zt4專題四關(guān)于中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造

1、專題四關(guān)于中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造構(gòu)造函數(shù)法的內(nèi)涵十分豐富，沒有固定的模式和方法，構(gòu)造過程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析與化歸等思想.使用構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一般無章可循，它要求既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)背景，又要有豐富的想象力和敏銳的洞察力，針對(duì)問題的具體特點(diǎn)而采用相應(yīng)的構(gòu)造方法，常可使論證過程簡(jiǎn)潔明了在教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的構(gòu)造性思維的訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力大有裨益.同時(shí)構(gòu)造性思維的形成是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種途徑.它是在數(shù)學(xué)教學(xué)中用數(shù)、形結(jié)合，溝通問題條件與結(jié)論，構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到解決問題目的的一種解題數(shù)學(xué)法.這種方法要求綜合

2、應(yīng)用各種知識(shí)，把各科知識(shí)有機(jī)結(jié)合，根據(jù)問題的條件、結(jié)論、性質(zhì)及特征，橫向聯(lián)系，縱向滲透，構(gòu)造出輔助圖形或輔助關(guān)系式、使問題思路清晰，解法巧妙.有一些數(shù)學(xué)問題在常規(guī)下束手無策，而構(gòu)造法使問題得到別開生面、簡(jiǎn)潔而新穎的解法數(shù)學(xué)中的許多問題，往往可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用間接方法得到解決.這一方法應(yīng)用的廣泛性，在于其靈活性.例如，證明拉格朗日定理時(shí)，通常都是采用引入一個(gè)輔助函數(shù)，把適合拉格朗日定理的函數(shù)轉(zhuǎn)換成適合羅爾定理的函數(shù)的方法.在這里，輔助函數(shù)是使問題轉(zhuǎn)化的橋梁.構(gòu)造輔助問題，并非是為了它本身，而是要通過輔助問題幫助我們解決原來的問題.那個(gè)原來的問題才是我們要達(dá)到的目標(biāo)，而輔助問題只是我們?cè)噲D

3、達(dá)到的手段，是原來問題轉(zhuǎn)化的橋梁.針對(duì)所要解決的問題構(gòu)造一個(gè)輔助問題，則原來問題的求解或證明，就轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的研究，可以運(yùn)用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最大最小值、連續(xù)和微分積分等性質(zhì)來幫助解決，運(yùn)算過程就比較簡(jiǎn)單了.微分中值定理是溝通函數(shù)及導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具.而各種輔助函數(shù)又往往有所不同，這些輔助函數(shù)之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系呢？引入這些輔助函數(shù)有沒有一般規(guī)律呢？為解答上面的問題，給出輔助函數(shù)的一般表達(dá)式：f(b)-f(a)F(x)=f(x)Jxx+cb-a此式可以作為證明拉格朗日中值定理所引用的輔助函數(shù)，其中c為任意常.容易3證，當(dāng)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條

4、件時(shí)，相應(yīng)的F(x)滿足羅爾定理的條件.由于它們都含有任意的常數(shù)c,所以具有某種一般性，是輔助函數(shù)的最簡(jiǎn)單的一種形式.每給出一個(gè)c的具體的輔助函數(shù)，對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的證法.不難看出將F(x)與某些函數(shù)復(fù)合所得的函數(shù)，也可以作為輔助函數(shù).問題1:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理的內(nèi)容是什么？有什么樣的幾何意義？答：羅爾中值定理的內(nèi)容如下：設(shè)函數(shù)f(x)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)上可微；(3)f(a)=f(b)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)口，使得f'(3)=0.注：羅爾定理一般是作為拉格朗日中值定理和柯西中值定理證明的預(yù)備定理，故若對(duì)其加強(qiáng)仔細(xì)分析、證明

5、，也可以加以對(duì)拉格朗日中值定理的理解和應(yīng)用羅爾中值定理的幾何意義指：在兩個(gè)高度相同的點(diǎn)A、B之間的一段連續(xù)曲線上，若除端點(diǎn)外，它在每一點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線，則該曲線至少存在一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線平行于x軸(過兩P(0,f(巴),使曲線在端點(diǎn)AB的弦).拉格朗日中值定理的內(nèi)容如下：設(shè)函數(shù)f(x)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)上可微；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)U,使得f-f=f'(".b一a拉格朗日中值定理的幾何意義是：若曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都有不平行于y軸的切線，則在該曲線上至少存在一點(diǎn)(即f(a)=f(b)這該點(diǎn)的切線平行

6、于過曲線兩端點(diǎn)A、B的弦.注：對(duì)于拉格朗日中值定理與羅爾定理僅相差在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等一條件.因此，證明拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是，構(gòu)造一個(gè)合適羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)F(x),對(duì)F(x)應(yīng)用羅爾定理，即可得到拉格朗日中值定理的結(jié)論問題2:構(gòu)造輔助函數(shù)一般有哪幾種方法?答：構(gòu)造輔助函數(shù)一般有下面幾種方法：分析法、幾何直觀法、湊原函數(shù)法、常數(shù)k值法、積分法、解微分方程法、第二類積分法。問題3:能否舉例說明分析法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用？答：所謂分析構(gòu)造輔助函數(shù)法，就是先對(duì)所給的定理或命題進(jìn)行分析、簡(jiǎn)化、變形，得出其等價(jià)命題，接著對(duì)該等價(jià)命題進(jìn)行分析，看是否可以利用一些已知的定理或命題解決這個(gè)等價(jià)命題

7、，由此可以構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)來解決問題.從拉格朗日中值定理結(jié)論來看，欲證存在一點(diǎn)七w(a,b),使得f(b)f(a)=丁仁)92)成立，即證存在一點(diǎn)匕(a,b),使得f仁)b-a)fb-)fa成立。亦即(f(x)(ba)f(b)fX啰)臧立.回羅爾定理的結(jié)論：f(£)=0的形式一樣，所以可作輔助函數(shù)F(x)=(ba)f(x)f(b)f(a)x,顯然，F(xiàn)(x)滿足羅爾定理的條件，并由F'(句=0證得拉格朗日中值定理成立，亦即成立下面等式：f(b)-f(a)=f'd)(ba)(a<b)從結(jié)論的分析來設(shè)法構(gòu)造輔助函數(shù)是微分學(xué)中用來證明定理或命題的方法之一，其思路就是

8、從命題的結(jié)論入手來分析結(jié)論的形式特點(diǎn)，從中得到啟發(fā)進(jìn)而構(gòu)造出與已知命題條件相等的輔助函數(shù)，使命題得證。例1證明方程x=asinx+b至少有一個(gè)正根，并且它不超過a+b,其中a>0,b>0.分析：要證明一個(gè)方程有根，關(guān)鍵在于對(duì)哪個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上使用零點(diǎn)定理，根據(jù)要求有一個(gè)正根且不超過a+b,可以想到是否可以選區(qū)間0,a+b,同時(shí)利用零點(diǎn)定理，把原式變?yōu)閤-asinx-b=0.作輔助函數(shù)：F(x)=xasinx-b證明考慮F(x)=xasinxb及區(qū)間0,a+b,又F(x)在0,a+b上連續(xù)，且F(0)=0-b<0,F(a+b)=a1-sin(a+b)之0,若F(a+b)=0,

9、則a+b為所求的根；若F(a+b)>0,則由零點(diǎn)定理可知方程F(x)=0在(0,a+b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，即方程x=asinx+b至少有一個(gè)不超過a+b的正根.問題4:能否舉例說明幾何直觀法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用？答：借助于幾何圖形來構(gòu)思必要的輔助函數(shù)的方法稱為幾何直觀構(gòu)造輔助函數(shù)法.華羅庚說過:數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.利用數(shù)形結(jié)合常能更直觀地構(gòu)造所需的輔助函數(shù)如圖：設(shè)點(diǎn)A(a,f(a)和點(diǎn)B(b,f(b)為曲線弧AB的端點(diǎn)，則弦AB的斜率為f(a)f(b),由導(dǎo)數(shù)的幾何b-a意義知，f(£)為曲線在點(diǎn)C(Jf(U)處的切線斜率.欲證存在七(a,b),使得f'(

10、£)=f(a)f(b),b-a即證光滑曲線弧AB上一點(diǎn)C處的切線與弦AB平行.而兩h(x)=f(x)-kxka-f(a)，其中k=f-f(b),b-a曲線平行首先應(yīng)考慮的是平行直線間之距離，為此在曲線弧AB上任取一點(diǎn)(x,f(X),設(shè)該點(diǎn)到弦AB的距離函數(shù)為h(x),即弦AB：yf(a)=k(x-a),為便于驗(yàn)證h(x)滿足羅爾定理的條件，取:F(x)=f(x)-kxka-f(a)Jk2由上圖可知，曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為f(x),而弦AB上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為f(a)_f(b)(x_a)+f(a),用曲線弧ab上的縱坐標(biāo)與弦AB的縱坐標(biāo)之差來代替距離函數(shù)，可b-a作輔助函數(shù)：

11、F(x)=f(x)-f(a)-f(b)f(a)(x-a)b-a任取弧AB上一點(diǎn)C,其縱坐標(biāo)為(x,f(x),考慮以C及曲線兩端點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)的三角形的面af(a)11積，可設(shè)輔助函數(shù)：F(x)=-bf(b)12xf(x)1顯然，F(xiàn)(a)=F(b),且式中的F(x)滿足羅爾定理的條件，即為所求輔助函數(shù)根據(jù)幾何意義構(gòu)造輔助函數(shù)，求證定理和命題，是一種非常直觀，易于接受的方法例2證明拉格朗日中值定理.證明作輔助函數(shù)F(x)=f(x)(f(a)+f(a)f(b)(xa);b-a由已知條件，F(xiàn)(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)=F(b)=0；由羅爾定理知存在C(a,b),使f

12、'(0=0,即至少存在一點(diǎn)C(a,b),使f'()J(b)-fa)b-a問題5:能否舉例說明湊原函數(shù)法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用？0”，可嘗試將命題的結(jié)答：應(yīng)用羅爾定理證明一類問題時(shí)，由于羅爾定理的結(jié)論是“導(dǎo)數(shù)等于論化簡(jiǎn)變形，湊出滿足羅爾定理?xiàng)l件的原函數(shù)作為輔助函數(shù)如：證明拉格朗日中值定理湊原函數(shù)法的構(gòu)造過程由定理的結(jié)論f(b)-f(a)=f1()f(b)-f(a)=f(x),3fx=f(x)cb-ab-ab-af(b)-fx=f(x),即f(b)-fx_f(x)=0,b-ab-a令F(x)=f(x)f(b)f(a)x,則F(x)即為輔助函數(shù).b-a例3設(shè)f(x)在0,1上可導(dǎo)，且

13、滿足關(guān)系式if(1)2xf(x)dx=0,求證：在(0,1)內(nèi)至少存在,使不)=卓證明構(gòu)造輔助函數(shù)，由結(jié)論f(D=-上舁，令”則有f(x)=T,*=；兩邊積分jf(x)dx=f_1dx,因此Inf(x)=Inx+lnc,Inf(x)=lnc,所以f(x)=-,f(x)xxxxf(x)=c,令c=0,取F(x)=xf(x)為輔助函數(shù).由題設(shè)可知F(x)=xf(x)在0,1上連續(xù)，在1(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，由于f(1)2/xf(x)dx=0,因此有"1)二2乂"乂加乂=2刈“)jdx,0w1州W3,由中值定理f(1)=刈fJ)得F=f(1)=3f1)，而F。)=刈fp),因此F(x

14、)在、1上，F(xiàn)(1)=F(")Mfd)+Wf'd)=0»f/)=?,證畢.問題6:能否舉例說明常數(shù)k值法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用?答：對(duì)許多中值命題，可用對(duì)命題的結(jié)論簡(jiǎn)化變形以及移項(xiàng)，使一邊為常數(shù)，并令該常數(shù)為k,然后將該式恒等變形，化為對(duì)稱式，從而找到滿足羅爾定理的適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，這樣的方法稱為常數(shù)k值構(gòu)造輔助函數(shù)法.在證明的命題中，常數(shù)已分離，可考慮用以下步驟求輔助函數(shù)：(1)將常數(shù)部分記作k;(2)恒等變形，使等式一端為a構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b構(gòu)成的代數(shù)式；(3)分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式，若是，只要把端點(diǎn)a換成x,則換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式就是所求的輔助函

15、數(shù).例4設(shè)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)使bf-af=f().f'().b-a分析：此題型中常數(shù)已分離，可令k=bf(b)af,因此bf(b)-kb=kf(a)-ka.此為對(duì)稱b-a式，且a與b互換等式不變，所以，對(duì)此類型的問題作輔助函數(shù)F(x)=xf(x)-kx.證明：令F(x)=xf(x)bfafx(由分析得),顯然F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)b-a可導(dǎo)，又因?yàn)镕(a)=af(a)bf(b)af(a)a=0,F(b)=bf(b)fb匕a®b=0,所以b-ab-aF(a)=F(b)=0.因此在a,b上滿足羅爾定理，于是存在一

16、個(gè)巴，巴w(a,b),使F(D=0,即fd)+之f'(。_bf(b)_af=0,所以bf(b)af(a)x=fd)+£f)，證畢.b-ab-a問題7:能否舉例說明積分法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用？答：對(duì)一些不容易找到原函數(shù)的問題，可以試用積分法來構(gòu)造輔助函數(shù)達(dá)到解決問題的目的.該方法為：將命題的結(jié)論化簡(jiǎn)變形并向羅爾定理或其余中值定理結(jié)論靠攏，通過對(duì)方程兩端進(jìn)行積分來構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)并證明有關(guān)命題.1-例5設(shè)f(x)在1,2上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=,f(2)=2,證明：至少存在一點(diǎn)23(1,2),使得(勺="°成立.分析：把f'(D=2

17、一)變形為之f'S戶f2。(，)則N'df2t),0P,.xf(x)2f(x)xd=0,不易湊出xf(x)2f(xj一個(gè)原函數(shù)F(x),故把結(jié)論變形為(-T-T=0，把。換成x,得一(x)=0,兩端進(jìn)行積分得lnf(x)-2lnx=Inc,變形f()f(x)xf(x)f(x)_f(x)為lnV=lnc,即一V=c,從而設(shè)輔助函數(shù)為F(x)=V,則F(x)在1,2上連續(xù)，在xxx(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且有F(1)=F(2)=1,故根據(jù)羅爾定理知存在一點(diǎn)Uw(1,2),使得f'(U)=0,即存在一點(diǎn)(1,2)使得xf(-)-32xf(x)0成立.因此存在一點(diǎn)te(1,2)使得x

18、2f(小f(J)=一-一成乂.問題8:能否舉例說明解微分方程法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用？答：解微分方程的構(gòu)造過程是將求證存在之使F(£)=0中的白看作自變量x,然后通過解微分方程F(x)=0得邛(x)=c(其中c為任意常數(shù))，因?yàn)橹?#39;(£)=0=F)=0,所以平(x)就是所要構(gòu)造的輔助函數(shù).1x2例6設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(1)=3j：ef(x)dx,證明，至少存在一點(diǎn)Uw(0,1),使得f'(x)=2H(D.'22分析：先解微分方程得到f(x)=2xf(x)得到f(x)=cex,即f(x)e=c,構(gòu)造輔助函數(shù)v2F(x

19、)=f(x)e-c(這里的c為積分常數(shù)，不妨取0).122證明：作輔助函數(shù)F(x)=f(x)e，由已知條件發(fā)f(1)=31：6f(x)dx,并利用中值F(1)=f(1)eJU=eJx3><e1-1xf()x1=e2f()=F(£),其中0y手0,1顯然33F(x)在0,句連續(xù)，在(0,與內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)羅爾定理，至少存在一點(diǎn)w(0,。使得f、)=0,2.F(x)=f(x)-2xf(x)e",即f向=2：ff).問題9:能否舉例說明第二類積分法在構(gòu)造輔助函數(shù)中的使用？答：約定：若f'(x)在a,b上存在，則認(rèn)為Jf(t)dt=f(x)-f(a),x£a,b成立.不考慮a一'.xf(x)在a,b上是否黎曼可積，就認(rèn)為ff(t)dt表小f(x)的一個(gè)使得a處值為0的原函數(shù).對(duì)abt于這種類型的輔助函數(shù)，如果gg(x)dx=0可統(tǒng)一構(gòu)造F(x)=fag(t)dt,證明步驟為:(1)將等式左端式中M改為x并記為g(x),右端化為0：x(2)求解輔助函數(shù)F(x)=Lg(t)dt