微積分定積分ppt課件

1、微 積 分6.1 6.1 定積分的概念定積分的概念6.2 6.2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)6.3 6.3 微積分基本公式微積分基本公式6.4 6.4 定積分的換元積分法定積分的換元積分法6.7 6.7 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用6.5 6.5 定積分的分部積分法定積分的分部積分法6.6 6.6 反常積分與反常積分與函數(shù)函數(shù)6.8 6.8 定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用;問題的提出問題的提出存在定理存在定理小結(jié)小結(jié) 思考題思考題6.1 6.1 定積分的概念定積分的概念定積分的定義定積分的定義定積分的幾何意義定積分的幾何意義;abxyo曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實

2、例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出一、問題的提出)(xfy A=?;abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）;xyab1x2x下和下和 上和上和SS)(xfy 下和與上和下和與上和 ;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，上和觀察下列演示過程，注意當分割加細時，上和 、下和下和 、曲邊梯形的面積、曲邊梯形的面積A這三者之間關(guān)系；

3、并考這三者之間關(guān)系；并考慮上和慮上和 及下和及下和 的極限的極限S與與A的關(guān)系。的關(guān)系。SSSS;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)

4、系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加

5、細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系;,1210bxxxxxabann 內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干個個分分點點，在在區(qū)區(qū)間間abxyoix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間(1) 分割分割;，上任取一

6、點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 ()iifx 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx (2) 取近似取近似abxyoi ix1x1 ix1 nx)(if 它可以近似代替小曲邊梯形的面積它可以近似代替小曲邊梯形的面積, 即即()iiiAfx ;01lim()niiiAfx 1maxiinx 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為(3) 求和求和n個小矩形面積的和就是曲邊梯形的面積個小矩形面積的和就是曲邊梯形的面積A的近似值的近似值11()nniiiiiAAfx (4) 取極限取極限當分割無限加細，即小區(qū)間的最大長度當分割無限加細，即小區(qū)間的最大長度趨

7、近于零時，趨近于零時，n （這這時時）問題：問題：0n 與與是否是一回事？是否是一回事？;實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思緒：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度思緒：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路的近似

8、值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值程的精確值;（1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（3求和求和iinitvs )(1 （4取極限取極限12max,nttt 01lim()niiisvt (路程的精確值路程的精確值)（2取近似取近似,1iiitt 第第i個時間段的長度個時間段的長度:其中其中;二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義有界，有界，個個小小區(qū)區(qū)間間，分分成成了了把把區(qū)區(qū)間間nba, i1ix,x在在各各小小區(qū)區(qū)間間,i上上任任取取一一點點),2 , 1(nixxx1iii各小區(qū)間的長

9、度依次為各小區(qū)間的長度依次為)2 , 1()(nixfii作作乘乘積積上上在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(baxf中中任任意意插插入入在在,ba個個分分點點1n1,iiixx 分分割割，也也在在小小區(qū)區(qū)間間上上點點不不論論怎怎樣樣選選取取，bxxxxxann 1210如果不論對如果不論對a,b怎樣怎樣1()niiiSfx 并并作作和和 ;記為記為( ),baf x dx 即即只要當只要當0時，和時，和S總趨于確定的極限總趨于確定的極限 I，則稱，則稱這個極限這個極限 I 為函數(shù)為函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分，上的定積分， baIdxxf)( 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分

10、變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和01lim()niiifx ;留意：留意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當函數(shù)）當函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積.; 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，三、存在定理三、存在定理且且只只有有有有限

11、限個個間間斷斷點點，;對定積分的補充規(guī)定對定積分的補充規(guī)定:闡明闡明 在后面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，在后面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小;ab, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負值1A2A3A4A badxxf)(四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義 4321AAAA;幾何意義：幾何意義： 軸軸下下方方的的面面積積取取負負號號上上方方的的面面積積取取正正號號；在在軸軸數(shù)數(shù)和和在在之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代的的圖圖形形及及兩兩條條直直線線軸軸、函函數(shù)數(shù)定定積積分

12、分是是介介于于xxbxaxxfx ,)(ab;例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx ;nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 ;證明證明12nnfffnnn 12lnennfffnnn nnnnfnfnf 21lim試證試證10ln( )e.f x dx 利用對數(shù)的性質(zhì)得利

13、用對數(shù)的性質(zhì)得極限運算與指數(shù)運算交換順序得極限運算與指數(shù)運算交換順序得;11limlnenniifnn 11limlnenniifnn 12lim lnennnfffnnn 分割是將分割是將0,1n等分，分點為等分，分點為, (1,2, )iixinnnnnnfnfnf 21lim指數(shù)部分為：指數(shù)部分為：lnf(x) 在區(qū)間在區(qū)間0,1上的一個積分和上的一個積分和.;nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim10ln( )e.f x dx 因為因為)(xf在區(qū)間在區(qū)間 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xf所所以以)(lnxf在在 1 , 0上上有

14、有意意義義且且可可積積 ,;例例3 3 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點點 12, nqqq,典型小區(qū)間為典型小區(qū)間為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii; niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 ;五、小結(jié)五、小結(jié)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積