應(yīng)用振動理論及應(yīng)用講授內(nèi)容講授內(nèi)容第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 在工程實際中，有許多振動問題是非常復(fù)雜的，無法用單自由度的模型和方法進行分析，需要簡化成多自由度系統(tǒng)才能反映實際問題的物理本質(zhì)。 兩自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡單的特例，與單自由度相比較，具有一些新的概念，需要新的分析方法；而從兩自由度到

2、更多自由度系統(tǒng)，則主要是量的擴充，在問題的表述、求解方法及振動特性上沒有本質(zhì)的區(qū)別。Theory of Vibration with Applications 第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)例例3-1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力

3、力,不計摩擦和其他形式的阻不計摩擦和其他形式的阻尼尼.試建立系統(tǒng)試建立系統(tǒng)的振動微的振動微分方分方程。程。Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)解：解：受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解：解：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2

4、(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2建立方程：建立方程： )()()()(2332122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩陣形式：矩陣形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 坐標(biāo)間的耦合項坐標(biāo)間的耦合項 Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 例例3-2：雙轉(zhuǎn)盤雙轉(zhuǎn)盤系系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動微分方程的建統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動微分方程的建立。立。兩圓盤兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 21,II軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度 321,kkk1k1I22I2

5、k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解：解：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1受力分析：受力分析：11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122kTheory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解：解：11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k建立方程：建立方程：)()()()(2332222121

6、211111tMkkItMkkI 矩陣形式：矩陣形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐標(biāo)間的耦合項坐標(biāo)間的耦合項 Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 1k2k3k)(1tM)(2tM1I2Im1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學(xué)描述上相同。多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學(xué)描述上相同。 如同

7、在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。例例3-1：例例3-2：Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 例例3-3：梁的彎曲振動微分方程的建立：梁的彎曲振動微分方程的建立x1x2l/3l/3l/3m1m2 P1P2Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解：解：111fx m1

8、位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、時時（1）f11f21P1=11021 PP、時時（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：f12f22P2=1x1m1x2m2P1P221PP、 同時作用同時作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解：解：由材料力學(xué)可知當(dāng)由材料力學(xué)可知當(dāng)B點作用有單位力時，點作用有單位力時，A點的撓度為：點的撓度為： )(6222balEJla

9、bfABlabABP=1柔度影響系柔度影響系數(shù)數(shù)fff82211fff71221EJlf486321212121008778xxmmPPffffxx Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解：解：21212121008778xxmmPPffffxx 111112222087078mxxPffmxxPff柔柔度度矩陣矩陣Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 例例3-4：試建立如圖所示系統(tǒng)的振：試建立如圖所示系統(tǒng)的振動微

10、分方動微分方程。程。（擺（擺長長 l，無質(zhì)量，微擺，無質(zhì)量，微擺動）動）xMk/2mk/2lTheory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 Lagrange方方程程)., 2, 1(ddniQqDqLqLtiiii式中：式中：L 為為Lagrange 函數(shù)，它是系統(tǒng)動能函數(shù)，它是系統(tǒng)動能T和勢和勢能能V之之差，差， L = T - V 。 而而 和和 ( i = 1, 2, , n) 是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中是耗散函數(shù)，其中c i j為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)q

11、 j方向有單位廣義速度時，在廣義方向有單位廣義速度時，在廣義坐標(biāo)坐標(biāo)q i方向產(chǎn)生的阻尼力；方向產(chǎn)生的阻尼力； Q i 是在廣義坐標(biāo)方向是在廣義坐標(biāo)方向qi的廣義力，的廣義力， ，其中其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和和 分別是對廣義分別是對廣義坐標(biāo)和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，坐標(biāo)和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， 是對時間求一次導(dǎo)數(shù)。是對時間求一次導(dǎo)數(shù)。ninjjij iqqcD1121iiqWQiqiq tddiqiq拉拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來描述非自由質(zhì)點系的運動，這組方程以系統(tǒng)的格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來描述非自由質(zhì)點系的運動，這組方程以系統(tǒng)的動能、勢能、

12、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：Theory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解解：xMk/2mk/2l建立廣義坐標(biāo)建立廣義坐標(biāo)x和和，坐標(biāo)，坐標(biāo)x 的原點在系統(tǒng)靜平衡位置，的原點在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正方向向右為正 。為擺桿為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時針方向為正，轉(zhuǎn)角，逆時針方向為正，擺桿處于鉛垂位置時擺桿處于鉛垂位置時為零。為零。 系統(tǒng)靜平衡時勢能為零。系統(tǒng)靜平衡時勢能為零。 質(zhì)量質(zhì)量 M 的速度：的速度：質(zhì)量質(zhì)量m的速度：的速度： x 22(cos)

13、(sin )xllTheory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解解：系統(tǒng)的動系統(tǒng)的動能能: :222211(2cos )22TMxm xlxl系統(tǒng)的勢系統(tǒng)的勢能能: :21(1cos)2Vmglk xLagrange函函數(shù)數(shù): LTV對廣義坐標(biāo)分別運用對廣義坐標(biāo)分別運用lagrange方程得方程得 d0(1, 2,.,)diiLLintqqcos( sin )0Mxm xmlmlkx 2cossin0mlmlxmglTheory of Vibration with Applications第第3 3章章 兩自由

14、兩自由度系度系統(tǒng)的振動統(tǒng)的振動 解解：cos( sin )0Mxm xmlmlkx 2cossin0mlmlxmgl當(dāng)當(dāng)很小時，有很小時，有sin1cos()0Mm xmlk x20mlml xm g l0mkxlxMmMm0 xlgTheory of Vibration with Applications第第4 4章章 兩自由度線性系統(tǒng)的振動兩自由度線性系統(tǒng)的振動 )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)Theory of Vibration with Applications第第4 4章章 兩自由度線性系統(tǒng)的振動兩自由度