數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例2

1、2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例課題引入課題引入 觀察：觀察：633，853，1037，1257，143 11，16511，786711，我們能得出什么結(jié)論？我們能得出什么結(jié)論？ 任何一個(gè)大于等于任何一個(gè)大于等于6 6的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和 教師根據(jù)成績(jī)單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：教師根據(jù)成績(jī)單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：“全班及全班及格格” 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做叫做歸納法歸納法不完全歸不完全歸納法納法完全完全歸納歸納法法 這兩種下結(jié)論的方法都是由特殊到一般，

2、這種推理方法這兩種下結(jié)論的方法都是由特殊到一般，這種推理方法叫歸納法歸納法是否能保證結(jié)論正確叫歸納法歸納法是否能保證結(jié)論正確?(1)是不完全歸納法，是不完全歸納法，有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想，但結(jié)論不一定正確有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想，但結(jié)論不一定正確(2)是完全是完全歸納法，結(jié)論可靠，但一一核對(duì)困難歸納法，結(jié)論可靠，但一一核對(duì)困難數(shù)學(xué)小常數(shù)學(xué)小常識(shí)識(shí)1)55(,22 nnaNnn對(duì)任何對(duì)任何?2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例新授課新授課 1在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，已知首項(xiàng)為中，已知首項(xiàng)為 ，公差為，公差為 ， na1ad,2,1,0131211daadaadaa ?,314

3、 nadaadnaan)1(1 歸納歸納22)55( nnan2數(shù)列通項(xiàng)公式為：數(shù)列通項(xiàng)公式為：驗(yàn)證可知：驗(yàn)證可知：, 1, 1, 1, 11 aaaa1255 a如如2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例新授課新授課 對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：先證明當(dāng)我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：先證明當(dāng)n取第取第一個(gè)值一個(gè)值n0(例如例如n0=1) 時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN,kn0)時(shí)命題成立證明當(dāng)時(shí)命題成立證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，

4、這種證明方法叫做數(shù)時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟： ()證明當(dāng)證明當(dāng)nn0(n1)(如如n1或或2等等)時(shí)，結(jié)論正確；時(shí)，結(jié)論正確；()假設(shè)假設(shè)nk(kN*且且kn0)時(shí)結(jié)論正確，并應(yīng)用此假設(shè)證明時(shí)結(jié)論正確，并應(yīng)用此假設(shè)證明nk1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確注意注意:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可以上兩步缺一不可定定 義義2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例新授課新授課dnaan)1(1 如果如果 是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為 ，公差為，公差為 ，那么，那么na1ad對(duì)一切對(duì)一切

5、都成立都成立 Nn證明證明：（：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，,1a 左邊左邊,011ada 右邊右邊等式是成立的等式是成立的（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是,)1(1dkaak 那么那么daakk 1dkaddka 1) 1() 1(11這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知的等式對(duì)任何），可知的等式對(duì)任何 都成立都成立 Nn2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例新授課新授課數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng)證明當(dāng) 取第一個(gè)值取第一個(gè)值

6、 （如（如 或或2等）時(shí)結(jié)論正確；等）時(shí)結(jié)論正確； 10 nn0n （2）假設(shè)時(shí)假設(shè)時(shí) 結(jié)論正確，證明結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 )N(0nkkkn 且且1 kn遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)遞推依據(jù) 小時(shí)候?qū)W數(shù)數(shù)的經(jīng)歷小時(shí)候?qū)W數(shù)數(shù)的經(jīng)歷：先會(huì)數(shù)：先會(huì)數(shù)1，2，3；再數(shù)到；再數(shù)到10；再數(shù)到；再數(shù)到20以內(nèi)的數(shù)再數(shù)到以內(nèi)的數(shù)再數(shù)到30以內(nèi)的數(shù)以內(nèi)的數(shù)，終于有一天我們可以驕傲地說(shuō)：，終于有一天我們可以驕傲地說(shuō)：我什么數(shù)都會(huì)數(shù)了，為什么呢我什么數(shù)都會(huì)數(shù)了，為什么呢?因?yàn)闀?huì)數(shù)因?yàn)闀?huì)數(shù)1，2，3有了數(shù)數(shù)的有了數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)基礎(chǔ),會(huì)在前一個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上加班會(huì)在前一個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上加班1得到后一個(gè)數(shù)，進(jìn)行傳

7、遞，所得到后一個(gè)數(shù)，進(jìn)行傳遞，所以，可以說(shuō)什么數(shù)都會(huì)數(shù)了以，可以說(shuō)什么數(shù)都會(huì)數(shù)了“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”“用上假設(shè)，遞推才真用上假設(shè)，遞推才真”2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例例題講解例題講解 例例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 .)12(5312nn 【分析分析】1+3+5+(2n1)=n2當(dāng)當(dāng)n分別取值分別取值1、2、3.k、k+1時(shí)的命題是什么？時(shí)的命題是什么？n=1 命題：命題：1=12n=2 命題：命題：1+3=22 n=k 命題：命題：1+3+5+.+（2k-1）=k2n=k十十1 命題：命題：1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1

8、)=(k+1)2n=3 命題：命題：1+3+5=322.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例例題講解例題講解 例例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 .)12(5312nn 【分析分析】(2) 第一步應(yīng)做什么第一步應(yīng)做什么?本題的本題的n0應(yīng)取多少應(yīng)取多少?n0=1, 211（3）在證傳遞性時(shí)，假設(shè)什么？求證什么）在證傳遞性時(shí)，假設(shè)什么？求證什么?假設(shè)假設(shè)1+3+5+.+（2k-1）=k2求證求證1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)2（4）怎樣將假設(shè)）怎樣將假設(shè)1+3+5+.+（2k-1）=k2推理變形為推理變形為1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k

9、+1)=(k+1)22.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例例題講解例題講解 例例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 .)12(5312nn 證明證明： （1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=1，右邊，右邊=1，等式成立，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，等式成立，就是時(shí)，等式成立，就是kn .)12(5312kk 那么那么222)1(121)1(2(1)1(2)12(531 kkkkkkk這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知的等式對(duì)任何），可知的等式對(duì)任何 都成立都成立 Nn用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1、1+2+

10、3+n=n(n+1)/2 (nN)；證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊=1,右邊右邊=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是 1+2+3+k =k(k+1)/2那么，那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)(k+1)+1/2這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。時(shí)，等式也成立。因此因此,根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)可斷定可斷定,等式對(duì)于任何等式對(duì)于任何nN都成立。都成立。練習(xí)：練習(xí)：2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*)證明證明:(1)當(dāng)當(dāng)

11、n=1時(shí)時(shí),左邊左邊=1,右邊右邊=1,等式是成立的。等式是成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是時(shí)等式成立，就是 1+2+22+2k-1 =2k-1那么，那么， 1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =22k-1 =2k+1-1這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。時(shí)，等式也成立。 因此因此,根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)可斷定可斷定,等式對(duì)于任何等式對(duì)于任何nN*都成立。都成立。練習(xí)：練習(xí)：歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)

12、歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論；數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般、科學(xué)方法，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般、由有限到無(wú)窮由有限到無(wú)窮 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想： 在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運(yùn)用運(yùn)用“有限有限”的手段來(lái)解決的手段來(lái)解決“無(wú)限無(wú)限”的問(wèn)題的問(wèn)題

13、數(shù)學(xué)歸納法的核心數(shù)學(xué)歸納法的核心: 在驗(yàn)證命題在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性證明命題具有傳遞性,而第二而第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推理代替了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程步實(shí)際上是以一次邏輯的推理代替了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程.所以說(shuō)數(shù)所以說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，實(shí)現(xiàn)了有限學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，實(shí)現(xiàn)了有限到無(wú)限的飛躍。到無(wú)限的飛躍。2.1 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例課課堂堂小小結(jié)結(jié)2.1 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法及及其其應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例練習(xí)練習(xí).下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題 的過(guò)程的過(guò)程.你認(rèn)

14、為他的證法正確嗎你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么為什么? (1).當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 右邊右邊= (2).假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立 即即那么那么n=k+1時(shí)時(shí), 左邊左邊 =右邊右邊,即即n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立.由由(1)(2)知知,對(duì)一切自然數(shù)對(duì)一切自然數(shù),命題均正確命題均正確. 212111) 1(1321211nnnn211111) 1(1321211kkkk1)1(211)2111()3121()211(kkkkk2004，11，20哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想v德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過(guò)觀察德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：任何大于任何大于5的整數(shù)的整數(shù),都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和,他猜他猜想這個(gè)命題是正確的想這個(gè)命題是正確的,但他本人無(wú)法給予證明但他本人無(wú)法給予證明.1742年年6月月6日日,哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉家歐拉,歐拉經(jīng)過(guò)反復(fù)研究歐拉經(jīng)過(guò)反復(fù)研究,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵在于證明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵在于證明任意大于任意大于2的偶數(shù)能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的