概率論與隨機過程：第1章 第一 、二節(jié)

1、 在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化，我們無，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性時無刻不面臨著不確定性和隨機性. . 從亞里士多德時代開始，哲學家們就已經(jīng)從亞里士多德時代開始，哲學家們就已經(jīng)認識到隨機性在生活中的作用，他們把隨機性認識到隨機性在生活中的作用，他們把隨機性看作為破壞生活規(guī)律、超越了人們理解能力范看作為破壞生活規(guī)律、超越了人們

2、理解能力范圍的東西圍的東西. . 他們沒有認識到有可能去研究隨機他們沒有認識到有可能去研究隨機性性( (實踐表明這些現(xiàn)象雖然具有不確定性，但如實踐表明這些現(xiàn)象雖然具有不確定性，但如果大量重復這種果大量重復這種現(xiàn)象又是有規(guī)律的現(xiàn)象又是有規(guī)律的) )，或者是去，或者是去測量不定性測量不定性. . 將將不定性數(shù)量化不定性數(shù)量化，來嘗試回答這些問題，來嘗試回答這些問題，是直到是直到2020世紀初葉才開始的世紀初葉才開始的. . 還不能說這個努還不能說這個努力已經(jīng)十分成功了，但就是那些已得到的成果，力已經(jīng)十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類活動的一切領域帶來了一場革命已經(jīng)給人類活動的一切領域帶

3、來了一場革命. .也也使概率論成為近代數(shù)學的重要組成部分。使概率論成為近代數(shù)學的重要組成部分。一些爭論一些爭論（1）方法積累階段（）方法積累階段（16531712） “帕帕-費通信費通信” (Pascal-Fermat)； 對具體隨機現(xiàn)象的研究，結晶出第一批概念定理。對具體隨機現(xiàn)象的研究，結晶出第一批概念定理。（2）理論概括階段（）理論概括階段（17131811） 瑞士瑞士Jacob Bernouli推測術推測術； 逐漸擺脫了賭徒數(shù)學的氣氛，獲得巨大發(fā)展。逐漸擺脫了賭徒數(shù)學的氣氛，獲得巨大發(fā)展。 （3）系統(tǒng)整理階段（）系統(tǒng)整理階段（18121916） 法國法國Laplace 分析概率論分析概率

4、論 ；切比雪夫不等式切比雪夫不等式 ，大數(shù)定律，中心極限定理等。，大數(shù)定律，中心極限定理等。 由靜態(tài)隨機現(xiàn)象轉入動態(tài)隨機現(xiàn)象。由靜態(tài)隨機現(xiàn)象轉入動態(tài)隨機現(xiàn)象。 （4）公理化體系完成，統(tǒng)計、過程從概率論分離（）公理化體系完成，統(tǒng)計、過程從概率論分離（1917-）應用：應用：生物統(tǒng)計，數(shù)理經(jīng)濟，金融數(shù)學；生物統(tǒng)計，數(shù)理經(jīng)濟，金融數(shù)學；信息論，密碼學，可靠性理論，人工智能；信息論，密碼學，可靠性理論，人工智能； 下面我們就來開始一門下面我們就來開始一門“將不定將不定性數(shù)量化性數(shù)量化”的的課程的學習，這就是課程的學習，這就是緒 論 研究對象：隨機現(xiàn)象研究內(nèi)容：概率論與隨機過程是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)

5、律性(從數(shù)量方面研究其蘊含的必然規(guī)律性)的一門數(shù)學學科。 在個別實驗中呈不確定性，在大量重復實驗中又在個別實驗中呈不確定性，在大量重復實驗中又有規(guī)律的現(xiàn)象。有規(guī)律的現(xiàn)象。 在大量重復試驗或觀察中隨機現(xiàn)象所呈在大量重復試驗或觀察中隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性律性. . 例例1 在英文文章中字母的出現(xiàn)有一定的規(guī)律，那么漢字在英文文章中字母的出現(xiàn)有一定的規(guī)律，那么漢字在中文文章中的出現(xiàn)是否也有規(guī)律在中文文章中的出現(xiàn)是否也有規(guī)律? ? 人們?nèi)绾卫眠@些規(guī)人們?nèi)绾卫眠@些規(guī)律律? ?漢字編碼等漢字編碼等. . 以后有人不斷把它算得更精確以后

6、有人不斷把它算得更精確. . 1873年，英國學者沈克年，英國學者沈克士公布了一個士公布了一個的數(shù)值，它的數(shù)目在小數(shù)點后一共有的數(shù)值，它的數(shù)目在小數(shù)點后一共有707位位之多之多! !例例2 圓周率圓周率= =3.1415926是一個無限不循環(huán)是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我國數(shù)學家祖沖之第一次把它計算到小數(shù)小數(shù)，我國數(shù)學家祖沖之第一次把它計算到小數(shù)點后七位點后七位, ,這個記錄保了這個記錄保了1000多年！多年！你能猜出他懷疑的理由嗎你能猜出他懷疑的理由嗎? ?各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率應都接近于各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率應都接近于0.1, ,或者說，它們出或者說，它們出現(xiàn)的次數(shù)應近似相等現(xiàn)的次數(shù)應近似相等. . 數(shù)字數(shù)

7、字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) 60 62 67 68 64 56 62 44 58 6760 62 67 68 64 56 62 44 58 674444 但是，經(jīng)過幾十年后，曼徹斯特的費林生對它產(chǎn)生但是，經(jīng)過幾十年后，曼徹斯特的費林生對它產(chǎn)生了懷疑了懷疑. . 原因是他統(tǒng)計了原因是他統(tǒng)計了的的608位小數(shù)，得到下面的表位小數(shù)，得到下面的表: :但但7出現(xiàn)的次數(shù)過少出現(xiàn)的次數(shù)過少. . 天有不測風云天有不測風云 和和 天氣可以預報天氣可以預報 有矛盾嗎有矛盾嗎? ? “ “天氣可以預報天氣可以預報”指的是研究者從大量的氣象資料

8、來指的是研究者從大量的氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性. . “ “天有不測風云天有不測風云”指的是隨機現(xiàn)象一次實現(xiàn)的偶然指的是隨機現(xiàn)象一次實現(xiàn)的偶然性性. .第一節(jié) 隨機實驗 隨機事件 樣本空間第二節(jié)事件間的關系與運算第三節(jié)事件的概率第四節(jié) 條件概率第五節(jié)獨立性、貝努利概型 從觀察試驗開始從觀察試驗開始 研究隨機現(xiàn)象，首先要對研究對象進行觀研究隨機現(xiàn)象，首先要對研究對象進行觀察試驗察試驗. 這里的試驗，指的是隨機試驗這里的試驗，指的是隨機試驗. 引入術語。引入術語。第一節(jié) 隨機實驗 隨機事件 樣本空間定義一：定義一：所謂隨機試驗隨機試驗是指具有下面三個特點的試驗：（

9、1）可以在相同的條件下重復進行。（2）每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果。（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)。 隨機試驗在本課中簡稱為試驗，常用E表示。例 ：E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正H、反面T出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。E5：紀錄某同學一段時間內(nèi)接到的短信數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一次，測試它的壽命。E7：紀錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。定義二定義二 在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結果）稱為隨機事件隨機事件。一般用大寫

10、字母A,B,C等表示。例 ：1. “擲得奇數(shù)點”，“擲得點數(shù)6”，“擲得點數(shù)不超過2”等都是隨機事件，將它們依次記為B,C,D。 2.在“測試燈泡壽命”這一試驗中，“燈泡的壽命超過500小時”是一隨機事件，我們可用A表示此事件。 隨機事件分為兩類：（1）基本的結果基本的結果：即最簡單的結果，可直接觀察到。（2）復合的結果復合的結果：由基本的結果組合而成。例定義三定義三 在試驗中,可直接觀察到的結果稱為基本事件基本事件。由基本事件構成的事件稱為復合事件，簡稱事件。特別（1）不可能事件不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事 件，記為。如（2）必然事件必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事件，記為。如必件然事不

11、件可事能下面我們來為隨機試驗建立一個下面我們來為隨機試驗建立一個數(shù)學模型數(shù)學模型我們注意到我們注意到試驗的全部可能結果，是在試驗前就明確的；而且，試驗的全部可能結果，是在試驗前就明確的；而且，每次試驗的結果事先不可預言每次試驗的結果事先不可預言. 現(xiàn)代現(xiàn)代集合論集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具為表述隨機試驗提供了一個方便的工具 .定義四定義四 隨機試驗E的所有基本結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S,或。注釋：1.樣本空間的元素稱為樣本點。全體樣本點的集合稱為樣本空間. 樣本點用e或表示，即S=。一個隨機事件就是樣本空間的一個子集。在一次實驗中，當且僅當一個隨機事件中的某一樣本點出現(xiàn)

12、時，稱這一事件發(fā)生了。如 2.2.討論一個樣本空間中的樣本點的數(shù)目，有三種可能： 有限個，可數(shù)無窮個或不可數(shù)無窮個。 我們把隨機試驗的每個基本結果稱為我們把隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點樣本點，記作，記作e 或或. 全體樣本點的集合稱為全體樣本點的集合稱為樣本空間樣本空間. 樣本空間用樣本空間用S或或表表示示.樣本點樣本點e. S 如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正反面情況，則如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正反面情況，則樣本空間由如下四個樣本點組成：樣本空間由如下四個樣本點組成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T) 樣本空間在如下意義上提供了一個試驗樣本空間在如下

13、意義上提供了一個試驗理想的模型：理想的模型： 在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn)僅有一個樣本點出現(xiàn) .如果試驗是測試某燈泡的壽命：如果試驗是測試某燈泡的壽命：S = t ：t 0故樣本空間故樣本空間 調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結果可以用（結果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分別是煙、酒年支分別是煙、酒年支出的元數(shù)出的元數(shù).樣本空間樣本空間 S = (x , y )| x0, y0 引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本空間的子集引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本空間的子集 .例如，擲一

14、顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)S = i ：i=1,2,3,4,5,6樣本空間：樣本空間：事件事件B：出現(xiàn)奇數(shù)點。出現(xiàn)奇數(shù)點。 B = 1,3,5B發(fā)生當且僅當發(fā)生當且僅當B中的樣本點中的樣本點1，3，5中的某一個出現(xiàn)中的某一個出現(xiàn).3.概率論基本事件等概念與集合論中元素等的對應關系表： 概率論 集合論 記號 樣本點 元素 ei ( i) 基本事件 單元素集 ei 樣本空間 全集 S, () 隨機事件 子集 A 不可能事件 空集 目的目的例 ：寫出E1到E7的樣本空間： 1 1 =H, T=H, T 2 2 =HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,

15、TTH,TTT =HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT 3 3 =0, 1, 2, 3 =0, 1, 2, 3 4 4 =1, 2, 3, 4, 5, 6 =1, 2, 3, 4, 5, 6 5 5 =0, 1, 2, 3, =0, 1, 2, 3, 6 6 =t|t0 =t|t0 7 7 =(x,y)| T =(x,y)| T0 0 xyTxyT1 1 第二節(jié)事件間的關系與運算一事件間的關系及運算：一事件間的關系及運算：1.1.定義定義定義1.若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱B B包含包含A A，記為BA或AB。 若AB且AB則稱事件事件A A與事件

16、與事件B B相等相等，記為AB。 定義2.事件A與B至少有一個發(fā)生是一事件，稱為事件A與B的和事件和事件。記為AB。 用集合表示為: AB=e|eA，或eB 推廣：事件的和可推行至任意有限和可列個事件的和的情況。例 袋中有5個白球，三個黑球，從中任取3個球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球顏色相同”，則C=AB. D= A1 A2 A3 nnkkAAAA211 nkkAAAA211 若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3個球中恰有i個白球”,D表示“取出的3個球中至少有一個白球”，則定義3 稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B的積事件，記為AB或AB，

17、用集合表示為AB=e|eA且eB。 推廣： nnkkAAAA211 nkkAAAA211 例例 在直角坐標系圓心在原點的單位圓內(nèi)任取一點，記錄其坐標，令 2221| ),(nyxyxAn,B表示取到(0,0)點，則 1kkAB定義4 稱“事件A發(fā)生而B不發(fā)生,這一事件為事件A與B的差事件,記為AB,用集合表示為 A-B=e|eA，e B 例例 從1,2,3,N這N個數(shù)字中，任取一數(shù)，取后放回，先后取k個數(shù)(1 k N),令A表示“取出的k個數(shù)中最大數(shù)不超過M”(1 M N), B表示“取出的k個數(shù)中最大數(shù)不超過M-1”，C表示“取出的k個數(shù)中最大數(shù)為M”，則C=A-B,且B B A A定義5

18、如果A，B兩事件不能同時發(fā)生，即AB ，則稱事件A與事件B是互不相容事件互不相容事件或互斥事件互斥事件。推廣推廣 對有限個事件或可列個事件A1，A2，An ，如果對任意ij, Ai Aj,則稱A1，A2，An或A1，A2，An 兩兩互不相容。互不相容。定義6 稱事件“A不發(fā)生”為事件A的逆事件逆事件，記為 。 易見A與滿足：A=,且A=。 一般地，若A，B滿足：AB=，AB稱為A與B互為對立事件對立事件，此時，A為B的逆事件，B為A的逆事件，即A=?逆?逆?逆?逆?逆?逆B,B=。 若A，B互為對立事件，那么在每次試驗中，事件A，B必有一個發(fā)生且僅有一個發(fā)生，顯然 =e|e A，A-B=?逆B

19、A=A-AB。A注意：4.的逆不成立，即A、B互不相容，未必有互不相容，未必有A、B互為對立事件。例相關性質還有： 1. =S-A，S=， =S; 2. 若AB，則B; 3.AB=AB，ABC=ABBC; 4.若A、B互為對立事件，則A、B互不相容?；ゲ幌嗳荨＠?: 袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8的八張卡片中任取一張，設事件為“抽得一張標號不大于的卡片”，事件為“抽得一張標號為偶數(shù)的卡片”，事件為“抽得一張標號為奇數(shù)的卡片”。請用樣本點的集合表示下列事件:,-,-,() 解: 將,表示集合形式為,所以 , (), ,;-,-,例例2:2:A,B,C,D四個事件，用運算關系表示：（

20、1）A,B,C,D至少有一個發(fā)生；（2）都不發(fā)生；（3）都發(fā)生；（4）A,B,C,D恰有一個發(fā)生；（5）至多一個發(fā)生。解:（1）ABCD或（2） 或（3）ABCD或（4）（5）DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBA）（4DCBA 解：在如圖的電路中，信號燈亮當且僅當接點閉合且與中至少有一個閉合，因此由事件的運算，易得 A=B(CD) 信號燈不亮當且僅當斷開或， 都斷 開，故例3: 如圖所示的電路中，以A表示事件“信號燈亮”，B，C，D分別表示事件：繼電器接點，閉合，以B，C，D表示A及。 =B（C D）小結：概率中事件的運算與關系與集合論中集合對照。（見下頁） 事件A

21、發(fā)生導致B也發(fā)生 A是B的子集 A與B相等 A與B相等 A與B不相容 A與B無公共元素 A的對立事件 A的余集 A與B至少有一個發(fā)生 A與B的并集 A與B同時發(fā)生 A與B的交集 A發(fā)生而B不發(fā)生 A與B的差集BA BA ABABABABA記號記號 概率論概率論 集合論集合論事件的和（并）、積（交）、差、對立事件及互不相容事件的和（并）、積（交）、差、對立事件及互不相容（互斥）事件的圖示：（互斥）事件的圖示：BBAABBAABABBAAAABAABABAB 在進行事件的運算時，經(jīng)常要用到下述定律，設A，B，C為事件，則有（1）交換律：AB=BA，AB=BA （2）結合律：A(BC)=(AB)C=

22、ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）德摩根律：BABABABA二、 事件運算的性質：例 設A、B是兩事件，證明(1).B=ABB,且AB與B互不相容；(2). AB=AB ,且A與B互不相容.證明: (1) ABB=(A)B=SB=B, (AB)(B)=(A)B=. (2) AB=AABB=A(ABB)=AB, A(B)=(A)B=.例 試求事件試求事件“甲產(chǎn)品暢銷而乙產(chǎn)品滯銷甲產(chǎn)品暢銷而乙產(chǎn)品滯銷”的對立事的對立事件件BABABA解解 設A：甲產(chǎn)品暢銷甲產(chǎn)品暢銷；B：乙產(chǎn)品暢銷。乙產(chǎn)品暢銷。 則則“甲產(chǎn)

23、品暢銷而乙產(chǎn)品滯銷甲產(chǎn)品暢銷而乙產(chǎn)品滯銷”為為AB ，于是于是小結：小結：事件的關系、運算和運算法則可概括為 四種關系：包含、相等、對立、互不相容； 四種運算：和、積、差、逆； 四個運算法則：交換律、結合律、分配律、對偶律。 對于一個具體事件，要學會用數(shù)學符號表示；反之，對于一個具體事件，要學會用數(shù)學符號表示；反之，對于用數(shù)學符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么對于用數(shù)學符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.也就是說，要正確無誤地也就是說，要正確無誤地“互譯互譯”出來出來.A=兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品A=兩件產(chǎn)品不都是合格品兩件產(chǎn)品不都是合格品在概率論中

24、，常常敘述為：在概率論中，常常敘述為：?AA=兩件產(chǎn)品都是合格品兩件產(chǎn)品都是合格品， 例如，從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況例如，從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況. 記記問：問：A=兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品 兩件產(chǎn)品中都是不合格品兩件產(chǎn)品中都是不合格品它又可寫為兩個互斥事件之和它又可寫為兩個互斥事件之和 (續(xù)續(xù))從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況. 記記 A=兩件產(chǎn)品都是合格品兩件產(chǎn)品都是合格品， 若記若記 Bi =取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品，i=1,2212121BBBBBB21BBA 21

25、BB A=兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品 A=B1B2 問如何用問如何用 Bi 表示表示A和和 ？A 互斥與互逆的區(qū)別：互斥與互逆的區(qū)別： 兩事件兩事件A、B互斥：互斥：AB兩事件兩事件A、B互逆或互為對立事件互逆或互為對立事件即即A與與B不可能同時發(fā)生不可能同時發(fā)生.除要求除要求A、B互斥互斥( )外，還要求外，還要求 ABAB=S n個事件互斥與個事件互斥與 兩兩互斥：兩兩互斥： 若若n個事件個事件A1，A2， ，An中任意兩個事件都互斥中任意兩個事件都互斥,則稱這則稱這n個事件互斥個事件互斥. 所以，若所以，若n個事件互斥，則其中任意兩個事件都互斥個事件互斥

26、，則其中任意兩個事件都互斥. 進一步練習，請繼續(xù)看進一步練習，請繼續(xù)看. 1. A發(fā)生發(fā)生, B與與C不發(fā)生不發(fā)生例例 設設A、B、C為三個事件，用為三個事件，用A、B、C的運算關系的運算關系表示下列各事件表示下列各事件.CBACBA或或2. A與與B都發(fā)生都發(fā)生,而而C不發(fā)生不發(fā)生CBACBA或或3. A、B、C中至少有一個發(fā)生中至少有一個發(fā)生A B C或或CBACBACBACBACBACBA恰有1個發(fā)生恰有2個發(fā)生 ABC3個都發(fā)生4. A、B、C中至少有兩個發(fā)生中至少有兩個發(fā)生 AB BC AC 或或 5. A、B、C都不發(fā)生都不發(fā)生CBACBACBA ABC恰有恰有2個發(fā)生個發(fā)生3個都

27、發(fā)生個都發(fā)生CBACBA或或6. A、B、C中不多于一個發(fā)生中不多于一個發(fā)生CBACBACBACBACACBBA或或 8. A、B、C 中不多于兩個發(fā)生中不多于兩個發(fā)生ABCCBACBACBACBACBACBACBACBA或或或或ABCCBA注意注意二二. 判斷下列命題或運算是否正確判斷下列命題或運算是否正確1.若若A=B, 則則A、B同時發(fā)生或同時發(fā)生或A、B同時不發(fā)生同時不發(fā)生.因為因為A=B意味著意味著ABBA且即即A發(fā)生能推出發(fā)生能推出B發(fā)生，發(fā)生，因為因為ABBA且也即也即BAAB且 即即B不發(fā)生能推出不發(fā)生能推出A不發(fā)生，不發(fā)生， A不發(fā)生能推出不發(fā)生能推出B不發(fā)生不發(fā)生.B發(fā)生能

28、推出發(fā)生能推出A發(fā)生發(fā)生.正確正確BABA2. 事件事件“A、B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”可表為可表為ABBABABAB或BBA因為因為)(AABBA恰有恰有1個發(fā)生個發(fā)生兩個都發(fā)生兩個都發(fā)生AB正確正確 3. P(A)=P(B)的充要條件是的充要條件是A=B.錯誤錯誤反例：反例：在擲骰子試驗中，記在擲骰子試驗中，記A=擲出奇數(shù)點擲出奇數(shù)點 ，B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點 顯然，顯然，P(A)=P(B)，但是，但是，AB. 4. 若若 ，則，則A1 , A2 ,，An 互斥互斥.nAAA21錯誤錯誤注意注意n個事件個事件A1, A2 ,，An互斥的定義是：互斥的定義是： 若若n個事件個事件A1，A2， ，An中任意兩個事件都互斥中任意兩個事件都互斥，則稱這則稱這n個事件互斥個事件互斥. 而而 不能保證不能保證A1 , A2 ,，An中任意兩個事件中任意兩個事件都互斥都互斥.nAAA21 5. 若若A1, A2 ,，An互斥，