課題橢圓與它的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、課題：橢圓與它的標(biāo)準(zhǔn)方程授課教師：奉賢中學(xué) 金紅衛(wèi)授課地點(diǎn)：七寶中學(xué)授課時(shí)間：2000年4月5日授課班級(jí)：奉賢中學(xué) 高二(7)班(參加上海市高中青年教師數(shù)學(xué)交流與評(píng)選活動(dòng)獲市一等獎(jiǎng))教學(xué)目標(biāo)：(1) 掌握橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的概念；能根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求焦距和焦點(diǎn),初步掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。(2) 在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和化歸的數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。(3) 培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀(guān)和理論聯(lián)系實(shí)際思想。教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系。教學(xué)方法：探究、討論。教學(xué)手段：運(yùn)用多媒體技術(shù)（有Authorware課件

2、）和實(shí)物投影儀。教學(xué)過(guò)程：引言：曲線(xiàn)是一種空間圖形,方程是一種數(shù)量關(guān)系。探索和研究直線(xiàn)方程與圓方程的過(guò)程告訴我們：當(dāng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)所成的集合與方程的解所成的集合建立一一對(duì)應(yīng)后，形與數(shù)就密切聯(lián)系起來(lái)了。于是關(guān)于曲線(xiàn)性質(zhì)的幾何問(wèn)題與關(guān)于曲線(xiàn)方程的代數(shù)問(wèn)題就可以相互轉(zhuǎn)化了。通過(guò)對(duì)圓的形成過(guò)程和圓方程的建立過(guò)程的回憶，從一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以類(lèi)比的方法探索平面上有規(guī)律的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，引入研究課題：橢圓與它的標(biāo)準(zhǔn)方程。根據(jù)橢圓的形成過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生給出橢圓定義。利用求軌跡方程的思想方法，根據(jù)橢圓定義探索橢圓的軌跡方程。概念辨析：抓住形（橢圓）與數(shù)（橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）的內(nèi)在聯(lián)系。例1 已知橢圓的焦距是6，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的

3、距離的和等于10，寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解題思考：無(wú)法確定焦點(diǎn)位置時(shí)，應(yīng)分情況進(jìn)行討論。挑戰(zhàn): 同桌倆人能否圍繞橢圓定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，商量后出一道練習(xí)題？（學(xué)生商量出題，教師巡視指導(dǎo)）選擇有代表性的練習(xí)題，進(jìn)行全班交流，教師點(diǎn)評(píng)。例2 太平洋上有A、B兩個(gè)島嶼，B島在A(yíng)島正東40海里處。經(jīng)多年觀(guān)察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚(yú)群洄游的路線(xiàn)象一個(gè)橢圓，其焦點(diǎn)恰好是A、B兩島。曾有漁船在距A島正西20海里處發(fā)現(xiàn)過(guò)魚(yú)群。某日，研究人員在A(yíng)、B兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），A、B兩島收到魚(yú)群反射信號(hào)的時(shí)間比為5:3，你能否判斷魚(yú)群此時(shí)的位置?（請(qǐng)學(xué)生議論后發(fā)言，教師點(diǎn)評(píng)。）課堂小結(jié)：

4、(1) 數(shù)學(xué)知識(shí)；(2) 數(shù)學(xué)思想；(3) 研究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律、探索曲線(xiàn)方程、解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程給我們的啟示。布置作業(yè)：(1)閱讀: 教材第4244頁(yè);(2)練習(xí): 必做題：數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè) 第11頁(yè)2(1)(2)(5)(8),4;選做題：已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),F1PF2120,求F1PF2的面積。(3)實(shí)踐:利用橢圓定義,設(shè)計(jì)制作一個(gè)畫(huà)橢圓的簡(jiǎn)易工具。教學(xué)流程： 創(chuàng)設(shè) 嘗試 自主 反饋 情境 引導(dǎo) 解決 梳理教案設(shè)計(jì)說(shuō)明：一 對(duì)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)：本節(jié)課是在學(xué)生已學(xué)過(guò)集合與對(duì)應(yīng)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、曲線(xiàn)與方程、坐標(biāo)平面上的直線(xiàn)、圓等基礎(chǔ)上，對(duì)“由已知條件求曲線(xiàn)

5、的方程，再?gòu)乃梅匠虂?lái)研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)”的解析法的進(jìn)一步深化，同時(shí)為本章其余各節(jié)的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)思想、方法方面打好基礎(chǔ)，更為今后參數(shù)方程與極坐標(biāo)（理科）、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題（文科）等章節(jié)的學(xué)習(xí)設(shè)下伏筆。高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求達(dá)到“掌握”的層次，即在對(duì)有關(guān)概念有理性的認(rèn)識(shí)，能用自己的語(yǔ)言進(jìn)行敘述和解釋?zhuān)私馑鼈兣c其他知識(shí)聯(lián)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)訓(xùn)練形成技能，并能作簡(jiǎn)單的應(yīng)用。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)、學(xué)生身心發(fā)展的合理需要和社會(huì)的政治經(jīng)濟(jì)、科學(xué)技術(shù)的需求，本節(jié)課從知識(shí)、能力和情感三個(gè)層面確定了相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。橢圓的定義是一種發(fā)生性定義，是通過(guò)描述橢圓形成過(guò)程進(jìn)行定義的。作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和

6、橢圓方程建立的基石，理應(yīng)作為本堂課的教學(xué)重點(diǎn)。同時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為今后研究橢圓性質(zhì)的根本依據(jù)，自然成為本節(jié)課的另一教學(xué)重點(diǎn)。學(xué)生對(duì)“曲線(xiàn)與方程”的內(nèi)在聯(lián)系(數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn))僅在“圓的方程”一節(jié)中有過(guò)一次感性認(rèn)識(shí)。但由于學(xué)生比較了解圓的性質(zhì)，從“曲線(xiàn)與方程”的內(nèi)在聯(lián)系角度來(lái)看，學(xué)生并未真正有所感受。所以，橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系成為了本堂課的教學(xué)難點(diǎn)。二 教學(xué)方法的選擇：本節(jié)課是運(yùn)用“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的一次嘗試，采用探究、討論的教學(xué)方法，通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本

7、能力，培養(yǎng)積極探索和團(tuán)結(jié)協(xié)作的科學(xué)精神。三 教學(xué)手段的利用：(1) 采用多媒體技術(shù)，目的在于充分利用其優(yōu)良的傳播功能。大容量信息的呈現(xiàn)和生動(dòng)形象的演示（尤其是動(dòng)畫(huà)效果）對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生思維、加深概念理解有積極作用。制作中，采用交互技術(shù)，使課件的機(jī)動(dòng)性得到加強(qiáng)。(2) 采用實(shí)物投影儀，目的在于利用操作方便、反饋及時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)多媒體技術(shù)在即時(shí)信息反饋方面的不足。四 學(xué)法指導(dǎo)的目標(biāo)與實(shí)施：學(xué)法指導(dǎo)的目標(biāo)：(1) 使學(xué)生能對(duì)一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有進(jìn)一步理解和強(qiáng)化；(2) 讓學(xué)生在解題之后能進(jìn)行一些思考；(3) 讓學(xué)生能通過(guò)交流和討論，提高語(yǔ)言表達(dá)能力。學(xué)法指導(dǎo)的實(shí)施：(1) 通過(guò)利用橢

8、圓定義探索橢圓方程的過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，產(chǎn)生主動(dòng)運(yùn)用的意識(shí)；通過(guò)揭示由于橢圓位置的不確定所引起的分類(lèi)討論，進(jìn)行分類(lèi)討論思想運(yùn)用的指導(dǎo)；通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，進(jìn)行化歸思想運(yùn)用的指導(dǎo)。(2) 通過(guò)解題思路的脈絡(luò)分析，對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題思考的指導(dǎo)。(3) 通過(guò)對(duì)學(xué)生發(fā)言的點(diǎn)評(píng)，規(guī)范語(yǔ)言表達(dá)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流和討論。(4) 通過(guò)學(xué)生參與出題，進(jìn)行命題指導(dǎo)。五 教學(xué)過(guò)程的說(shuō)明：學(xué)生雖然對(duì)橢圓圖形有所了解，但只限于感性認(rèn)識(shí)，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學(xué)思想和方法密切相關(guān)。而這一點(diǎn)，恰恰是現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人的基本要求，也是目前以德育為核心，以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育所提

9、倡的。所以，本節(jié)課力圖從圓的定義和圓的方程的聯(lián)系出發(fā)，借助類(lèi)比的思想對(duì)動(dòng)點(diǎn)有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)作一些理性的探索和研究。同時(shí)，在學(xué)習(xí)運(yùn)用過(guò)程中，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想和化歸思想加深認(rèn)識(shí)。（一） 創(chuàng)設(shè)情境：本節(jié)課從研究探索平面上有規(guī)律的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)入手，通過(guò)一些學(xué)生能夠進(jìn)行思考但常常不夠清晰的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)一些學(xué)生感興趣的問(wèn)題情境，使學(xué)生的注意、記憶、思維凝聚在一起，達(dá)到學(xué)習(xí)活動(dòng)的高潮。如：你能否發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某些規(guī)律？你能否寫(xiě)出橢圓的一個(gè)方程？你能否使方程更美一些？同桌倆人能否圍繞橢圓定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，商量后出一道練習(xí)題？（二） 嘗試引導(dǎo)：學(xué)生在嘗試進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程中，常常難以把握問(wèn)題解決的思維方向

10、，難以建立起新舊知識(shí)間的聯(lián)系，難以判斷知識(shí)運(yùn)用是否正確，方法選擇是否有效，問(wèn)題的解是否準(zhǔn)確等，這就需要教師進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)。本節(jié)課采用了以下幾種數(shù)學(xué)活動(dòng)方式進(jìn)行引導(dǎo)：(1) 重溫與問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)。如圓的定義、求軌跡方程的一般思想方法等。(2) 對(duì)給出的問(wèn)題進(jìn)行分析。如猜測(cè)焦點(diǎn)在y軸上橢圓的方程；對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)的比較；對(duì)地理、生物、物理相關(guān)知識(shí)的聯(lián)想等。(3) 開(kāi)展小組討論和全班交流。如對(duì)圍繞橢圓定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出一道練習(xí)題、判斷魚(yú)群的位置等較有思考力度的問(wèn)題均設(shè)法通過(guò)討論和交流進(jìn)行相互啟發(fā)。（三） 自主解決：讓學(xué)生學(xué)會(huì)并形成問(wèn)題解決的思維方法，需要讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷多次的“自主解決”過(guò)程，這

11、就要求教師把能力培養(yǎng)作為一個(gè)長(zhǎng)期的任務(wù)，在課堂教學(xué)中加強(qiáng)這方面的培養(yǎng)意識(shí)。本著這樣的想法，在本節(jié)課中進(jìn)行了類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和化歸等問(wèn)題解決數(shù)學(xué)思想方法的揭示和學(xué)習(xí)。(1) 探索動(dòng)點(diǎn)有規(guī)律的運(yùn)動(dòng),其關(guān)鍵在于能否尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從圓的定義出發(fā)，給出已知一個(gè)定點(diǎn)條件下的有規(guī)律的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生尋找在已知兩個(gè)定點(diǎn)條件下的有規(guī)律的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（教師可先找一個(gè)作為引子）。教師需事先對(duì)學(xué)生可能想到的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律作一個(gè)估計(jì)，從鼓勵(lì)學(xué)生積極思考的角度出發(fā)，進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。(2) 由于學(xué)生對(duì)圓的定義比較了解，加上計(jì)算機(jī)模擬演示橢圓的形成過(guò)程和對(duì)動(dòng)點(diǎn)存在性的討論，為問(wèn)題（對(duì)用類(lèi)比思想給橢圓下定義）的自

12、主解決提供了必要的保障(3) 由于學(xué)生對(duì)求軌跡方程的一般思想方法比較了解,對(duì)橢圓方程的探索有一定的方向性。由于方程的簡(jiǎn)化過(guò)程比較繁瑣，所以對(duì)具體的根式平方及整理做了淡化處理，但對(duì)于方程在形式上的簡(jiǎn)化、美化和求軌跡方程的完整性則進(jìn)行了強(qiáng)化處理。（四） 反饋梳理：練習(xí)與總結(jié)是課堂教學(xué)中進(jìn)行反饋梳理的重要形式。練習(xí)是掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能所必需的；總結(jié)是把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能以“同化”、“順應(yīng)”或“平衡”的形式納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去的必要步驟。適時(shí)地組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)和技能的一般規(guī)律，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、記憶和應(yīng)用，發(fā)揮知識(shí)系統(tǒng)的整體優(yōu)勢(shì)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。例1是教材上的例題。作為對(duì)橢圓定義和橢圓的

13、標(biāo)準(zhǔn)方程及其聯(lián)系的理解和初步應(yīng)用，可讓學(xué)生自主完成，并讓學(xué)生體會(huì)到在運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題了。出一道練習(xí)題的挑戰(zhàn)是讓學(xué)生扮演教師的角色，體驗(yàn)命題心理，培養(yǎng)主動(dòng)梳理、運(yùn)用知識(shí)的意識(shí)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，達(dá)到更好地掌握知識(shí)及其相互關(guān)系和數(shù)學(xué)思想方法的目的。由于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)的差異和時(shí)間的限制，學(xué)生的命題無(wú)法一一在課上進(jìn)行展示、解答。但應(yīng)讓學(xué)生在課堂內(nèi)適當(dāng)?shù)刈h論一下，使學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)得到肯定和提倡，有利于營(yíng)造平等、民主的學(xué)習(xí)氛圍。教師要做好引導(dǎo)和評(píng)判，以防離題太遠(yuǎn)。作為拓廣和發(fā)展，可以在選修課或活動(dòng)課上作深入研究。例2是一道自編題，涉及到地理(方位)、生物(魚(yú)群洄游)、數(shù)學(xué)(橢圓)和物理(聲納探測(cè))