數(shù)學建模第五部分-初等模型及簡單優(yōu)化模型

1、數(shù)學建模9:51第五部分 初等模型及優(yōu)化初等模型實例5.1 公平的席位分配5.2 錄像機計數(shù)器的用途5.3 雙層玻璃窗的功效5.4 實物交換簡單優(yōu)化模型實例5.5 生豬出售時機5.6森林救火5.7最優(yōu)價格5.8 冰山運輸5.9 消費者均衡（選）9:51系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結果結果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題三個系學生共三個系學生共200名（甲系名（甲

2、系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表會議共會議共20席，按比例分配，三個系分別為席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 問問20席如何分配。席如何分配。若增加為若增加為21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加慣慣例例對對丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學生學生 比

3、例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結果結果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 215.1 公平席位分配“公平公平”分配方法分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當當p1/n1= p2/n2 時，分配公平時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對對A的的絕對不公平度絕對不公平度p1=15

4、0, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對但后者對A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對絕對不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，對對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=55.1 公平席位分配公平分配方案應公平分配方案應使使 rA , rB 盡量小盡量小設設A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問應分給席，問應分給A, 還是還是B不妨設分配

5、開始時不妨設分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對即對A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對對A的的相對不公平度相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方法分配方法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義定義5.1 公平席位分配1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應給則這席應給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應計算應計算rB(n1+1, n2)應計算應計算rA(n1, n2

6、+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應給則這席應給 B5.1 公平席位分配當當 rB(n1+1, n2) 640預測預測：降價：g=0.15.5 生豬的出售時機敏感性分析：敏感性分析：模型的數(shù)據(jù)可能存在誤差，調(diào)整數(shù)據(jù)，模型的數(shù)據(jù)可能存在誤差，調(diào)整數(shù)據(jù)，重新計算結果，分析結果是否合理，變化是否顯著重新計算結果，分析結果是否合理，變化是否顯著研究研究 r, g變化時對模型結果的影響變化時對模型結果的影響 估計估計r=2， g=0.1rggrt2404 設設g=0.1不變不變 5.1,6040rrrtt 對對r 的（相對）敏感度的（相

7、對）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%。 1.522.5305101520rt5.5 生豬的出售時機敏感性分析敏感性分析估計估計r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g變化時對模型結果的影響變化時對模型結果的影響 設設r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對對g的（相對）敏感度的（相對）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價格每天的降低量生豬價格每天的降低量g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%。 0.060

8、.080.10.120.140.160102030gt5.5 生豬的出售時機強健性強健性分析：分析：當變量規(guī)?；蛘呓Y構發(fā)生變化時，模型是否還能實用當變量規(guī)?；蛘呓Y構發(fā)生變化時，模型是否還能實用保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由由 S(t,r)=3建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計重新估計 , 再作計算。再作計算。wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)時對模型結果的影響不是常數(shù)時對模型結果的影響 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 2

9、8 . 1 w137 t0)( tQ每天利潤的增值每天利潤的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()(5.5 生豬的出售時機利潤的變化率為利潤的變化率為0森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森

10、林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小5.6 森林救火 關鍵是對關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設作出合理的簡化假設.問題問題分析分析失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難

11、,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.5.6 森林救火模型假設模型假設 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）火勢蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度）速度） 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3假設假設1）的解釋的解釋 rB火勢以失火點為中心，火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與

12、t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.5.6 森林救火xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設假設1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用)()()(21xfxfxC假設假設3）4）xttt112假設假設2）)(222212212xttbt5.6 森林救火0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結

13、果解釋結果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)5.6 森林救火模型模型應用應用c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結果結果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可

14、可設置一系列數(shù)值設置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量x5.6 森林救火問題問題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大衡條件下確定商品價格，使利潤最大假設假設1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x2）收入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價格即價格3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本4）銷量）銷量 x 依賴于價格依賴于價格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模與求解與求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利潤利潤進一步設進一

15、步設0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大5.7 最優(yōu)價格0* ppdpdU使利潤使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格最大的最優(yōu)價格 p*滿足滿足*ppppdpdCdpdI最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模與求解與求解邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出5.7 最優(yōu)價格結果結果解釋解釋baqp22*0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 價格上升價格上升1單位時銷量的下降單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度）幅度（需求對價格的敏感

16、度） a 絕對需求絕對需求( p很小時的需求很小時的需求)b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b?5.7 最優(yōu)價格背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米成本為每立方米0.1英鎊。英鎊。 專家建議從專家建議從9600千米遠的南極用拖船千米遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水運送冰山，取代淡化海水 從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)膹慕?jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行钥尚行浴＝蕚浣蕚?. 日租金和最大運量日租金和最大運量船船 型型小小 中中 大大日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運量（米最大運量（米3）4.06.28.05 105

17、1061075.8 冰山運輸2. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/千米）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）與南極距離與南極距離 (千米千米)船速船速(千米千米/小時小時) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(米米3)船速船速(千米千米/小時小時) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準備建模準備建模建模目的目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較米水的

18、費用最低，并與淡化海水的費用比較模型模型假設假設 航行過程中船速不變，總距離航行過程中船速不變，總距離9600千米千米 冰山呈球形，球面各點融化速率相同冰山呈球形，球面各點融化速率相同到達目的地后，每立方米冰可融化到達目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水體積水體積運輸過程運輸過程融化規(guī)律融化規(guī)律總費用總費用目的地目的地冰體積冰體積初始冰初始冰山體積山體積燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型

19、型建建立立1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (千米千米/小時小時)與南極距離與南極距離d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；d4000時時u與與d無關無關.utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時半徑天時半徑冰山初始體積冰山初

20、始體積30034RV334ttRVt天時體積天時體積總航行天數(shù)總航行天數(shù)313004334),(tkkrVtVuV選定選定u,V0, 航行航行t天時冰山體積天時冰山體積313004334),(TttrVVuV到達目的地到達目的地時冰山體積時冰山體積uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5

21、 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英鎊英鎊/千米千米)q1對對u線性線性, 對對log10V線性線性選定選定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英鎊英鎊/天天)燃料消耗總費用燃料消耗總費用TttVuqVuQ100),(),( V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 運送每立方米水費用運送每立方米水費用 冰山初始體積冰山初始體積V0的日的日租金租金 f(V0)（英鎊）（英鎊）uT400航行天數(shù)航行天數(shù)總燃料消耗費用總燃料消耗費用拖船租金費用拖船租金費用uVfVuR400)(),(00冰山運輸總費用冰山運輸總費用),(),(),(000

22、VuQVuRVuS14334log)6(2 . 7),(31301010tkkTtrVuuVuQ冰山到達目的地冰山到達目的地后得到的水體積后得到的水體積),(85. 0),(00VuVVuW3. 運送每立方米水費用運送每立方米水費用 冰山運輸總費用冰山運輸總費用運送每運送每立方米立方米水費用水費用 ),(),(),(000VuWVuSVuY313004334),(TttrVVuV到達目的地到達目的地時冰山體積時冰山體積),(),(),(000VuQVuRVuS模型求解模型求解選擇船型和船速，使冰山到達目選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低的地后每立方米水的費用最低求求 u,V

23、0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小時小時), V0= 107 (米米3)， Y(u,V0)最小最小V0只能取離散值只能取離散值經(jīng)驗公式很粗糙經(jīng)驗公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取幾組（取幾組（V0，u）用）用枚舉法枚舉法計算計算5.8 冰山運輸結果分析結果分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達目的地后實際體積會顯著小于到達目的地后

24、實際體積會顯著小于V(u,V0)。有關部門認為，只有當計算出的有關部門認為，只有當計算出的Y(u,V0)顯著顯著低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性。低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性。大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小時小時), 冰山冰山到達目的地后每立米水的費用到達目的地后每立米水的費用 Y(u,V0)約約0.065(英鎊英鎊)雖然雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本英鎊略低于淡化海水的成本0.1英英鎊，但是模型假設和構造非常簡化與粗糙。鎊，但是模型假設和構造非常簡化與粗糙。5.8 冰山運輸q2U(q1,q2) = cq101l2l3l問題問

25、題消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。設甲乙數(shù)量為設甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消費者的無差別曲線族費者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相交），記作交），記作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù)已知甲乙價格已知甲乙價格 p1,p2, 有錢有錢s，試分配，試分配s,購買甲乙數(shù)量購買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.5.9 消費者均衡效用函數(shù)通常用來表示消費者在消費中所獲得的效用與所消費的商品組合之間數(shù)量關系的函數(shù)，以衡量消費者從消費既定的商品組合中所獲得滿足的程度。s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知價格已知價格 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsq