正交試驗的方差分析

1、正交試驗的方差分析方志光2009-4-26第一節(jié)：正交設(shè)計方差分析的步驟第二節(jié)：3水平正交設(shè)計的方差分析第三節(jié)：2水平正交設(shè)計的方差分析第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析第五節(jié)：擬水平法的方差分析第六節(jié)：重復(fù)試驗的方差分析正交試驗的方差分析計算離差的平方和:設(shè)用正交表安排m個因素的試驗，試驗總次數(shù)為n, 試驗的結(jié)果分別為x1, x2, , xn. 假定每個因素有na個水平，每個水平做a次試驗，則 n = ana.第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟1) 總離差的平方和ST記記為 其中ST反映了試驗結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗的結(jié)果之間的差異越大。試驗結(jié)果之所以有差異，一是由因素水平的變化所引起

2、的，二是因為有試驗誤差。第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟nkkxnx11211212)(1)(nkknkknkkTxnxxxSPQSTTnkkTxQ1221)(1nkkxnP2) 各因素離差的平方和以因素A的離差的平方和SA為例來說明。用xij表示因素A的第 i 個水平 的 第 j 個 試驗的結(jié)果 (i = 1, 2, , na; j = 1, 2, , a)，則有由單因素的方差分析記為 其中Ki 表示因素的第i 個水平a次試驗結(jié)果的和。SA 反映了因素A對試驗結(jié)果的影響。用同樣的方法可以計算其它因素和交互作用的離差平方和。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之

3、和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟aninkkajijxx1112112112112)(11)(1)(1nkkniininiajijajijAxnKaxnxaSaaaPQSAAaniiAKaQ121ajijixK13) 試驗誤差的離差的平方和SE設(shè)S因+交為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因為 ST = S因+交 + SE, 所以 SE = ST - S因+交計算自由度:試驗的總自由度 f總 = 試驗總次數(shù) - 1 = n - 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) - 1 = na - 1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的

4、自由度之積fAxB = fA X fB試驗誤差的自由度fE = f總 - f因+交第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟計算平均離差平方和(均方):在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們都是若干項平方的和, 它們的大小與項數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項數(shù)的影響，我們計算它們的平均離差的平方和。因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因試驗誤差的平均離差平方和 = (試驗誤差的離差的平方和)/試驗誤差的自由度 = SE / fE求F比:將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出F值。這個比值的大小反映了各因素對試驗結(jié)果影響程度的大小

5、。第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟對因素進(jìn)行顯著性檢驗:給出檢驗水平，從F分布表中查出臨界值F(f因，fE)。將在“求 F 比”中算出的F值與該臨界值比較，若F F(f因，fE)，說明該因素對試驗結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析例1 (無交互作用):磁鼓電機是彩色錄像機磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提高磁鼓電機的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗，取試驗因素和相應(yīng)水平如下表：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析

6、解：(選用正交表L9(34)表頭設(shè)計：試驗計劃與試驗結(jié)果：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析詳細(xì)計算如下：2 .1162 .765278.3028663105196 .4279 .56866 .14213 .303294)328329273529308025(317 .308553)260100430336235225(313 .304288)252004352836308025(3178.302866)1651(919122CBATEkkTTCCBBAACBASSSSSPyPQSPQSPQSPQSQQQP列方差分析表如下：最佳條件的選擇：對顯著因子應(yīng)取最好的水平對不顯著因子的水平可以任意選取

7、，在實際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇上面的例子中對因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析驗證試驗：對A2B2C1進(jìn)行三次試驗，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231.3. 此結(jié)果是滿意的例2(有交互作用):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度。每個因素都取3個水平，具體數(shù)值見表?？紤]因素之間的所有一級交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析解：(選用正交表L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計算：第二節(jié)： 3水平

8、正交設(shè)計的方差分析22.375)23.3443.3398.32(91,22.375)27.3404.3333.33(91,20.375)30.3313.3321.34(91,33.375)04.3366.3494.32(91,68.375)61.3473.3130.34(91,89.375)93.3208.3263.35(91,00.531)16.5921.3527.6(91,29.376)88.3530.3146.33(91,17.377)21.3370.3073.36(91,13.375)64.100(271222)(222)(222)(222)(222)(222)(22222222222

9、12121BXCBXCAXCAXCAXBAXBCBAQQQQQQQQQP由此得出類似地最后計算總平方和，得出第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析32. 12,87.155,17. 1,04. 22121)()()()(PQQSSSPQSPQSPQSAXBAXBAXBAXBAXBCCBBAA18. 0228. 022121)()()()(PQQSPQQSBXCBXCBXCAXCAXCAXC34. 0(20.16113.37533.53633.536)2712BXCAXCAXBCBATTETTkkTSSSSSSSSSSPQSSxQ交因用公式計算自由度：再用公式計算平均離差的平方和，然后計算F值，再與

10、F分布表中查出的相應(yīng)的臨界值F(f因，fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若F F0.01(f因，fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個星號表示；若F F0.05(f因，fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個星號表示；若FF0.05(f因，fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號表示。第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析81826,261271, 422, 213交因總總fffnfxffffffEBXCAXCAXBCBA第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析方差分析表：通過F值與臨界值比較看出，因素A,B,C和交互作用AXB對試驗的影響都是顯著的，從F值的大小看，因素C最顯著，以下依次為

11、A，B，AXB方差分析(2)：由于這里的試驗指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中K的最大值所對應(yīng)的水平。因素A應(yīng)取第1水平，因素B應(yīng)取第3水平，因素C應(yīng)取第3水平。交互作用AXB也是顯著的，但由于AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把A和B的各種組合的試驗結(jié)果對照起來分析。從表中看出，當(dāng)A取第1水平、B取第3水平時，試驗結(jié)果為13.17，是所有結(jié)果中的最大值，因此可取A1B3，這與前面單獨考慮因素A，B時所得出的結(jié)果是一致的。于是，最優(yōu)方案就取A1B3C3.第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析2水平正交設(shè)計，各因素離差平方和為：因為 又所以上式可簡化為這里2水平設(shè)計計算離差平方

12、和的一般公式，同樣適用于交互作用。第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析,)(1121212nkkiixnKaS因naan21,2211KKxnkk221)(1KKnS因例3:某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥，指標(biāo)是農(nóng)藥的收率，顯然是越大越好。據(jù)經(jīng)驗知道，影響農(nóng)藥收率的因素有4個：反應(yīng)溫度A，反應(yīng)時間B，原料配比C，真空度D。每個因素都是兩水平，具體情況見表。要考慮A，B的交互作用。試進(jìn)行方差分析。第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析解：(選用正交表L8(27)第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析這里類似地計算誤差平方和：SE=ST-(S因+S交) =146-(8+18+60.5+4.5+18)=5第三節(jié)： 2水

13、平正交設(shè)計的方差分析8)358366(81)(81146)724(81656688222122812KKSTxPQSAkkTT50)372352(81,5.4)365359(81,5.60)373351(81,18)356368(812222AXBDCBSSSS計算自由度:計算均方值：由于各因素和交互作用AXB的自由度都是1，因此它們的均方值與它們各自的平方和相等。只有誤差的均方為計算F比：第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析257)(, 1, 112718交因ffffffffffffTEBAAXBDCBAT5 . 2252EESMS8 . 15 . 25 . 4, 2 .245 . 25 .6

14、0,205 . 250, 2 . 75 . 218, 2 . 35 . 28DCAXBBEAAFFFFMSMSF方差分析表：第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析方差分析:從方差分析表中F值的大小看出，各因素對試驗影響大小的順序為 C，AXB，B，A，D。C影響最大，其次是交互作用AXB，D的影響最小. 若各因素分別選取最優(yōu)條件應(yīng)當(dāng)是C2，B1，A1，D2. 但考慮到交互作用AXB的影響較大，且它的第2水平為好，在C2，(AXB)2的情況下，有B1A2和B2A1，考慮到B的影響比A大，而B選 B1為好，當(dāng)然A只能選第2水平了。這樣最后確定下來的最優(yōu)方案應(yīng)當(dāng)是A2B1C2D2。 這個方案不在正交表的

15、9個試驗中，可以按此進(jìn)行試驗，比較一下結(jié)果。第三節(jié)： 2水平正交設(shè)計的方差分析在SAE的應(yīng)用實例-1 混合型正交設(shè)計的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計的方差分析相同，只要在計算時注意到各水平數(shù)的差別就行了?，F(xiàn)以L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析281812)(81kkkkTTxxPQS221)(81KKS28124232221)(81)(21kkxKKKKS例4:某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi),硬度越低越

16、好。試驗的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾斓闹笜?biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個： 退火溫度A，保溫時間B，冷卻介質(zhì)C。第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析解：第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析625.1,500.0)10.12410.126(81,125.1)60.12660.123(81,18.0)70.12550.124(81,645.2)80.12240.127(81)(81,445.0005.7825)89.400684.386841.385676.3918(21)(21,895.4,005.7825)04.62600(818,20.250,90.782954252

17、42222124232221281812SSSSSSKKSPKKKKSPQSTPxTxQECBATTkkkkT方差分析表：從F值和臨界值的比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差。這樣一來，SE就變成 SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250， 再列方差分析表。第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析方差分析表(2)：臨界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75從F值和臨界值的比較來看，因素B就是顯著性因素了。因素影響從大

18、到小的順序為BCA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1第四節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析例5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗?？疾熘笜?biāo)是酸洗時間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個水平。據(jù)經(jīng)驗知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平并安排在第1列。第五節(jié)：擬水平法的方差分析解：虛擬水平的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：第五節(jié)：擬水平法的方差分析546624167876241)56169(919237,

19、6787291912PQSTPxTxQTTkkkkT5 .406241)22201(61)7744(3196322221TKKSC67.4026241)3721476111449(31786241)490082815776(3167.206241)608472255476(319)(312232221DABSSTKKKS16. 4)(DABCTESSSSSS方差分析表：從F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素D的影響大些。我們把影響最小的因素B并入誤差，使得新的誤差平方和為SE= SE + SB，再列方差分析表第五節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表(2)：由此看出，因素D有顯著影響，因素A，B均無顯著影響。因素重要性的順序為DCAB，最優(yōu)方案為A3B1C2D3.第五節(jié)：擬水平法的方差分析重復(fù)試驗就是對每個試驗號重復(fù)多次，這樣能很好地估計試驗誤差，它的方差分析與無重復(fù)試驗基本相同。但要注意幾點：(1) 計算K1，K2， 時，要用各號試驗重復(fù)n次的數(shù)據(jù)之和；(2) 計算離差平方和時，公式中的“水平重復(fù)數(shù)”要改為“水平重復(fù)數(shù)與 重復(fù)試驗數(shù)之積”；(3) 總體誤