大學(xué)物理習(xí)題集

1、例例: :已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：)0t)(m(j)t2(i )1t 2(r32求：求：（1 1）軌跡方程；）軌跡方程；（2 2）t=0（s）至至t=2（s）末的位移末的位移（3 3）t=0（s）至至t=2（s）內(nèi)的平均速度；內(nèi)的平均速度；（4 4）t=0（s）和和t=2（s）時(shí)的瞬時(shí)速度；時(shí)的瞬時(shí)速度；（5 5）t=0（s）至至t=2（s）內(nèi)的平均加速度內(nèi)的平均加速度; ;（6 6）t=2（s）時(shí)的瞬時(shí)加速度。時(shí)的瞬時(shí)加速度。解：解：（1）1x21x2yt2y1t 2x2/332 j8i8j2i 1j6i7rrr0t2t（2）s/mj4i42j8i8trvjt 3i

2、t4dtrdv20vs/mj12i8v022s/mj6i420j12i8tvaj t6i4dtvda22s/mj12i4a（6）（5）（4）（3）0v例：如圖，一人拉著例：如圖，一人拉著繩子的一端在水平面繩子的一端在水平面上以速度上以速度 勻速前進(jìn)。勻速前進(jìn)。求當(dāng)繩子與水平面夾求當(dāng)繩子與水平面夾角為角為 時(shí)，重物上升的時(shí)，重物上升的速度和加速度。速度和加速度。0v22yhxhL00022cosv xdydy dxdyvvvdtdx dtdxxh222300022 3/2sin()v hvdvdv dxdvavdtdx dtdxxhh（1）建立坐標(biāo)系）建立坐標(biāo)系（2）解：解：例：已知一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直

3、線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度為例：已知一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度為 , ,在在t=0t=0的初始時(shí)刻，其位置在的初始時(shí)刻，其位置在x=0 x=0處，速度為處，速度為0 0。試求任意時(shí)。試求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和位置。刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和位置。 解：解： 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋何灰?、速度、加速度等都是矢量位移、速度、加速度等都是矢?，他們隨時(shí)間的變，他們隨時(shí)間的變化關(guān)系，可以分別用沿各坐標(biāo)軸的分量隨時(shí)間的變化關(guān)系來(lái)化關(guān)系，可以分別用沿各坐標(biāo)軸的分量隨時(shí)間的變化關(guān)系來(lái)代替，這樣，代替，這樣，任何一個(gè)多維運(yùn)動(dòng)可以分解為沿各任何一個(gè)多維運(yùn)動(dòng)可以分解為沿各坐標(biāo)軸的分坐標(biāo)軸的分運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)來(lái)研究。來(lái)研究。 2632tta0v

4、,0 x ,0t00t 2t 3tdt)2t6t 3(adtvv23t02t00234t023t00ttt41dt)t 2t 3t (vdtxx由初始條件由初始條件 一維運(yùn)動(dòng)處理問(wèn)題的方法、步驟完全適用于多維運(yùn)動(dòng)。一維運(yùn)動(dòng)處理問(wèn)題的方法、步驟完全適用于多維運(yùn)動(dòng)。例：有一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為例：有一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R=2(m)圓軌道作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道作圓周運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的角時(shí)刻的角位置位置 （弧度），求（弧度），求t=1(s)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。2t2tdtddtd)s/m(2t2Rv)s/m(e2vt)s/m(e2e2a2n2t解：解：， ， )s/m(2t2Ra)s/m(2Ra22

5、222n2tj )t2sin(2i )t2cos(2r22j)t2cos(t2i )t2sin(t2dtrdv221t s/mi2vj)t2cos(2)t2sin(t2i)t2sin(2)t2cos(t2dtvda22222222 )s/m( j2i2a22 另解：另解： : :炮彈相對(duì)炮彈相對(duì)“定系定系”B B的速度，大小的速度，大小 ，方向待求。，方向待求。例：如圖，例：如圖，A艦自北向南以速率艦自北向南以速率v1行駛行駛, ,B艦自南向北以速率艦自南向北以速率v2行駛。當(dāng)兩艦連線(xiàn)與航線(xiàn)垂直時(shí)，行駛。當(dāng)兩艦連線(xiàn)與航線(xiàn)垂直時(shí)，B艦向艦向A艦發(fā)射炮彈，隨后艦發(fā)射炮彈，隨后擊中擊中A艦。炮彈發(fā)射

6、時(shí)的速率為艦。炮彈發(fā)射時(shí)的速率為v0，求發(fā)射方向與航線(xiàn)的夾角，求發(fā)射方向與航線(xiàn)的夾角（忽略炮彈在豎直方向的運(yùn)動(dòng)）。（忽略炮彈在豎直方向的運(yùn)動(dòng)）。解：解：取取B B艦為艦為“定系定系”，A A艦為艦為“動(dòng)系動(dòng)系”，炮彈視為質(zhì)點(diǎn)。，炮彈視為質(zhì)點(diǎn)。建建立如圖所示的坐標(biāo)系。立如圖所示的坐標(biāo)系。ABDADBvvvDBv0v : :炮彈相對(duì)炮彈相對(duì)“動(dòng)系動(dòng)系”A A的速的速度，在度，在A A艦看來(lái)炮彈自東向西艦看來(lái)炮彈自東向西DAv:兩艦相對(duì)速度兩艦相對(duì)速度ABvjvvvvvBAAB)(21012cosvvv120cos()vvv得到圖中的速度矢量三角形得到圖中的速度矢量三角形 海岸海岸ABYXYX1v2

7、vDAvDB0vvABv第二章第二章例：如圖，斜面靜止在地面上，輕繩連接例：如圖，斜面靜止在地面上，輕繩連接m m1 1、m m2 2，已知，已知 時(shí)時(shí)系統(tǒng)保持靜止，系統(tǒng)保持靜止， ， ， 求求t t時(shí)刻時(shí)刻m m1 1、m m2 2的加速度和速度。的加速度和速度。 Nt15t 58 . 9F2kgm410230,1kgm0tamgmTamTgmF1122sin)s/m(t 3tmmsingmgmFa222112t0v0adtdvadtdvdtdva解：解： )/(21)3(3202smttdtttvt例例: : 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l l的的細(xì)線(xiàn)一端固定于天花板，另一端連接質(zhì)量為的的細(xì)線(xiàn)一端固定于天花板

8、，另一端連接質(zhì)量為m m的小球，初始時(shí)細(xì)線(xiàn)與水平方向的夾角為的小球，初始時(shí)細(xì)線(xiàn)與水平方向的夾角為 ，小球靜止，然，小球靜止，然后釋放。不計(jì)空氣阻力。求細(xì)線(xiàn)與水平方向成后釋放。不計(jì)空氣阻力。求細(xì)線(xiàn)與水平方向成 角時(shí)小球的角時(shí)小球的速率速率v v，并表示為，并表示為 的形式。的形式。0 vdtdvmmacosmgtdtdvcosgddvlvddvdtdddvdtdvv0vdvdcosgl00sinsingl2v解：解： 在切線(xiàn)方向上在切線(xiàn)方向上 例：將繩索在木樁上繞例：將繩索在木樁上繞幾圈，只要用很小的力幾圈，只要用很小的力拽住繩的一端，就能使拽住繩的一端，就能使繩索另一端受到極大的繩索另一端受到

9、極大的力。并且繩索能夠固定力。并且繩索能夠固定在木樁上，如圖所示，在木樁上，如圖所示，試說(shuō)明其原因。試說(shuō)明其原因。 解：解： 00TTNf0maxsffNd2/d2/dTTN0fsin()sin022ddNTTdTcos12d略去二階無(wú)窮小量略去二階無(wú)窮小量 NTdSdTN消去消去N得得: :SdTdT100TsTdTdT10sTT e max0sTT e 6若繩在木樁上繞三圈，若繩在木樁上繞三圈， 0.5s05TN4max6.17 10TN2d2dsinNf2dcosT2dcosdTTs0例：如圖，設(shè)所有的接觸面都光滑，求物體例：如圖，設(shè)所有的接觸面都光滑，求物體m 相對(duì)于斜面的相對(duì)于斜面的

10、加速度和加速度和M 相對(duì)于地面的加速度。相對(duì)于地面的加速度。011sincossinMaNmamgNmamgyx aaa0sincos00aaaaayx01010sinsincos) cos(sinMaNmamgNaammg202sincossinsinsin)(mMmgamMgmMa解解1：以地面作參考系：以地面作參考系O0agM1N2N1gma01010sin0sincoscossinMaNmamgNmamamg202sincossinsinsin)(mMmgamMgmMa解解2：討論木塊時(shí)以斜面作為參考系：討論木塊時(shí)以斜面作為參考系例：變質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)量例：變質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)量宇宙飛船以恒速宇

11、宙飛船以恒速 在空間飛行過(guò)程中，空間的粒子流在空間飛行過(guò)程中，空間的粒子流以以 的質(zhì)量變化速率附著在飛船上。塵粒在與飛的質(zhì)量變化速率附著在飛船上。塵粒在與飛船船“碰撞碰撞”之前的速度為之前的速度為 ， 時(shí)刻，飛船的總質(zhì)時(shí)刻，飛船的總質(zhì)量量 ，如圖所示。求保持飛船勻速飛行所必須的外，如圖所示。求保持飛船勻速飛行所必須的外力力 。Vdm dtUt( )M t解：設(shè)解：設(shè) 是是 時(shí)間內(nèi)飛船增加的時(shí)間內(nèi)飛船增加的質(zhì)量。附著在飛船上的塵粒和飛船質(zhì)量。附著在飛船上的塵粒和飛船視為一個(gè)系統(tǒng)視為一個(gè)系統(tǒng) dtdm系統(tǒng)的初動(dòng)量系統(tǒng)的初動(dòng)量 未動(dòng)量未動(dòng)量 動(dòng)量變化動(dòng)量變化 (dPdmVUdtdt)(dmFVUdt

12、)F UdmVtMtP VdmVtMdttP UVdmtPdttPPd例：如圖所示，一輕繩懸掛質(zhì)量為例：如圖所示，一輕繩懸掛質(zhì)量為m m1 1的砂袋靜止下垂，質(zhì)量為的砂袋靜止下垂，質(zhì)量為m m2 2的子彈以速度的子彈以速度v v0 0、傾斜角、傾斜角射入砂袋中不再出來(lái)，求子彈與射入砂袋中不再出來(lái)，求子彈與砂袋一同開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。砂袋一同開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。1m2m0v解：解： 動(dòng)量的豎直分量不守恒動(dòng)量的豎直分量不守恒 動(dòng)量的水平分量守恒動(dòng)量的水平分量守恒 vmmsinvm21022102mmsinvmv例：小游船靠岸的時(shí)候速度已幾乎減為零，坐在船上遠(yuǎn)離例：小游船靠岸的時(shí)候速度已幾乎減為零，坐在

13、船上遠(yuǎn)離岸一端的一位游客站起來(lái)走向船近岸的一端準(zhǔn)備上岸，設(shè)岸一端的一位游客站起來(lái)走向船近岸的一端準(zhǔn)備上岸，設(shè)游人體重游人體重m m1 1=50kg=50kg，小游船重，小游船重m m2 2=100kg=100kg，小游船長(zhǎng)，小游船長(zhǎng)L=5mL=5m，問(wèn)，問(wèn)游人能否一步跨上岸。（水的阻力不計(jì)）游人能否一步跨上岸。（水的阻力不計(jì)）1v1m2m1x2x當(dāng)游客走到船近岸一端時(shí)，游客對(duì)岸行走了距離當(dāng)游客走到船近岸一端時(shí)，游客對(duì)岸行走了距離 ，游，游船對(duì)岸行走了距離船對(duì)岸行走了距離 。1x2x解：解：將游客與游船視作一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向不受外力將游客與游船視作一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向不受外力作用，動(dòng)量

14、守恒。設(shè)游客速度作用，動(dòng)量守恒。設(shè)游客速度v v1 1，游船速度，游船速度v v2 2。 0vmvm2211mLmmmx67. 1510050502112t011dtvxt022dtvx12xLx可得游船已離岸：可得游船已離岸：可見(jiàn)游客要想一步跨上岸是很困難的，最好用纜繩先將船可見(jiàn)游客要想一步跨上岸是很困難的，最好用纜繩先將船固定住，游人再登陸上岸。固定住，游人再登陸上岸。 例：見(jiàn)下圖，一鏈條長(zhǎng)為例：見(jiàn)下圖，一鏈條長(zhǎng)為l l，質(zhì)量，質(zhì)量m m，放在光滑的水平桌面上，放在光滑的水平桌面上，鏈條一端下垂，長(zhǎng)度為鏈條一端下垂，長(zhǎng)度為a a。假設(shè)鏈條在重力作用下由靜止開(kāi)。假設(shè)鏈條在重力作用下由靜止開(kāi)始

15、下滑，求鏈條全部離開(kāi)桌面時(shí)的速度。始下滑，求鏈條全部離開(kāi)桌面時(shí)的速度。 重力重力重力的元功重力的元功重力的功重力的功解解(1)：gxGgxdxlml dGdA222alglmgxdxlmdAAla根據(jù)動(dòng)能定理根據(jù)動(dòng)能定理0212222mvallmgA22allgv解解(2)：根據(jù)功能原理，以桌面為重力勢(shì)能零點(diǎn)根據(jù)功能原理，以桌面為重力勢(shì)能零點(diǎn)2aaglm2llglmmv21222allgv例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為mB的木板靜止在光滑桌面上，質(zhì)量為的木板靜止在光滑桌面上，質(zhì)量為mA的物體放的物體放在木板在木板B的一端，現(xiàn)給物體的一端，現(xiàn)給物體A一初始速度一初始速度 使其在使其在B板上滑動(dòng)，板上滑動(dòng)，

16、如圖如圖(a)(a)，設(shè)，設(shè)A、B之間的摩擦因數(shù)為之間的摩擦因數(shù)為 ，并設(shè)，并設(shè)A滑到滑到B的另一的另一端時(shí)端時(shí)A、B恰好具有相同的速度，恰好具有相同的速度， ，求，求B板的長(zhǎng)度以及板的長(zhǎng)度以及B板走過(guò)的距離。（板走過(guò)的距離。（A可視為質(zhì)點(diǎn)）可視為質(zhì)點(diǎn)），0vBAmm 由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 對(duì)對(duì)B B板應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理板應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 解：解： 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒 vmmvmBAA020vv 2022121vmvMmglmABAAgvL4200212vmxgmBAgvx820mgh)vv(m21MV210MVmv2y2x2x vVvsincosvvVvvyx)sinmM)(mM

17、(cosghmVsinmMgh)mM(2 v222解：解：例：如圖，質(zhì)量為例：如圖，質(zhì)量為m的物體自高度為的物體自高度為h，傾角為，傾角為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的斜面的頂端以零初速滑下，求當(dāng)物體滑到斜面底端時(shí)的速的斜面的頂端以零初速滑下，求當(dāng)物體滑到斜面底端時(shí)的速度。（設(shè)所有的接觸面都光滑）度。（設(shè)所有的接觸面都光滑）這個(gè)例子進(jìn)一步說(shuō)明，角動(dòng)量這個(gè)例子進(jìn)一步說(shuō)明，角動(dòng)量 是依賴(lài)于參考點(diǎn)的選擇的。是依賴(lài)于參考點(diǎn)的選擇的。例例: :質(zhì)量為質(zhì)量為m，大小可忽略的滑塊，以速度，大小可忽略的滑塊，以速度 沿著沿著X軸自軸自由地滑動(dòng)，如圖所示。分別求其繞由地滑動(dòng)，如圖所示。分別求其繞O點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量

18、和繞和繞B點(diǎn)的點(diǎn)的角動(dòng)量角動(dòng)量i vvoLBL解解： i xro0)vm(rLoo或：以或：以B點(diǎn)作原點(diǎn)點(diǎn)作原點(diǎn) kmvlkmvljimvlxkjivmrLBB00000Lklmv)vm(rLBB例：有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)例：有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，太陽(yáng)為力心。設(shè)在時(shí)刻視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，太陽(yáng)為力心。設(shè)在時(shí)刻 和和 ，地球?qū)μ厍驅(qū)μ?yáng)的位矢分別為陽(yáng)的位矢分別為 和和 )(dttr)(trdtt t圖中陰影部分是矢徑在時(shí)間間隔圖中陰影部分是矢徑在時(shí)間間隔 內(nèi)掃過(guò)的面積，因行星內(nèi)掃過(guò)的面積，因行星( (地地球球) )的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒dtvmrdtrdrm|sindrmrdt常量1|s

19、in2dAr dr常量dtdA開(kāi)普勒第二定律開(kāi)普勒第二定律 常矢量常矢量常矢量常矢量在任意相等的時(shí)間里，地球矢徑掃過(guò)的面積相等在任意相等的時(shí)間里，地球矢徑掃過(guò)的面積相等第三章第三章例：如圖所示，一正方形邊長(zhǎng)為例：如圖所示，一正方形邊長(zhǎng)為l，它的四個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)，它的四個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)量為量為m的質(zhì)點(diǎn)，求此系統(tǒng)對(duì)（的質(zhì)點(diǎn)，求此系統(tǒng)對(duì)（1 1）z1軸；（軸；（2 2）z2軸；（軸；（3 3）z3軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解：(1)對(duì)對(duì)z z1 1軸軸 22224mllmrmIii(2)對(duì)對(duì)z z2 2軸軸 22mlI (3)對(duì)對(duì)z z3 3軸軸2222224mllmrmIii1Z2Z3Z例

20、：求長(zhǎng)為例：求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，dm= dxdmrI2CdmrI2A3/mLdxx2L0212/mLdxx22L2L2例、求質(zhì)量為例、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。解解: :dmrI2I是可加的，所以若為薄圓筒是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)（不計(jì)寬寬度）結(jié)果相同。度）結(jié)果相同。222mRdmRdmRROdmROdm例：有一質(zhì)量均勻分布的圓環(huán)，半徑為例：有一質(zhì)量均勻分布

21、的圓環(huán)，半徑為R R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m，求，求圓環(huán)對(duì)過(guò)圓環(huán)直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圓環(huán)對(duì)過(guò)圓環(huán)直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。OddlRrdl)sinr(dmrI22202222mRRdsinRI解解：一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，半徑為，半徑為R、厚為厚為l的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。rdrRrdr2dmdmrdI2R03drr2I24212mRRO取半徑為取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán)可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是也是mR2/2。例：均勻球體對(duì)

22、過(guò)直徑的轉(zhuǎn)軸的例：均勻球體對(duì)過(guò)直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：取距離中心為解：取距離中心為r r的一個(gè)圓盤(pán)，的一個(gè)圓盤(pán)，它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：)cosR(d)sinR(R34m)sinR(21dzrr2/1dmr2/1dI232222)(cosd)coscos21(mR83I4220zrdzR2mR52剛體形狀剛體形狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)棒細(xì)棒中垂軸中垂軸細(xì)棒細(xì)棒一端的垂直軸一端的垂直軸圓柱體圓柱體幾何對(duì)稱(chēng)軸幾何對(duì)稱(chēng)軸薄圓環(huán)薄圓環(huán)幾何對(duì)稱(chēng)軸幾何對(duì)稱(chēng)軸薄圓環(huán)薄圓環(huán)任意直徑為軸任意直徑為軸圓盤(pán)圓盤(pán)幾何對(duì)稱(chēng)軸幾何對(duì)稱(chēng)軸圓盤(pán)圓盤(pán)任意直徑為軸任意直徑為軸球體球體任意直徑為軸任意直

23、徑為軸圓筒圓筒幾何對(duì)稱(chēng)軸幾何對(duì)稱(chēng)軸常常見(jiàn)見(jiàn)剛剛體體的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量2121mlI 231mlI 221mRI 222121RRmI221mRI 2mRI 221mRI 241mRI 252mRI 例：右圖所示，剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端例：右圖所示，剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？計(jì)算？( (棒長(zhǎng)為棒長(zhǎng)為L(zhǎng) L、球半徑為、球半徑為R R）2L1LLm31I2ooRm52I 2002002L)RL(mIdmII2o2o2L)RL(mRm52Lm31ILmOm解：解：例：如圖，例：如圖， 、 、 和和 都已知，繩子與滑都已知，繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求輪間無(wú)相對(duì)

24、滑動(dòng)，求 、 的加速度。的加速度。m2m1圖136(a)RMgm11Tgm22TR1T2TgMQ圖136(b)2/,2212122111MRIRaIRTRTamgmTamTgm2/)(2121Mmmgmma解：解：1m2mMR1m2m碰到滑輪問(wèn)題，一般取一順的方向碰到滑輪問(wèn)題，一般取一順的方向例：如圖，質(zhì)量為例：如圖，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒繞過(guò)的均勻細(xì)棒繞過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸自水平點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸自水平位置以零角速度自由下擺位置以零角速度自由下擺，(1)求細(xì)棒運(yùn)動(dòng)到與水平夾角為求細(xì)棒運(yùn)動(dòng)到與水平夾角為 時(shí)時(shí)的角加速度和角速度的角加速度和角速度;(2);(2)此時(shí)細(xì)棒末端此時(shí)細(xì)棒末端A A的速度和加速

25、度。的速度和加速度。解解:(1):(1) 桿受到的重力矩等于桿上各質(zhì)桿受到的重力矩等于桿上各質(zhì)點(diǎn)受到的重力矩之和點(diǎn)受到的重力矩之和lAgdmCrdrcoslmgcosgrlmdrcosgrdmdM桿受到的總重力矩：桿受到的總重力矩：cosmgl21rdrcoslmgMl0和把桿看成受到作用于重心的重力和把桿看成受到作用于重心的重力 計(jì)算結(jié)果相同計(jì)算結(jié)果相同gmgmdddtddddtdsin3gllvsing3la2/cosg3la2nt(2)lgmllMg2cos331cos22lsing300dl 2cosg3ddl 2cosg3ddlAgmC例例: : 如圖，已知：如圖，已知： ， ， ，

26、 且且 ，t=0時(shí)系統(tǒng)保持靜止，求時(shí)系統(tǒng)保持靜止，求t時(shí)時(shí)m1的的速度。速度。IvRmvRmRdt)singmgmF(21t012)s/m(tt21141dt)t18t6(2/Mmmdt)singmgmF(v32t0221t0122/MRI,Rv2kgm41kgm12kgM2030)(1868 . 92NttF解：解：m2 m1FRM圖163lAgmC（2） sin3gllvsin32/cos32glaglanl 2cosg3dddtddddtd例：如圖，質(zhì)量為例：如圖，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA自水平位置以零初自水平位置以零初速自由下擺，求速自由下擺，求(1)(1)細(xì)棒擺

27、到某一角位置細(xì)棒擺到某一角位置 時(shí)，細(xì)棒的角速度時(shí)，細(xì)棒的角速度和角加速度，和角加速度，(2)(2)細(xì)棒末端細(xì)棒末端A A的線(xiàn)速度和線(xiàn)加速度。的線(xiàn)速度和線(xiàn)加速度。解：解：sin21cos200mgldlmgdMA222k0k)ml31(21I21E,0E0kkEEAlg/sin3（1）由由得：得：（2）例：如圖，滑輪質(zhì)量為例：如圖，滑輪質(zhì)量為M M，半徑為，半徑為R，物體質(zhì)量，物體質(zhì)量m，彈簧倔強(qiáng)，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)系數(shù)k，斜面傾角，斜面傾角 均為已知。開(kāi)始時(shí)扶住物體均為已知。開(kāi)始時(shí)扶住物體m，使系統(tǒng)保持，使系統(tǒng)保持靜止，彈簧無(wú)伸縮，然后放開(kāi)。求靜止，彈簧無(wú)伸縮，然后放開(kāi)。求(1)(1)物體下滑距離

28、為物體下滑距離為x時(shí)的時(shí)的速度為多少？速度為多少？(2)(2)物體下滑的最大距離為多大？（設(shè)繩子與滑物體下滑的最大距離為多大？（設(shè)繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）(3)(3)下滑距離下滑距離x為多大時(shí)，物體的速度為最為多大時(shí)，物體的速度為最大，最大速度為多少？大，最大速度為多少？2/Mmkxsinmgx2v2解：解：2222MR21IRvsinmgxkx21I21mv210k/2/Mmsinmgv,ksinmgx0dxdvmaxmxxmkmgxvxxsin20maxmax1）2）3）例：如圖，長(zhǎng)為例：如圖，長(zhǎng)為l l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M M的均勻細(xì)棒可饒過(guò)的均勻細(xì)棒可饒過(guò)O O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在

29、豎點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m m的質(zhì)點(diǎn)以初速的質(zhì)點(diǎn)以初速v v0 0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度后兩者一起上擺。求碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度 ，兩兩者一起上擺的最大角度者一起上擺的最大角度 。（2）上升過(guò)程，機(jī)械能守恒，以上升過(guò)程，機(jī)械能守恒，以O(shè) O為重力勢(shì)能零點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn) cos2lMgcosmgl2lMgmgl)3Mlml(21222gl)Mm2)(Mm3(vm31cos202lMmmv)3

30、(30解：（解：（1 1）碰撞時(shí)，角動(dòng)量守恒碰撞時(shí)，角動(dòng)量守恒)3/(220Mlmllmv R車(chē)輪上任意一點(diǎn)的速度：車(chē)輪上任意一點(diǎn)的速度：Cvrv例：車(chē)輪的純滾動(dòng)例：車(chē)輪的純滾動(dòng)RacdxoABdAoBRddx RdtdRdtdxvc地心心輪地輪vvvRvc柯尼希定理：柯尼希定理：剛體的動(dòng)能等于剛體的動(dòng)能等于質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與與對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)動(dòng)能之和之和222121CCkImvECvBRGARGRABARBRG點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度0GCvvr B點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度2BCCvvRvA點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度22()2ACCvvRvCvrvGR例：一根質(zhì)量為例：一根質(zhì)量為 ，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)

31、度為 的勻質(zhì)的勻質(zhì)細(xì)桿，最初豎立在無(wú)摩擦的桌面上，細(xì)桿，最初豎立在無(wú)摩擦的桌面上，并由此位置開(kāi)始傾倒，如圖所示試并由此位置開(kāi)始傾倒，如圖所示試求質(zhì)心的速率求質(zhì)心的速率 隨其位置變化的關(guān)系隨其位置變化的關(guān)系式式mlOyCx解解:22k1122CCEmvI機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 221111d2222dCClmgymgmvIt質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心坐標(biāo)為cos2yl ddsind2dCylvtt 222222244ddsin4CCvvtlly212CIml求得求得: : 22223()(4)4(3)Cly glyvlycv例：討論一勻質(zhì)實(shí)心的圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)。例：討論一勻質(zhì)實(shí)心的圓柱體在斜面上的

32、運(yùn)動(dòng)。Ngmfxy解：解：rCfmgmaxsincosmgN0rfIr221mrI 圓柱體下降時(shí)沒(méi)有滑動(dòng)，只在斜面上作純滾動(dòng)圓柱體下降時(shí)沒(méi)有滑動(dòng)，只在斜面上作純滾動(dòng) rgsin32sing32axC，sin31mgfr如果這圓柱體從靜止開(kāi)始沿斜面滾下一段距離如果這圓柱體從靜止開(kāi)始沿斜面滾下一段距離x x， gh34singx34xa2vxC2gh34v ra 本題也可用機(jī)械能守恒定律討論。圓柱體在斜面上作純粹本題也可用機(jī)械能守恒定律討論。圓柱體在斜面上作純粹滾動(dòng)下落時(shí)，所受到的滾動(dòng)下落時(shí)，所受到的斜面的摩擦力和正壓力都不作功斜面的摩擦力和正壓力都不作功，滿(mǎn)，滿(mǎn)足機(jī)械能守恒的條件。圓柱體從靜止?jié)L

33、下，它沒(méi)有初動(dòng)能，足機(jī)械能守恒的條件。圓柱體從靜止?jié)L下，它沒(méi)有初動(dòng)能，只有重力勢(shì)能只有重力勢(shì)能mgh，當(dāng)它滾動(dòng)下降這段高度時(shí)，全部動(dòng)能是當(dāng)它滾動(dòng)下降這段高度時(shí)，全部動(dòng)能是221122CkCEmvI 純滾動(dòng)純滾動(dòng): : 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒: :求得求得:2Cmr21I43Cvgh和以前的結(jié)果完全一致。和以前的結(jié)果完全一致。mghEKrvC例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均質(zhì)圓的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線(xiàn)與水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線(xiàn)與圓柱中心軸線(xiàn)的垂直距離為圓柱中心軸線(xiàn)的垂直距離為l，如圖，如圖。求質(zhì)心的加速度和

34、圓柱所受的靜。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。摩擦力。解：設(shè)靜摩擦力解：設(shè)靜摩擦力f f的方向如圖所示的方向如圖所示CFfma圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：CFlfRI純滾動(dòng)條件：純滾動(dòng)條件：RaC圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： FaC212CImRlf由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：mR3)lR(F2aCFR3l 2Rf由此可見(jiàn)：由此可見(jiàn)：l0, 靜摩擦力向后靜摩擦力向后 lR/2, f0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出振動(dòng)方程為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出振動(dòng)方程, ,并計(jì)算振動(dòng)頻率。并計(jì)算振動(dòng)頻率。XOmx 確定平衡位置，確定平衡位置，mg=k l取為原點(diǎn)取為原點(diǎn) k=mg/ l )t

35、cos(Ax0s/rad10098.08 .9lgmk解：解：令向下有位移令向下有位移x x, , 則：則：f=mg-k( l+x)=-kx作諧振動(dòng)作諧振動(dòng)設(shè)振動(dòng)方程為：設(shè)振動(dòng)方程為：由初始條件得由初始條件得,0)xv(arctg000m098. 0)v(xA2020由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,- /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0) cos(tAx ) cos(t12. 0 xm由初始條件由初始條件用解析法用解析法求初相求初相 3cos21 0sinAv03 0)0sin(0Avcos 12.

36、006. 0由由A由初始條件由初始條件用旋轉(zhuǎn)矢量法用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相求初相 當(dāng)當(dāng)t = 0時(shí)時(shí), , 位移為位移為6 cm，且向，且向 x 軸正軸正方向運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)OxA/233 振動(dòng)表達(dá)式為振動(dòng)表達(dá)式為 mtx)3cos(12.0 （2） t = 0.5 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度1ms dd189. 0)3tsin(12. 0txv5 . 0t5 . 0t5 . 0tm 104. 0)3tcos(12. 0 x5 . 0t5 . 0t25 . 0t25 . 0t5 . 0t103. 0)3tcos(12. 0tvams ddyx34（3 3）質(zhì)點(diǎn)從）質(zhì)點(diǎn)從 x

37、 = - 6 cm 向向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間衡位置所需要的時(shí)間。3223 x = - 6 cm s s 83. 0653223t1兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) 1 在在 x1 = A/2 處，處，向向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2 2 在在 x2 = 0 處，向處，向x 軸正方向運(yùn)動(dòng)。求這兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位軸正方向運(yùn)動(dòng)。求這兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差。差。Ox31 22 65) 2 (3 21質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)2的振的振動(dòng)動(dòng)

38、65 例：一輕彈簧的勁度系數(shù)為例：一輕彈簧的勁度系數(shù)為 ，其下端懸有一質(zhì)量為，其下端懸有一質(zhì)量為 的盤(pán)的盤(pán)子?，F(xiàn)有一質(zhì)量為子?，F(xiàn)有一質(zhì)量為 的物體從離盤(pán)底為高度的物體從離盤(pán)底為高度 處自由下落到處自由下落到盤(pán)中并和盤(pán)子粘在一起，于是盤(pán)子開(kāi)始振動(dòng)。若以物體落到盤(pán)中并和盤(pán)子粘在一起，于是盤(pán)子開(kāi)始振動(dòng)。若以物體落到盤(pán)底時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)、以物體落到盤(pán)子后的平衡位置為坐標(biāo)原盤(pán)底時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)、以物體落到盤(pán)子后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)、以向下為點(diǎn)、以向下為 軸正向，求盤(pán)子的振動(dòng)方程。軸正向，求盤(pán)子的振動(dòng)方程。kxhmM解：令解：令 與與 系統(tǒng)處于平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正方系統(tǒng)處于平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正

39、方向向mMOx0 x由動(dòng)量守恒由動(dòng)量守恒 它們共同振動(dòng)的周期它們共同振動(dòng)的周期 未下落時(shí)未下落時(shí) 1kxMg 與與 處于平衡位置處于平衡位置m)()(21xxkgMmV)Mm(mVgh2V kMmT2MmkT220 xxM自由下落自由下落Vv0初始條件初始條件 0t 20 xxMmgh2mVV0g)mM(kh21kmgVxA22020g)Mm(kh2xVtan00由于由于 00 x0V0)23,(gmMkharctg)(2振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為 gmMkharctgtmMkgmMkhkmgx)(2cos)(211A例：兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(xiàn)（如圖所示）例：兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(xiàn)（如圖所示）1

40、 1、求合振動(dòng)的振幅。、求合振動(dòng)的振幅。2 2、求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。、求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。12AAA解解2A1AxT)(1tx)(2txt兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)同方向，同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)同方向，同頻率 = 2 / T ，反相反相合振動(dòng)振幅合振動(dòng)振幅合振動(dòng)初相合振動(dòng)初相22AA合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式)2tT2cos(AAx1226cosAA2AAA12122A1A6兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm20cm，與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為 。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為為 ，求：，求：1 1、第二個(gè)振

41、動(dòng)的振幅；、第二個(gè)振動(dòng)的振幅；2 2、兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)、兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差。的相位差。61cm 310cm106sinAsinA216sin10206sinAAsin2212122Ax3n0)cos21(B)2/sin()2/sin(B)2/sin()2/3sin(aA例如：當(dāng)例如：當(dāng)例：例：2tT4cosA2t2cosAx112tT2cosA2tcosAy12txy8T1A2A228T202A8T31A2A228T4008T51A2A228T602A8T71A2A22T00000可以將上式看成是可以將上式看成是 關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間 的參數(shù)方程的參數(shù)方程y, xT即：即：0, 1:2:1221解：

42、弱阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：解：弱阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：)tcos(Aext其中其中2202， 為振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率為振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率0由題意：由題意：3/11AeAeTtt3lnT 3ln2T213ln22220所以：所以：%49. 113ln23ln213ln22200第八章第八章例：例： 容器中儲(chǔ)有容器中儲(chǔ)有標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氫氣。求：標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氫氣。求：（1 1）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能、平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和平均動(dòng)能；）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能、平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和平均動(dòng)能；（2 2）系統(tǒng)的內(nèi)能）系統(tǒng)的內(nèi)能。)(100 . 43kg解：解：（1）標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下）標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氫氣可以看成剛性雙原子分子氫氣可以看成剛性雙原子

43、分子)J(1065. 5kT23kT2t21kt)J(1077. 3kTkT2r21kr)(1042. 92521JkTk（2） )J(1013. 1RTMm25RT25RT2iU45i ,0s ,2r , 3t例：已知某種理想氣體，在例：已知某種理想氣體，在 ， 時(shí)，內(nèi)時(shí)，內(nèi)能能 ，問(wèn)它是單原子、雙原子或多原子分子理想氣，問(wèn)它是單原子、雙原子或多原子分子理想氣體中的哪一種？體中的哪一種？ 1patm44.8Vl解：解：因?yàn)橐驗(yàn)槿菀卓闯鏊菃卧臃肿永硐霘怏w。容易看出它是單原子分子理想氣體。J6807U PV2iU 3108 .4410013. 168072PVU2i35例例: :就就質(zhì)量而言，空氣是由質(zhì)量而言，空氣是由76%的的N2，23%的的O2和和1%的的Ar三種三種氣體組成，它們的分子量分別為氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40?？諝獾哪栙|(zhì)量空氣的摩爾質(zhì)量為為28.9 10-3kg，試計(jì)算，試計(jì)算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。解解: : 1mol空氣空氣中中N2質(zhì)量質(zhì)量kg101 .22%76109 .28M331摩爾數(shù)摩爾數(shù)mo