非壽險第二章-復(fù)習(xí)

1、 第二章 損失分布損失分布 損失和賠款損失和賠款損失指的是保險標(biāo)的在保險事故中遭到的實際損失額。常用一個隨機變量來描述。保險公司的賠款額是由保險標(biāo)的的實際損失所決定的，但又并不總等于保險標(biāo)的的損失額。2.1 研究損失分布的數(shù)學(xué)工具研究損失分布的數(shù)學(xué)工具 2.1.1 隨機變量及其分布 隨機變量及其分布 : 用X、Y、Z等大寫字母表示隨機變量;隨機變量X的分布函數(shù)，記作F（x）= P (X x) ，x R . 2.1.2 離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量 保險期限內(nèi)，保險標(biāo)的發(fā)生保險事故的次數(shù)N的取值只能是0、1、2、，這種只能取有限個值或可列個值的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量。離散型隨機變量

2、除了用分布函數(shù)刻劃其規(guī)律以外，還可以用分布列來反映其分布規(guī)律。 離散型隨機變量的分布列和分布函數(shù)的關(guān)系可用下式表示：()iixxFxp 離散型隨機變量的分布函數(shù)是一個右連續(xù)的階梯函數(shù)。 在非壽險精算中，一次事故的損失額或者保險期限內(nèi)的全部損失額X的取值范圍是一個區(qū)間（0，+ ），象這種取值布滿某個區(qū)間，并且有密度函數(shù)的隨機變量，我們稱為連續(xù)型隨機變量。與離散型隨機變量的分布列相對應(yīng)，連續(xù)型隨機變量可用密度函數(shù)來描述其概率分布。2.1.3 隨機變量的數(shù)字特征 記 為隨機變量X的k階原點矩 ； 記 為隨機變量X的k階中心矩 。kkEX()kkE XEX隨機變量X分布的偏度系數(shù) 可以度量分布的對稱性

3、，當(dāng)分布對稱時，偏度等于0。所以在偏度不等于0時，分布是不對稱的。3 2322.1.4 隨機變量的特征函數(shù)與矩母函數(shù)( )itXtEe稱 和 為r.v.X的特征函數(shù)和矩母函數(shù)。 隨機變量的分布函數(shù)和特征函數(shù)是相互唯一確定的 。( )tXM tEe矩母函數(shù)具有的性質(zhì)：設(shè)X的矩母函數(shù) 在原點的某鄰域 有定義（因為 在原點總有定義）,則 （1）X的分布函數(shù)由其矩母函數(shù)唯一確定； （2）X的k階原點矩 ，k=1、2、 ,由此得 到矩母函數(shù) 的Taylor展開式為： （3）若 為相互獨立的隨機變量， 分別為它們的矩母函數(shù)，則它們的和 的矩母函數(shù) (4)若Y = aX+b, 其中 a、b為常數(shù)，則隨機變量

4、Y的矩母函 數(shù)為：| | tr( )(0)kkkEXM0()!kkktMtk| | tr12()()()nXXXM tM tM t、12()()()()nSXXXM tM t MtMt( )( )btYXM te Mat2.1.5 條件分布、條件期望和條件方差定義 設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機變量， , i = 1、2、 , j = 1、2、 為它們的聯(lián)合分布列，則稱 , i = 1、2、 為 時X的條件分布列。 ijPiji jjpppjYy 類似地，可定義 時Y的條件分布列。 iXx 定義 設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，f (x, y), ,為它們的聯(lián)合密度函數(shù)，則稱 , x R ,

5、為Y = y時X的條件分布密度函數(shù)。 2( , )x yR( , )()( )Yf xyf xyf y類似地，可定義X = x時Y的條件分布密度函數(shù)。 條件期望的計算公式： 離散型： (2.1.13) 連續(xù)型： (2.1.14)1()jii jiE XYyxp()( )EXY yxf xydx 條件方差 ：22()()()jjjV arXY yEX Y yEXY y如果在條件期望和條件方差中Y不取定,那么 和 都是隨機變量Y的函數(shù)，因而也是隨機變量。關(guān)于這兩個隨機變量有如下重要性質(zhì)： ()EXY()V arXY()EXE E XY ()()VarX Var EXYEVar XY這兩個性質(zhì)是非壽

6、險精算和風(fēng)險理論中常用的。 2.1.6 相互獨立隨機變量和的分布與卷積如果X、Y是相互獨立的兩個連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度函數(shù)分別為 、 那么，X+Y的分布函數(shù)為：( )Xf x( )Yf y( )( )()zX YXYFzdzfx fzx dxX+Y的概率密度函數(shù)為：( )( ) ()X YXYfzf x f z xdx由對稱性，還可以有:( )() ( )X YXYfzf z y f y dx我們可以用簡單的記號： 表示上述兩式。這里，運算符號*稱為卷積。卷積運算可以推廣到n個相互獨立隨機變量的情況和離散型隨機變量的情況。卷積同樣可運用于分布函數(shù)。事實上，卷積運算還可以推廣到隨機變量不

7、相互獨立的情況。( )* ( )X YXYfzff z2.2.1 正態(tài)分布和中心極限定理正態(tài)分布的密度函數(shù)為 :其中 , 為正態(tài)分布的兩個參數(shù) .22()21( ),2xf xexRR2(0,) 易得： ，EX2VarX X服從以 為參數(shù)的正態(tài)分布一般簡記為X N( ) 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為N（0，1）. 2, 2, 20,1221( )2xxe標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為: 分布函數(shù)為：( )( )xxx dx2.2 2.2 損失的理論分布損失的理論分布任意一個正態(tài)分布隨機變量X, 都可以通過線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量,即:若 X N ( ) , 則 Z = N (0,1) .

8、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有性質(zhì)：()1( )xx 2,X中心極限定理 :設(shè) 是一列具有相同分布，互相獨立的隨機變量， 則12nXXX、 、2iEX = ,0,1,2iVarXi1lim ()( )niinXnPxxn 2.2.2 賠款額的理論分布 1. 對數(shù)正態(tài)分布定義2.2.1 若隨機變量X的對數(shù)函數(shù) , 則稱 X服從以 為參數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布，記作 其密度函數(shù)為 ：數(shù)學(xué)期望和方差為： ，2Y = ln X N( ,)2,2 X LN( ,)22(ln)21( )02xf xexx22EXe222(1)VarXee 2. 帕累托（Pareto）分布帕累托（Pareto）分布是又一個常用的賠款額分布。它

9、的密度函數(shù)曲線也呈右偏態(tài)，但尾部趨于0的速度比對數(shù)正態(tài)分布慢。帕累托分布的密度函數(shù)為： 1( )( )0 xxf x 其他1EX 當(dāng) 時，帕累托分布的數(shù)學(xué)期望存在： 當(dāng) 時，帕累托分布的方差存在： 1222()21VarX 3.伽瑪（Gamma）分布伽瑪分布也是非壽險精算中常用的連續(xù)型分布，常用來刻劃賠款額的分布和分析風(fēng)險的異質(zhì)性。伽瑪分布的密度函數(shù)為：數(shù)學(xué)期望和方差分別為： ,矩母函數(shù)為：1( )(),0,0,0( )xf xexxEX2VarX( )(1) ,tM tt 2.2.3 賠款次數(shù)的理論分布 1.泊松（Poisson）分布泊松分布是一個取非負(fù)整數(shù)的離散型隨機變量的分布，在統(tǒng)計理論

10、中具有十分重要的作用。它常被用來刻劃小概率事件發(fā)生的次數(shù)，因此在非壽險精算中用它來作為賠款次數(shù)的分布是適當(dāng)?shù)摹２此煞植嫉姆植剂惺牵浩渲袇?shù)q0. 泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差都是q . 泊松分布的一個重要性質(zhì)是：n個相互獨立的參數(shù)為 q的泊松隨機變量的和服從的是參數(shù)為nq的泊松分布。這種性質(zhì)我們常稱之為可加性。譬如：正態(tài)分布也具有可加性。 ()0 1 2!xqqP Xxexx、 、2 二項分布二項分布描述的是n重貝努里試驗中事件A(成功)發(fā)生x次的概率，因而可以用來作為同質(zhì)風(fēng)險等額保單賠款次數(shù)的概率分布模型。二項分布隨機變量X的分布列為：數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EX =np 和 VarX = np(

11、1p) 矩母函數(shù)為 :(1) ,1,2()xxn xnPPxnP X x C ( )(1)tnM tpep 二項分布的兩種近似計算方法。其一是把二項分布隨機變量看作互相獨立、同服從二點分布隨機變量的和，利用中心極限定理得到：當(dāng)n充分大時， 近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。一般，在np和np(1p)都大于10時近似程度就不錯了。其二是利用二項分布的極限分布泊松分布來作近似計算：當(dāng)n充分大，p又相當(dāng)小時，可令q = np 0 ,則有)p1(npnpX(1)!xxxn xqnqc ppex 3.負(fù)二項分布負(fù)二項分布描述的是：貝努里試驗中，第k次發(fā)生事件A（成功）前，事件 (失敗)發(fā)生的次數(shù)。負(fù)二項分布常用于

12、災(zāi)害事故和發(fā)病情形的統(tǒng)計問題，在非壽險精算中，常被用來描述風(fēng)險不同質(zhì)情況下賠款發(fā)生次數(shù)的分布。負(fù)二項分布也稱巴斯卡（Pascal）分布。負(fù)二項分布的分布列為： 數(shù)學(xué)期望和方差分別為： ， 特別，k=1時的負(fù)二項分布就是幾何分布。 A1()(1) ,0,1xkxx kPX xcpp x (1)kpEXp2(1)kpVarXp2.3 賠款總量的分布賠款總量的分布 2.3.1 賠款總量的數(shù)字特征和矩母函數(shù) 如果在這一定時期內(nèi)，某險種一共發(fā)生N次賠款， 為其中第i次賠款額，那么相應(yīng)的賠款總量為：假設(shè)諸 獨立同分布，且與N獨立。由條件期望和條件方差的性質(zhì)以及獨立性假設(shè)可以得到： ； iXN1iiN21X

13、XXXSiX1()()ESENEX211() ()()()VarSEXVarNEN VarX 2.3.2 復(fù)合泊松分布在上述賠款總量模型中，如果N服從泊松分布，我們就稱賠款總量S服從復(fù)合泊松分布。定義2.3.1 隨機變量 服從以 為參數(shù)的復(fù)合泊松分布是指它滿足： （1）隨機變量 相互獨立；（2） 具有相同的分布； （3）N服從泊松分布，參數(shù)為 1NiiSX012N X X、 、12X X、0若記具有相同分布的 為X，它們的共同分布函數(shù)為F（x）,則復(fù)合泊松分布隨機變量S的數(shù)學(xué)期望和方差為： ， 其矩母函數(shù)為： 分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為： iXESEX2VarSEX( ) 1( )XMtSM t

14、e*1( )( )!nnSXneF xFxn*1( )( )!nnSXnef xfxn 2.3.3 賠款總量的近似模型 在非壽險精算實務(wù)中，常用近似模型計算賠款總量的分布。一般常用兩種近似模型：在賠款總量分布呈對稱狀時，用正正態(tài)近似態(tài)近似；在賠款總量分布右偏時，則用平平移伽瑪近似移伽瑪近似。 練習(xí)題1、某類保單在某年的一次賠款額、某類保單在某年的一次賠款額X服從以服從以，為參數(shù)為參數(shù)的伽瑪分布，考慮通貨膨脹的影響，估計下一個年度的伽瑪分布，考慮通貨膨脹的影響，估計下一個年度的一次賠款額的一次賠款額Y將比將比X增加增加10%，試求，試求Y的分布。的分布。2、如果某連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)f（x）滿足：則稱該隨機變量服從混合指數(shù)分布?；旌现笖?shù)分布也常用來描述賠款分布。試計算混合指數(shù)分布的矩母函數(shù)。 11,0,0,0,1innxiiiiiiif xA exAA0 x3、已發(fā)生的1500次賠款表明其平均賠款額為960元，標(biāo)準(zhǔn)差為120元。若賠款額服從正態(tài)分布，試計算 的值，使1500次賠款中有800次的賠款額小于它，而有700次的賠款額大于它，并計算1500次賠款中賠款額小于800元的次數(shù)。4、如果第3題中賠款額改為服從對數(shù)正態(tài)分布，試回答同樣的問題。5.如果某保險公司承保的每份保單在每個月的可看作以=0.01為參數(shù)的泊松分布隨機變量