考研概率論必備兇器經(jīng)典歸納

1、概率論根底知識第一章 隨機(jī)事件及其概率一 隨機(jī)事件§1幾個概念1、隨機(jī)實驗:滿足以下三個條件的試驗稱為隨機(jī)試驗；1試驗可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2試驗的可能結(jié)果不止一個，且所有可能結(jié)果是的；3每次試驗?zāi)膫€結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗以后簡稱為試驗，并常記為E。   例如：E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；   E3：觀察某 交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。2、隨機(jī)事件：在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件：常記為 A，B，C   例如，在E1中，A表示“擲出2點，B表示“擲出偶

2、數(shù)點均為隨機(jī)事件。3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發(fā)生的事情稱為必然事件，記為。每次試驗都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為。   例如，在E1中，“擲出不大于6點的事件便是必然事件，而“擲出大于6點的事件便是不可能事件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。4、根本領(lǐng)件：試驗中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為根本領(lǐng)件。   例如，在E1中，“擲出1點，“擲出2點，“擲出6點均為此試驗的根本領(lǐng)件。   由根本領(lǐng)件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件，例如，在E1中“擲出偶數(shù)點便是復(fù)合事件。個人經(jīng)驗分享： 考研復(fù)習(xí)與考試過程中，科目專業(yè)知

3、識繁多，需要接收的知識量非常大，對閱讀量要求都非常的高，考試時也要閱讀很多字的試題，大家一定要學(xué)會提高效率，如果沒有學(xué)會提高效率，無論是復(fù)習(xí)還是考試，時間都非常拮據(jù)，成功幾率很低。建議平時要學(xué)會快速閱讀的習(xí)慣，一般人每分鐘才看200字左右，我們要學(xué)會一眼盡量多看幾個字，甚至是以行來計算特別是在閱讀大量內(nèi)容的時候，把我們的速讀提高，然后再提高閱讀量。學(xué)會快速閱讀，在復(fù)習(xí)過程中效率非常高，在考試過程中也能夠節(jié)省大量的時間，贏得考試。在我們一眼多看幾個字的時候，還能高度的集中我們的思維，大大的利于歸納總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣后，非常利于?政治?英語?數(shù)學(xué)?以及各個專業(yè)課的復(fù)習(xí)、考試。我在去年有幸學(xué)習(xí)了快速閱讀

4、，以前一個月才能讀完的書現(xiàn)在五六天不到就能夠讀完，主要是復(fù)習(xí)速度和效率變化非常的明顯。我讀本科的成績不怎么好，考研我媽說我只是碰運氣，最后的成績卻比我們班上成績很好的同學(xué)還高，連我自己都有些意想不到，速讀記憶的習(xí)慣絕對要記頭等功。推薦大家一個訓(xùn)練速讀的軟件還有記憶局部，思維導(dǎo)圖對提高理科方面的成績非常的管用，就是去年我用過的那個剛剛看了下好似還出了更優(yōu)秀的版本了，找了好半天，給大家找到了下載的地址，這里直接給做了個超鏈接，先按住鍵盤最左下角的“ctrl按鍵不要放開，然后鼠標(biāo)點擊此行文字就可以下載了。認(rèn)真練習(xí)，練上20小時就夠用了，很快就能夠看到效果！也可以進(jìn)這個地址： 最后還要補(bǔ)充一點就是，入

5、考場之前的狀態(tài)吧，寶劍一出誰與爭鋒，有必勝的把握，舍我其誰的自信。但絕不是驕傲。當(dāng)你看到大綱應(yīng)該大體想起厚厚的指南，看到指南很快就能總結(jié)重點?？梢宰约壕统鲆环蓊}。此時無所謂押題不押題，成功就在手中。此段是純粹個人經(jīng)驗分享，可能在多個地方看見，大家讀過的就不用再讀了，只是希望能和更多的童鞋分享，讓大家多走捷徑。最后記得一定要多看多讀多記！按照我文中所說的，進(jìn)行逐一突擊！成功就在對岸！大家在復(fù)習(xí)的過程中，有需要和我交流的請回論壇的帖子給我留言，我會一一回復(fù)。5、樣本空間：從集合觀點看，稱構(gòu)成根本領(lǐng)件的元素為樣本點，常記為e.   例如，在E1中，用數(shù)字1，2，6表示擲出的點數(shù)，

6、而由它們分別構(gòu)成的單點集1，2，6便是E1中的根本領(lǐng)件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗的樣本點有H，H，H，T，T，H，T，T，其根本領(lǐng)件便是H，H，H，T，T，H，T，T顯然，任何事件均為某些樣本點構(gòu)成的集合。    例如， 在E1中“擲出偶數(shù)點的事件便可表為2，4，6。試驗中所有樣本點構(gòu)成的集合稱為樣本空間。記為。    例如，    在E1中，=1，2，3，4，5，6    在E2中，=H，H，H，T，T，H，T，T    在E

7、3中，=0，1，2，例1，一條新建鐵路共10個車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。     此試驗樣本空間所有樣本點的個數(shù)為N=P 210=90.排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京     假設(shè)觀察的是取得車票的票價，那么該試驗樣本空間中所有樣本點的個數(shù)為 (組合)例2隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個班級中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗的樣本空間所有樣本點的個數(shù)為        第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法

8、用排列§2事件間的關(guān)系與運算    1、包含:“假設(shè)事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，那么稱事件B包含事件A，記為A B或B A。  例如，在E1中，令A(yù)表示“擲出2點的事件，即A=2B表示“擲出偶數(shù)的事件，即B=2，4， 6那么    2、相等：假設(shè)A B且B A，那么稱事件A等于事件B，記為A=B  例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃的事件。顯然A=B  3、和：稱事件A與事件B至少有一個發(fā)生的事件為A與B的和事件簡稱為和，記為A B，或A+B&

9、#160; 例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標(biāo)的事件，B表示“乙擊中目標(biāo)的事件，那么AUB表示“目標(biāo)被擊中的事件。  推廣： 有限個 無窮可列個    4、積：稱事件A與事件B同時發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡稱為積，記為A B或AB。  例如，在E3中，即觀察某 交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)=接到偶數(shù)次呼喚，B=接到奇數(shù)次呼喚，那么A B=接到6的倍數(shù)次呼喚推廣：      任意有限個      無窮可列個  

10、5、差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡稱為差，記為A-B。  例如，測量晶體管的參數(shù)值，令A(yù)=測得值不超過50，B=測得值不超過100，那么，A-B=，B-A=測得值為50100  6、互不相容：假設(shè)事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB=，那么稱A與B是互不相容的。  例如，觀察某定義通路口在某時刻的紅綠燈：假設(shè)A=紅燈亮，B=綠燈亮，那么A與B便是互不相容的。7、對立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對立事件，記為 顯然 ，A = 例如，從有3個次品，7個正品的10個產(chǎn)品中任取3個，假設(shè)令A(yù)=取得的3個產(chǎn)品中至少有一個次品，那么 =取得的3個產(chǎn)品均為

11、正品。 §3事件的運算規(guī)律 1、交換律 AB=BA； AB=BA2、結(jié)合律 ABC=ABC ；ABC=ABC3、分配律 ABC=ABAC， ABC=ABA C4、對偶律   此外，還有一些常用性質(zhì)，如   A B A，AB B越求和越大；AB A，AB B越求積越小。 假設(shè)A B，那么A B=B, A B=A A-B=A-AB= A 等等。例3，從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗，令A(yù)i=第i次取得合格品,i=1,2,3,試用事件的運算符號表示以下事件。A=三次都取得合格品三次中至少有一次取得合格品三次中恰有兩次取得合格品三次中最多有一次

12、取得合格品解： 表示方法常常不唯一，如事件又可表為    或 例4，一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令i=第i次射擊擊中目標(biāo) , i=1,2,3，試用文字表達(dá)以下事件：解： A1A2A3=三次射擊都擊中目標(biāo) A3-A2=第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo) 例5，以下圖所示的電路中，以A表示“信號燈亮這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點，閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。 解，不難看出有如下一些關(guān)系：   二 事件的概率§1概率的定義所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為PA。規(guī)定P(A)0，P=1。1、古典概型中概率

13、的定義古典概型：滿足以下兩條件的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型。1所有根本領(lǐng)件是有限個；2各根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同；例如：擲一勻稱的骰子，令A(yù)=擲出2點=2，B=擲出偶數(shù)總=2，4，6。此試驗樣本空間為=1，2，3，4，5，6，于是，應(yīng)有1=P=6PA，即PA= 。而PB=3PA= 定義1：在古典概型中，設(shè)其樣本空間所含的樣本點總數(shù)，即試驗的根本領(lǐng)件總數(shù)為N而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的根本領(lǐng)件數(shù)為NA，那么事件A的概率便定義為：例1，將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，那么該試驗的樣本空間=H，H，HH，H，TH，T，HT，H，HH，T，

14、TT，H，TT，T，HT，T，T?？梢奛=8 令A(yù)=恰有一次出現(xiàn)正面，那么A=H，T，TT，H，TT，T，H可見，令NA=3 故 例2，取球問題袋中有5個白球，3個黑球，分別按以下三種取法在袋中取球。1有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球；2無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球；3一次取球：從袋中任取3個球。在以上三種取法中均求A=恰好取得2個白球的概率。解：1有放回取球 N=8×8×8=83=512(袋中八個球，不管什么顏色，取到每個球的概率相等)先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有五種情況，第二次取白

15、球還有五種情況<注意是有放回>，第三次取黑球只有三種情況  2無放回取球故   3一次取球故 屬于取球問題的一個實例：設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機(jī)抽取15件，那么其中恰有2件次品的概率便為屬于一次取球模型例3分球問題將n個球放入N個盒子中去，試求恰有n個盒子各有一球的概率nN。解： 令A(yù)=恰有n個盒子各有一球，先考慮根本領(lǐng)件的總數(shù)先從N個盒子里選n個盒子，然后在n個盒子里n個球全排列故 屬于分球問題的一個實例：全班有40名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令A(yù)=40個同學(xué)生日皆不相同，那么有(可以認(rèn)為有365個盒子，40個球)故 例4取數(shù)

16、問題 從0，1，,9共十個數(shù)字中隨機(jī)的不放回的接連取四個數(shù)字，并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求以下事件的概率：1  四個數(shù)排成一個偶數(shù)；2  四個數(shù)排成一個四位數(shù)；3  四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)；解：令A(yù)=四個數(shù)排成一個偶數(shù)，B=四個數(shù)排成一個四位數(shù)，C=四個數(shù)排成一個四位偶數(shù)      ， ，例5分組問題將一幅52張的樸克牌平均地分給四個人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里有4張A牌的概率各為多少？解：令A(yù)=有人手里有13張黑桃，B=有人手里有4張A牌于是   &

17、#160;  ，故  不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條根本性質(zhì)：1°PA0 2° P=13° 假設(shè)A1，A2，An兩兩互不相容，那么 2、概率的統(tǒng)計定義 頻率：在n次重復(fù)試驗中，設(shè)事件A出現(xiàn)了nA次，那么稱：為事件A的頻率。頻率具有一定的穩(wěn)定性。例如見下例表 試驗者拋硬幣次數(shù) n正面A出現(xiàn)次數(shù)nA 正面A出現(xiàn)的頻率 德·摩爾根2048106105180浦豐4040214805069皮爾遜12000601905016皮爾遜240001202105005維尼300001499404998定義2：在相同條件下，將試驗重復(fù)

18、n次，如果隨著重復(fù)試驗次數(shù)n的增大，事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，那么稱常數(shù)p為事件A的概率，即PA=p不難證明頻率有以下根本性質(zhì)：1° 2° 3° 假設(shè)A1，A2，兩兩互不相容，那么 3、概率的公理化定義 數(shù)學(xué)定義定義3：設(shè)某試驗的樣本空間為，對其中每個事件A定義一個實數(shù)PA，如果它滿足以下三條公理：1° PA 0非負(fù)性2° P=1標(biāo)準(zhǔn)性3° 假設(shè)A1，A2，An兩兩互不相容，那么 可列可加性，簡稱可加性 那么稱PA為A的概率 4、幾何定義定義4：假設(shè)是Rn(n=1,2,3)中任何一個可度量的區(qū)域，從中隨機(jī)

19、地選擇一點，即中任何一點都有同樣的時機(jī)被選到，那么相應(yīng)隨機(jī)試驗的樣本空間就是，假設(shè)事件A是中任何一個可度量的子集，那么P(A)=(A)/ ()§2概率的性質(zhì) 性質(zhì)1：假設(shè)A B, 那么P(B-A)=P(B)-P(A) 差的概率等于概率之差證： 因為：A B 所以：B=A(B-A)且A(B-A)=,由概率可加性 得PB=PAB-A=PA+PB-A 即 PB-A=PB-PA 性質(zhì)2：假設(shè)A B， 那么PAPB 概率的單調(diào)性證：由性質(zhì)1及概率的非負(fù)性得 0PB-A=PB-PA，即PAPB 性質(zhì)3：PA1 證明：由于A ，由性質(zhì)2及概率的標(biāo)準(zhǔn)性可得PA1 性質(zhì)4：對任意事件A，P =1-PA

20、 證明：在性質(zhì)1中令B=便有P =P-A=P-PA=1-PA性質(zhì)5：P=0證：在性質(zhì)4中，令A(yù)=，便有P=P =1-P=1-1=0性質(zhì)6 加法公式對任意事件A，B，有PAUB=PA+PB-PAB證：由于AB=AB-AB且AB-AB=見圖由概率的可加性及性質(zhì)1便得     PAB=PAB-AB=PA+PB-AB     =PA+PB-PAB推廣: PABC=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC例6 設(shè)10個產(chǎn)品中有3個是次品，今從中任取3個，試求取出產(chǎn)品中至少有一個是次品的概率。解：令C=取出產(chǎn)品中至少

21、有一個是次品，那么=取出產(chǎn)品中皆為正品，于是由性質(zhì)4得例7，甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為和，而同時下雨的概率為，問在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。解：令A(yù)=甲城下雨，B=乙城下雨，按題意所要求的是PAB=PA+PBPAB例8設(shè)A,B,C為三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。 于是所求的概率為 三 條件概率§1條件概率的概念及計算 在事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A的條件概率，記為PA/B。條件概率PA/B與無條件概率PA通常是不相等的。例1：

22、某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職工人員結(jié)構(gòu)如下：人數(shù)男女總和非熟練工人401050其他職工210240450總和250250500現(xiàn)從該廠中任選一職工，令A(yù)= 選出的職工為非熟練工人，B= 選出的職工為女職工顯然，；而 ，定義1 設(shè)A、B為兩事件，如果PB>0，那么稱為在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率。同樣,如果PA>0，那么稱為在事件A發(fā)生條件下，事件B的條件概率。條件概率的計算通常有兩種方法：(1)由條件概率的含義計算通常適用于古典概型，(2)由條件概率的定義計算。例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是

23、好的，從中無放回地取二次晶管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？ 解： 令 A=第一次取的是好的晶體管，B=第二次取的是好的晶體管按條件概率的含義立即可得： 按條件概率的定義需先計算：；于是 例3：某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時還能正常工作的概率為0.87 .有一塊集成電路已工作了2000小時,向它還能再工作1000小時的概率為多大? 解：令 A=集成電路能正常工作到2000小時，B=集成電路能正常工作到3000小時:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有AB=B于是按題意所要求

24、的概率為：§2關(guān)于條件概率的三個重要公式定理1: ，例4:某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級的概率.解: 令 A= 任取一件產(chǎn)品為一級品, B= 任取一件產(chǎn)品為合格品，顯然 ，即有AB=A 故PAB=PA。于是, 所要求的概率便為例5:為了防止意外,在礦內(nèi)安裝兩個報警系統(tǒng)a和b,每個報警系統(tǒng)單獨使用時,系統(tǒng)a有效的概率為0.92,系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下,系統(tǒng)b有效的概率為，試求：(1)當(dāng)發(fā)生意外時,兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下,系統(tǒng)a有效的概率.解: 令 A=系統(tǒng)a有效

25、B=系統(tǒng)b 有效 , , 對問題(1) ,所要求的概率為        ，其中 (見圖)= = 于是 對問題(2),所要求的概率為：= 推廣：如果     證:由于 所以上面等式右邊的諸條件概率均存在,且由乘法公式可得= =    依此類推= 例6：10個考簽中有4個難簽,三個人參加抽簽(無放回)甲先,乙次,丙最后,試問(1)    甲、乙、丙均抽得難簽的概率為多少? (2)    甲、

26、乙、丙抽得難簽的概率各為多少?解: 令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，對問題(1),所求的概率為：對問題(2), 甲抽得難簽的概率為：乙抽得難簽的概率為丙抽得難簽的概率為        其中           于是 2.全概率公式完備事件組:如果一組事件 在每次試驗中必發(fā)生且僅發(fā)生一個,即 那么稱此事件組為該試驗的一個完備事件組例如，在擲一顆骰子的試驗中，以下事件組均為完備事件組： 1，2， 3，4，5，6； 1，2，3，4，5 ，

27、 6； ，A為試驗中任意一事件 定理2： 設(shè) 為一完備事件組，且 ，那么對于任意事件A有 證：由于 且對于任意   ，于是由概率的可加性及乘法公式便得：例7，某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對陣如下：根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4 ，中國勝日本的概率為，而日本勝美國的概率為，求中國得冠軍的概率。解：令H= 日本勝美國, =美國勝日本, A= 中國得冠軍由全概率公式便得所求的概率為例8， 盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時，從盒中任取3個使用，用后放會盒中，第二次比賽時，再取3個使用，求第二次取出都是新球的概率解： 令 H =第一次比賽時取出的3個球中有i個新球i

28、=0，1，2，3，A = 第二次比賽取出的3個球均為新球于是 , , , 而 , , , 由全概率公式便可得所求的概率3 貝葉斯公式 定理3： 設(shè) H ,H ,.H 為一完備事件組，且 又設(shè)A為任意事件，且 P(A) >0，那么有證：由乘法公式和全概率公式即可得到先驗概率例9：某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為，不患有癌癥者做此實驗反映為陰的概率也為，并假定就診者中有的人患有癌癥。某人做此實驗反響為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少？解： 令 H=做實驗的人為癌癥患者，=做實驗的人不為癌癥患者，A=實驗結(jié)果反響為陽性，實驗結(jié)果反響為陰性，由貝葉斯公式可求

29、得所要求的概率：例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,假設(shè)接收站收到的信息為X，問原發(fā)信息也是X的概率為多少?解：設(shè)H=原發(fā)信息為X由題意可知 由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為 例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中 的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占 ，甲，乙兩廠的次品率為2%，丙廠的次品率為4%，現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品1       求所取得產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；2   

30、;    求所取得產(chǎn)品是次品的概率；3       所取得產(chǎn)品是次品，問他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解：令 分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=所取得的產(chǎn)品為次品顯然 ， ， ， 對問題1，由乘法公式可得所要求的概率：對問題2，由全概率公式可得所要求的概率          對問題3，由貝葉斯公式可得所要求的概率 四 獨立性§1事件的獨立性 如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即 那么稱事件A

31、對事件B獨立。如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即 ， 那么稱事件B對事件A獨立。不難證明，當(dāng) 時，上述兩個式子是等價的。事實上，如果 ，那么有反之，如果 ，那么有即 同樣可證 總之 ，可見事件獨立性是相互的。定義1 設(shè)A，B為兩個事件，如果 ，那么稱事件A與事件B相互獨立。例1,袋中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從袋中1有放回；2無放回的取兩次球，每次取一球，令 A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球 問A，B是否獨立？解：1有放回取球情況，那么有2*3可見， ，可見A，B獨立。2無放回取球情況，那么有可見， ，故A，B不獨立。實際上就是抓鬮模型例2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個系

32、統(tǒng)，見圖每個元件的可靠性(即元件正常工作的概率)為r(0<r<1).假定兩元件工作彼此獨立,求兩系統(tǒng)的可靠性.解: 令 A= 元件a 正常工作 , B= 元件b 正常工作 ,且A,B獨立。C1= 系統(tǒng)I正常工作 , C2=系統(tǒng)II正常工作于是系統(tǒng)I的可靠性為系統(tǒng)II的可靠性為 顯然 ，系統(tǒng)可靠性大于系統(tǒng)的可靠性。定義：設(shè)A，B，C為三個事件，如果 PAB=PAPB，PAC=PAPC，PBC=PBPC，PABC=PAPBPC 那么稱A，B，C為相互獨立的。定義2：設(shè)A1，A2，An為n個事件，如果對任意正整數(shù) 及上述事件中的任意P那么稱這n個事件A1，A2，An是相互獨立的。下面幾個

33、結(jié)論是常用的 ：其它三個必成立。證：設(shè)A，B成立，即 ，于是有 故 獨立。利用這個結(jié)果便可證明其它結(jié)論，即2如果相互獨立，那么(3) 如果相互獨立，那么 證： 例3：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為 求密碼能被譯出的概率解：令A(yù)i第 個人能譯出密碼，I=1,2,3 ；A=密碼能被譯出，所要求的概率為例4：設(shè)每支步槍擊中飛機(jī)的概率為  ，(1)現(xiàn)有250支步槍同時射擊，求飛機(jī)被擊中的概率;(2)假設(shè)要以 概率擊中飛機(jī)，問需多少支步槍同時射擊？解：令A(yù)i=第i支步槍擊中飛機(jī) 1,2,n；A=飛機(jī)被擊中對問題1，n=250,所要求的概率為對問題2，n為所需的步數(shù)，按題意,即

34、, 即 于是得 §2獨立重復(fù)試驗 獨立重復(fù)試驗 在相同條件下，將某試驗重復(fù)進(jìn)行n 次，且每次試驗中任何一事件的概率不受其它次試驗結(jié)果的影響，此種試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗。      稱此試驗為貝努里試驗n重貝努里試驗 將貝努里試驗獨立重得n次所構(gòu)成n次獨立重得試驗稱為n重貝努里試驗。例如，1將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點的次數(shù)10重貝努里試驗2在裝有8個正品，2個次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個，觀察取得次品的次數(shù)5重貝努里試驗3向目標(biāo)獨立地射擊n次，每次擊中目標(biāo)的概率為P，觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)n重貝努里試驗等等一個重要的結(jié)果

35、：在n重貝努里實驗中，假定每次實驗事件A出現(xiàn)的概率為p0<p<1,那么在這n重貝努里實驗中事件A恰好出現(xiàn)k(kn)次的概率為其中q=1-p 因此，在n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的事件便可表為上式為在n次試驗中恰有k次A出現(xiàn)，而在另外n-k次A不出現(xiàn)的所有可能事件之和，這及事件的獨立性便可得到在n重貝努里試驗中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為例5：設(shè)電燈泡的耐用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.2,求三個燈泡在使用了1000小時之后：1  恰有一個燈泡損壞的概率；2       至多有一個燈泡損壞的概率。解：在某

36、一時刻觀察三個燈泡損壞情況為3重貝努里實驗。令 A=燈泡是壞的，那么假設(shè)令Bi=有i個燈泡損壞，i=0，1 2 3；對于問題1，所求的概率為對于問題2，所求的概率為  例6：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其次品率為0.01 ，該廠以每10個產(chǎn)品為一包出售，并保證假設(shè)包內(nèi)多于一個次品便可退貨，問賣出的產(chǎn)品與被退的比例多大解：賣出產(chǎn)品被退回的比例也即賣出一包產(chǎn)品被退回的概率，觀測一包內(nèi)次品即事件A，數(shù)的實驗可視為10重貝努里實驗。令那么 令C=賣出一包被退回，那么如果廠方以20個產(chǎn)品為一包出售，并保證包內(nèi)多于2個次品便可退貨，情況又將如何呢？完全類似可算得第二章 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一 隨機(jī)變量及

37、其分布函數(shù)§1隨機(jī)變量的概念 為了對各種各樣不同性質(zhì)的試驗?zāi)芤越y(tǒng)一形式表示實驗中的事件，并能將微積分等數(shù)學(xué)工具引進(jìn)概率論。我們需引入隨機(jī)變量的概念。隨機(jī)變量：設(shè)試驗的樣本空間為，在上定義一個單值實函數(shù)X=X(e),e,對試驗的每個結(jié)果e,(e)有確定的值與之對應(yīng)。由于實驗結(jié)果是隨機(jī)的，那e的取值也是隨機(jī)的，我們便稱此定義在樣本空間 上的單值實函數(shù)e為一個隨機(jī)變量。引進(jìn)隨機(jī)變量后，試驗中的每個事件便可以通過此隨機(jī)變量取某個值或在某范圍內(nèi)取值來表示了。見圖 通俗講，隨機(jī)變量就是依照試驗結(jié)果而取值的變量。例1 向靶子見圖射擊一次，觀察其得分，規(guī)定擊中區(qū)域得分擊中區(qū)域得分擊中區(qū)域得分樣本空間

38、，。定義隨機(jī)變量X表示射擊一次的得分 即 于是， 例2 觀察某 交換臺，在時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。 樣本空間，。可定義隨機(jī)變量就表示在時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。于是， 接到呼喚次數(shù)不超過次 接到呼喚次數(shù)介于至次之間 , 例3 從一批燈泡中任取一個燈泡作壽命試驗。觀察所測燈泡的壽命單位：小時 樣本空間，?？啥x隨機(jī)變量表示所測得燈泡的壽命于是， 測得燈泡壽命大于小時>500 測得燈泡壽命不超過小時。 不具明顯數(shù)量性質(zhì)的試驗也可以定義隨機(jī)變量表示試驗中每個事件。例4將一枚硬幣上拋一次，觀察正，反面出現(xiàn)的情況。 試驗的樣本空間，正面，反面。 可定義隨機(jī)變量表示上拋次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，即 于是，出現(xiàn)

39、正面。 用隨機(jī)變量表示事件常見形式有 等等這里X為隨機(jī)變量，1，2等為實數(shù)§2分布函數(shù) 定義 設(shè)X為隨機(jī)變量，對任意實數(shù)，那么稱函數(shù) F=PX 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 例1 機(jī)房內(nèi)有兩臺設(shè)備，令X表示某時間內(nèi)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，并知PX=0=0.5， PX=1=0.3，PX=2=0.2，求X的分布函數(shù)F。 解：由于X的可能取值為0，1，2故應(yīng)分情況討論： 1       當(dāng)<0時，F(xiàn)=PX=0 2       當(dāng)0<1時，F(xiàn)=PX=PX=0=0.5 3&

40、#160;      當(dāng)1<2時，F(xiàn)=PX=PX=0+PX=1=0.5+0.3=0.8 4       當(dāng)2時，F(xiàn)=PX=PX=0+PX=1+PX=2=0.5+0.3+0.2=1 總之， 例2 向一半徑為2米的圓形靶子射擊，假設(shè)擊中靶上任何一同心圓的概率為該同心圓的面積成正比，且每次射擊必中靶。令X表示彈著點到靶心距離，求X的分布函數(shù)F。 解： 當(dāng)<0時，F(xiàn)=PX=0 當(dāng)02時，F(xiàn)=PX=P擊中半徑為的同心圓=2 特別，當(dāng)=2時，1=F2=4，解得=1/4，代入上式便得 當(dāng)

41、>2時，F(xiàn)=PX=1 性質(zhì) 1。F是單調(diào)不減的，即對任意1<2，有 F1F2； 2。0F1且F-=0，F(xiàn)+=1； 3。F為右連續(xù)的，即對任意，有F+0= F。 可以證明略以上三條性質(zhì)是分布函數(shù)所具有的三條根本共同特性。 利用分布函數(shù)可求隨機(jī)變量落在某些區(qū)間上的概率，如 等等。 例3在前面打靶的例子中，X表示彈著點到靶心距離，并求得其分布函數(shù)為 于是便可以利用此分布函數(shù)，求出擊中靶上環(huán)形區(qū)域見圖的概率 隨機(jī)變量分類： 二 離散型隨機(jī)變量及其分布律§1離散型隨機(jī)變量及其分布律的概念 定義：如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個或可列個，那么稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。 X12

42、np設(shè)X的所有可能取值為1，2，n，那么稱以下一組概率 PX=i=i，i=1,2,，n, 為X的分布律。分布律也常常寫成表格形式性質(zhì)： 1。pi0,一切I； 2。 例1 設(shè)袋中裝著分別標(biāo)有-1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所標(biāo)的數(shù)字，求X的分布律。 X-123p1/61/21/3 解： X的可能取值為-1，2，3，且容易求得 故X的分布律為 例：相同條件下，獨立的向目標(biāo)射擊4次，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為，求擊中目標(biāo)次數(shù)X的分布律 解： X的可能取值為0，1，2，3，4利用二項概率公式便可求得 X01234p096X的分布律為例2 社會上定期發(fā)行某種獎券，每券

43、一元，中獎率為p，某人每次買1張獎券，如果沒有中獎便繼續(xù)買一張，直到中獎為止。求該人購置獎券次數(shù)X的分布律。如果中獎率為1%，問他至少應(yīng)買多少張獎券才能以不少于99%的概率中獎。解：1 令A(yù)i=第i次購置的獎券中獎，i=1,2,X的分布律為X123ipp(1-p)p(1-p)2p1-pi-1p2設(shè)n為所需購置的獎券數(shù)，按題意PXn99%即 即 例4 某產(chǎn)品40件，其中有次品3件，現(xiàn)從中任取3件，1求取出的3件產(chǎn)品中所含次品數(shù)X的分布律；2求取出產(chǎn)品中至少有一件次品的概率；3求出X的分布函數(shù)Fx，并作其圖形。解：1X的可能取值為0，1，2，3，且有 于是X的分布律為X0123P2任取3件產(chǎn)品中至

44、少含有一件次品的概率為PX或 PX1=1PX11PX=0=13由分布函數(shù)定義不難求得X的分布函數(shù)為 離散型隨機(jī)變量其分布函數(shù)的圖形有如下特點：(1)階梯形；2僅在其可能取值處有跳躍；3其躍度為此隨機(jī)變量在該處取值的概率。一般，假設(shè)X的分布律為PX=i =pi ,i=1,2,，那么X落在區(qū)間I內(nèi)的概率便為 從而，X的分布函數(shù)與分布律的關(guān)系便為 X01pqp§2幾個重要分布 1.兩點分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中0<p<1,q=1-p那么稱X服從參數(shù)為p的(01)兩點分布,簡稱為兩點分布,記為XB(1,p) 實際背景:在貝努里實驗中,設(shè)事件A的概率為p(0<p&l

45、t;1) 如果所定義的隨機(jī)變量X表示A發(fā)生的次數(shù)，即X01q=1-ppqp顯然X的分布律為 即 XB(1,p)例5 .一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一個進(jìn)行檢查，假設(shè)令X表示抽得廢品的數(shù)目，即X01p95%5% 那么XB(1,5%)即X的分布律為 2.二項分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為其中0p1, q=1p,那么稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為XBn,p實際背景：由第一章，獨立重復(fù)實驗一段中可知，在n重貝努里實驗中，如果每次實驗事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1) ,那么在n次獨立重復(fù)實驗中A恰好出現(xiàn)k(n)次的概率為于是，在此n 重貝努里實驗中，如果定義隨機(jī)變量X表

46、示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，那么有 即XB(n,p)例6 某工廠每天用水量保持正常的概率為 ，求最近6天內(nèi)用水量正常天數(shù)X的分布律，并求用水量正常天數(shù)不少于5天的概率。解：由二項分布實際背景可知XB6， ，于是 即X的分布律為X0123456P用水量正常天數(shù)不少于5天的概率為例7 一批產(chǎn)品的廢品率為0.03，進(jìn)行20次獨立重復(fù)抽樣，求出現(xiàn)廢品的頻率為的概率。解：令X表示20次獨立重復(fù)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù).      XB20，注意：不能用X表示頻率，假設(shè)X表示頻率，那么它就不服從二項分布所求的概率為泊松定理 如果 , 那么有近似公式：設(shè)n充分大, p足夠

47、小(一般n10,p0.1)時, 有  例8:利用近似公式計算前例中的概率.解:例9:有20臺同類設(shè)備由一人負(fù)責(zé)維修,各臺設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01,且各臺設(shè)備工作是獨立的,試求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率.假設(shè)由3人共同維修80臺設(shè)備情況又如何?解: (1) 1人維修20臺設(shè)備.令X表示某時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù). XB(20,0.01)于是,發(fā)生故障而不能及時維修的概率為(2)3人維修80臺設(shè)備假設(shè)X表示某時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，XB80，于是，發(fā)生故障而不能及時維修的概率為3.泊松分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中0，那么稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X() 或者XP()實際背

48、景：滿足以下條件的隨機(jī)質(zhì)點流一串重復(fù)出現(xiàn)的事件稱為泊松流。 1在時間 內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)的概率僅與 有關(guān)，與t無關(guān)； (2)不相交的時間間隔內(nèi)流過的質(zhì)點數(shù)彼此獨立； (3)在充分短的一瞬間只能流過一個或沒有質(zhì)點流過，要流過2個或2個以上質(zhì)點幾乎是不可能的?？梢宰C明泊松流在單位時間內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)便服從泊松分布。 例如：單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時間內(nèi)某 交換臺接到的呼喚次數(shù)； 單位時間內(nèi)走進(jìn)商店的顧客數(shù)等等；均可認(rèn)為它們服從泊松分布。 例10：設(shè) 且PX=1=PX=2，求PX=4 解：由于 ，即X的分布律為 于是有 由條件 PX=1=PX=2 可得方程 即 即 解得 =2，0棄去 所以 于

49、是 例11：設(shè) 交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布。1求在一分鐘內(nèi)接到超7次呼喚的概率；2假設(shè)一分鐘內(nèi)一次呼喚需要占用一條線路。求該交換臺至少要設(shè)置多少條線路才能以不低于90%的概率使用戶得到及時效勞。 解：1 ，其分布律為 于是，在一分鐘內(nèi)接到超過7次呼喚的概率為 2設(shè)所需設(shè)備的線路為K條，按題意應(yīng)有 PXK90% 即 PXK=1-PXK=1-PXK+10.9 即 PXK+10.1 查表得 PX6=0.0839 而PX5=0.1847 ,故應(yīng)取 K+1=6，即 K=5 所以，至少要設(shè)置5條線路才能符合要求。三 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度§1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

50、的概念 所謂連續(xù)型隨機(jī)變量是指此隨機(jī)變量的可能取值至少應(yīng)充滿某個區(qū)間且其分布函數(shù)應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，連續(xù)型隨機(jī)變量X有以下特點：(1) 對任意實數(shù)x， 事實上，；(2)下面建立連續(xù)型隨機(jī)變量X在實數(shù)x處的概率密度概念的引入首先，考慮X落在區(qū)間 內(nèi)的概率其次，求出X落在區(qū)間 內(nèi)的平均概率密度最后，令 便得到X在x處的概率密度令 ，從而便有 1.定義 設(shè) 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù) 使得對任意實數(shù)x,有 ，那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， 為X的概率密度。性質(zhì) 一切x；事實上由于 ，2.一個重要結(jié)果 事實上， 3.幾何解釋1 ，說明密度曲線 在x軸上方；2 說明密度曲線 與x軸所夾圖形的面積為1

51、；3 說明X落在區(qū)間a,b內(nèi)的概率等于以區(qū)間a,b為底，以密度曲線 為頂?shù)那吿菪蚊娣e。4.關(guān)系： 例1：連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求系數(shù)k及分布函數(shù)F，并計算概率P1.5<X<2.5 解: (1) 解得k =-1/2.于是X的概率密度為 2當(dāng) 當(dāng) 時，當(dāng) 時， 總之， 3 例2.一種電子管的使用壽命為X小時，其概率密度為某儀器內(nèi)裝有三個這樣電子管，試求使用150小時內(nèi)只有一個電子管需要換的概率。解：首先計算一個電子管使用壽命不超過150小時的概率，此概率為 令Y表示工作150小時內(nèi)損壞的電子管數(shù)，那么 Y服從二項分布 于是，此儀器工作150小時內(nèi)僅需要更換一個電子管的概率

52、67;2幾個重要分布 1  均勻分布如果隨機(jī)變量X的概率密度為那么稱X在區(qū)間a,b 上服從均勻分布，記為XUa,b；其分布函數(shù)為實際背景：如果實驗中所定義的隨機(jī)變量X僅在一個有限區(qū)間a,b上取值，且在其內(nèi)取值具有“等可能性，那么XUa,b。例2.某公共汽車從上午7:00起每隔15分鐘有一趟班車經(jīng)過某車站,即7:00,7:15,7:30,時刻有班車到達(dá)此車站,如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到達(dá)此車站候車,問他等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率。解：設(shè)乘客于7點過X分鐘到達(dá)車站，那么XU0,30,即其概率密度為于是該乘客等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率為 2指數(shù)分布如果隨機(jī)變

53、量X的概率密度為其中 ，那么稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為XE()，其分布函數(shù)為實際背景：在實踐中，如果隨機(jī)變量X表示某一隨機(jī)事件發(fā)生所需等待的時間，那么一般XE()。例如，某電子元件直到損壞所需的時間即壽命；隨機(jī)效勞系統(tǒng)中的效勞時間；在某郵局等候效勞的等候時間等等均可認(rèn)為是服從指數(shù)分布。例3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為=0.015的指數(shù)分布， 1       求 ；2       假設(shè)要使 問x應(yīng)當(dāng)在哪個范圍內(nèi)？解：由于XE()即其概率密度為 于是，1 2要使 即 取對數(shù)，便得 于是便解得 3.正態(tài)分布高斯分布如果隨機(jī)變量X的概率密度為其中 為常數(shù)，那么稱X服從參數(shù) 的正態(tài)分布，記為XN 。實際背景：在實踐中，如果隨機(jī)變量X表示許許多多均勻微小隨機(jī)因素的總效應(yīng)，那么它通常將近似地服從正態(tài)分布，如：測量產(chǎn)生的誤差；彈著點的位置；噪聲電壓；產(chǎn)品的尺寸等等均可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布。正態(tài)密度曲線： 參數(shù) 對密度曲線的影響開拓思路：怎樣利用導(dǎo)數(shù)作圖？(1)