平面匯交力系與平面力偶理論

1、2 21 平面匯交力系合成和平衡的幾何法平面匯交力系合成和平衡的幾何法 22 平面匯交力系合成和平衡的解析法平面匯交力系合成和平衡的解析法 23 力對點的矩力對點的矩 24 平面力偶理論平面力偶理論 3一、合成的幾何法一、合成的幾何法1.1.兩個共點力的合成兩個共點力的合成21FFR42. 平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成將各力沿作用線移至匯交點；將各力沿作用線移至匯交點； 應(yīng)用力的應(yīng)用力的求出力系的合力。求出力系的合力。將力系中各力首尾相接，由第一個力將力系中各力首尾相接，由第一個力的始端向最后一個力的末端作一矢量的始端向最后一個力的末端作一矢量 ，該矢量即為力系的，該矢量即為力系的合力

2、。合力。RF1F2F3F4R12R123R5 21FFRFR二、平衡的幾何法二、平衡的幾何法平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：0F 力多邊形封閉時，力系的合力等于零。因此，平面匯交力多邊形封閉時，力系的合力等于零。因此，平面匯交力系平衡的幾何條件是：力系平衡的幾何條件是：。,2112FFR,321123FFFR6一、力在坐標(biāo)軸上的投影一、力在坐標(biāo)軸上的投影 幾何法用于理論分析極為方便，但用于計算并不方便，幾何法用于理論分析極為方便，但用于計算并不方便，工程上計算多用工程上計算多用。所謂解析法就是投影分析法。所謂解析法就是投影分析法。XxabyabYF 將力

3、的始端和末端向坐標(biāo)軸引垂線，兩垂足間的一段稱將力的始端和末端向坐標(biāo)軸引垂線，兩垂足間的一段稱為力在軸上的投影。為力在軸上的投影。OcosFX cosFY 7 投影為代數(shù)量，當(dāng)力的始端、末端投影的垂足投影為代數(shù)量，當(dāng)力的始端、末端投影的垂足 與與坐標(biāo)軸方向一致，投影為正，反之為負。投影的單位與力的坐標(biāo)軸方向一致，投影為正，反之為負。投影的單位與力的單位相同。單位相同。ba 顯然，投影的顯然，投影的大小與分力的大小相同（大小與分力的大小相同（ ），投影為正，分），投影為正，分力與坐標(biāo)軸同向；投影為負，分力與坐標(biāo)軸反向。力與坐標(biāo)軸同向；投影為負，分力與坐標(biāo)軸反向。FyxFF ,yxFYFX,將力將力

4、 沿直角坐標(biāo)軸分解為分力沿直角坐標(biāo)軸分解為分力 。XxabyabYFo8 盡管投影的大小和正負號能反映分力的大小和方向，但盡管投影的大小和正負號能反映分力的大小和方向，但投影和分力還是有本質(zhì)的差別。因投影是代數(shù)量，分力是矢投影和分力還是有本質(zhì)的差別。因投影是代數(shù)量，分力是矢量。當(dāng)坐標(biāo)軸不垂直時，投影與分力的上述關(guān)系不復(fù)存在。量。當(dāng)坐標(biāo)軸不垂直時，投影與分力的上述關(guān)系不復(fù)存在。xFyFFXYxyoo3030NF100 xy 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：求力求力 在坐標(biāo)軸上在坐標(biāo)軸上的投影和沿坐標(biāo)軸分解的分力。的投影和沿坐標(biāo)軸分解的分力。F9o3030NF100 xyxFyFXYNFX35030cosNF

5、Fx310030cos2力在軸上的投影力在軸上的投影力沿軸的分力力沿軸的分力NFFy100NFY5060cos10二、合力投影定理二、合力投影定理 由力多邊形的幾何關(guān)系可由力多邊形的幾何關(guān)系可以看出，合力在坐標(biāo)軸上的投以看出，合力在坐標(biāo)軸上的投影影 與各分力在坐標(biāo)與各分力在坐標(biāo) 軸軸上上投影的投影的關(guān)系關(guān)系分別為：分別為： XXXXXRx4321YYYYYRy4321YRXRyx即 合力投影定理：合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一同一 軸上投影的代數(shù)和。軸上投影的代數(shù)和。yxRR ,11,tgxyRRXYRRxy11tgtg過力系的匯交點過力

6、系的匯交點四、平面匯交力系平衡的解析法四、平面匯交力系平衡的解析法 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。零。即：00YX三、平面匯交力系合成的解析法三、平面匯交力系合成的解析法合力的大?。汉狭Φ拇笮。汉狭Φ姆较颍汉狭Φ姆较颍汉狭ψ饔镁€：合力作用線：12 上式為兩個上式為兩個，可解兩個未知量。，可解兩個未知量。平衡問題的解題步驟：平衡問題的解題步驟：畫受力圖；畫受力圖；取研究對象（取分離體）；取研究對象（取分離體）；（選投影軸）列平衡方程；（選投影軸）列平衡方程；解方程求未知量。解方程求未知量。例例1 圖示結(jié)構(gòu)中，已知力圖示結(jié)構(gòu)中，

7、已知力 P=2kN，求鉸求鉸A的的約束反力和桿約束反力和桿CD 受力。受力。解：取桿解：取桿AB為研究對象；為研究對象；畫受力圖；畫受力圖；13, 0X, 0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP解得：解得：kN 24. 4tg45 cos45 sin00PSCDkN 16. 3 cos45 cos0CDASR103cos,101sin14例例2圖示系統(tǒng)，已知圖示系統(tǒng)，已知P、Q， 求平衡求平衡時時 = =？地面對圓柱？地面對圓柱A A的反力的反力ND= =？解解：取取圓柱圓柱A A為為研究對象，受力如圖。研究對象，受力如圖。060 212cos21PPTT由得由得0

8、X0cos12TT0Y0Qsin2DNTPP-TND3Q60sin2Qsin-Q02由得由得15dFFMO)(一、力對點的矩一、力對點的矩 力使物體繞一點轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量力使物體繞一點轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度稱為度稱為力對點的矩力對點的矩，平面力對點的，平面力對點的矩為代數(shù)量。即矩為代數(shù)量。即 使物體逆時針轉(zhuǎn)動力矩為正，使物體逆時針轉(zhuǎn)動力矩為正，順時針轉(zhuǎn)動力矩為正。順時針轉(zhuǎn)動力矩為正。力臂力臂)(FMO16lOAFlOAFdxFyFsin)(FldFFmo求圖示力求圖示力 對對O的力矩。的力矩。F例例1解法解法1：解法解法2：lFFmFmFmFmyoyxoosin)()()()(解法解法2稱為稱為： 合力對

9、某點的矩等于其分力對合力對某點的矩等于其分力對同一點的矩的代數(shù)和。同一點的矩的代數(shù)和。 當(dāng)合力的力臂不好確定，而分力的力臂容易確定時，應(yīng)當(dāng)合力的力臂不好確定，而分力的力臂容易確定時，應(yīng)用用17例例2圖示輪軸，輪與軸的半徑圖示輪軸，輪與軸的半徑R、r已知，力已知，力 與軸相切，與軸相切，試求力試求力 對對O點的力矩。點的力矩。CORrFFxFyFbaFbFaFFmFmFmxyxoyoo)()()(sinFFxcosFFycosra sinrRb)sin()(RrFFmo解：解：18課堂練習(xí)課堂練習(xí)OABPab434m5mABCDNP100求力求力 對對O點的力矩。點的力矩。P求力求力 對對A、B

10、、C、D點的力矩。點的力矩。P19OABPab434m5mABCDkNP5cossincossin)(PbPabPaPPmomkNPmA84354)(mkNPmB1243)(0)(PmCmkNPmD2054)(20一、基本概念一、基本概念 兩個大小相等，方向相反，作用線不同的平兩個大小相等，方向相反，作用線不同的平行力稱之為行力稱之為兩力作用線間的距離稱為兩力作用線間的距離稱為 組成力偶的兩個力不能合成合力，其組成力偶的兩個力不能合成合力，其作用效應(yīng)與力不同，力偶與力一樣都是組作用效應(yīng)與力不同，力偶與力一樣都是組成力系的基本元素。成力系的基本元素。FFd 力偶對物體的作用效應(yīng)力偶對物體的作用效

11、應(yīng)是使物體轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度稱為是使物體轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度稱為。力偶臂力偶臂21FFd力偶對物體作用的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：力偶對物體作用的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：力偶的作用面；力偶的作用面； 力偶的轉(zhuǎn)向；力偶的轉(zhuǎn)向； 力偶矩的大小。力偶矩的大小。 位于同一平面內(nèi)的力偶稱為位于同一平面內(nèi)的力偶稱為，平面力偶的作用，平面力偶的作用效應(yīng)只取決于力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小。因此，平面力偶效應(yīng)只取決于力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小。因此，平面力偶的力偶矩可用代數(shù)量來描述，即的力偶矩可用代數(shù)量來描述，即Fdm 力偶逆時針轉(zhuǎn)向，力偶矩為正；順時力偶逆時針轉(zhuǎn)向，力偶矩為正；順時針轉(zhuǎn)向，力偶矩為負。針轉(zhuǎn)向，力偶矩為負。 兩力偶

12、的力偶矩相等，則此二力偶等兩力偶的力偶矩相等，則此二力偶等效，稱為效，稱為。22 只要保持力偶的力偶矩不變，可以任意改變力偶中只要保持力偶的力偶矩不變，可以任意改變力偶中力和力偶臂的大小，而不改變它對剛體的作用效應(yīng)。力和力偶臂的大小，而不改變它對剛體的作用效應(yīng)。三、力偶的等效變換三、力偶的等效變換 力偶可以在作用面內(nèi)任意移動，而不改變它對剛體的力偶可以在作用面內(nèi)任意移動，而不改變它對剛體的 作用效應(yīng)。作用效應(yīng)。4kN5kN5m4m5kNm=20kNm4kN=23 力偶對所在平面內(nèi)任一點的矩恒等于力偶矩。力偶對所在平面內(nèi)任一點的矩恒等于力偶矩。二、力偶的特點二、力偶的特點 力偶在任何軸上的投影都

13、等于零。力偶在任何軸上的投影都等于零。xFdxFFmFmOO)() ()(mdFFFdOxAB在力偶的作用面內(nèi)任取一點在力偶的作用面內(nèi)任取一點O，則則 力偶中的兩個力不能合成合力，力偶中的兩個力不能合成合力，因此不能與力等效，也不能用力來平衡因此不能與力等效，也不能用力來平衡，只能用力偶來平衡。，只能用力偶來平衡。對畫受力圖極為有用。對畫受力圖極為有用。24四、平面力偶系的合成與平衡四、平面力偶系的合成與平衡平面力偶系：平面力偶系：作用在同一平面內(nèi)的若干個力偶組成的力系。作用在同一平面內(nèi)的若干個力偶組成的力系。平面力偶系的合成平面力偶系的合成1d1F1F2d2F2FdPPQQdABBARR11

14、1mdF222mdF1mdP2mdQQPRQPR21)(mmdQdPdQPdRM=25 平面力偶系平衡的必要充分條件是平面力偶系平衡的必要充分條件是: :各力偶的力偶矩的各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即代數(shù)和等于零。即 niinmmmmM12101niim 平面力偶系可以合成一個合力偶平面力偶系可以合成一個合力偶, ,合力偶的力偶矩等于合力偶的力偶矩等于各力偶的力偶矩的代數(shù)和各力偶的力偶矩的代數(shù)和。即即26例例1畫圖示結(jié)構(gòu)整體及各桿件的受力圖，凡約束反力作用線畫圖示結(jié)構(gòu)整體及各桿件的受力圖，凡約束反力作用線能確定者不得畫成兩個垂直分力。能確定者不得畫成兩個垂直分力。mABCDEARCR整體受力圖整體受力圖27ACDEmBDBEARCRBRDRDRBRERER28例例2求圖示結(jié)構(gòu)支座求圖示結(jié)構(gòu)支座A，B，D的約束反力。的約束反力。ABCD2m2m2m2mmkN