知識點-立體幾何知識點常見結(jié)論總結(jié)

1、立體幾何高考知識點和解題思想?yún)R總補充：三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識四心的概念介紹：(1)重心中線的交點：重心將中線長度分成 2: 1;(2)垂心一一高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)心一一角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;(4)外心中垂線的交點(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點的距離相等。垂心重心內(nèi)心外心若P為ABC所在平面外一點，。是點P在 ABC內(nèi)的射影，則：若PA PB PC或PA、PB、PC與所成角土§相等，則。為 ABC的外心；若P到 ABC的三邊的距離相等，則。為ABC勺內(nèi)心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，或PA BC,PB

2、 AC則。為 ABC的垂心.常見空間幾何體定義：1 .棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由 這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，這兩個面為底面，其他面為側(cè)面。棱柱具有下列性質(zhì)：1)棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；2)棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3)直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。棱柱的分類：斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各個側(cè)面

3、都是全等的矩形。平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱。直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體2 .棱錐：有一個面是多邊形 ，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫 做棱錐.(1)如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面，這樣的棱錐稱為 正棱錐.正棱錐具有性質(zhì)：正棱錐的頂點和底面中心的連線即為高線；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰 三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做這個正棱錐的斜高.(2)底邊長和側(cè)棱長都相等的三棱錐叫做正四面體.(3)依次連結(jié)不共面的四點構(gòu)成的四邊形叫做空間四邊形.常見幾何題表面積

4、、體積公式1 .旋轉(zhuǎn)體的表面積(1) 圓柱的表面積S =2 r2 +2 rl (其中r為底面半徑，l為母線長).(2) 圓錐的表面積S = r2+ rl (其中r為底面半徑，l為母線長).(4) 球的表面積公式S =4 R2 (其中R為球半徑).2 .幾何體的體積公式(1)柱體的體積公式V= Sh(其中S為底面面積，h為高).1(2)錐體的體積公式V= Sh(其中S為底面面積，h為局).3(3)球的體積公式V= 4兀(其中R為球半徑).3三棱錐外接球問題：一、正四面體：如圖1,正四面體ABCD勺邊長為a,高為h ,其外接球與內(nèi)切球球心重合，且有關(guān)系：r R h "a,有外接圓球半徑為

5、：a,內(nèi)切圓的球半徑為："a,比例為3:1。3412答案：C 二、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為 a,b,c,則體對角線長為l Ja2 b2 c2 ,幾何體222E的外接球直徑2R為體對角線長l即R “ a b c2【例題】：在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為 1,76,3,若該四面體的四個頂 點在一個球面上，求這個球的表面積。解：因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長，所以：四面體外接球的直徑為AE的長2即：4R2 AB2 AC2 AD2 , 4R2 12 32 V6 16 所以 R 2,球的表

6、面積為 S 4 R2 16二、出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點?！纠}】：已知三棱錐的四個頂點都在球 O的球面上，AB BC且PA 7 , PB 5, PC J51 , AC 10, 求球O的體積。解：AB BC且 PA 7, PB 5, PC J不，AC 10,一2cccc因為7 v51 10所以知AC PA PC所以PA PC所以可得圖形為：在Rt ABC中斜邊為AC在Rt PAC中斜邊為AC取斜邊白中點O ,在 Rt ABC 中 OA OB OC在 Rt PAC 中 op ob OC所以在幾何體中OP OB OC O

7、A,即O為該四面體的外接球的球心1R - AC 52所以該外接成W勺體積為V 4 R3 50里33【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。立體幾何總結(jié)：1、多邊形內(nèi)角和：（n-2）*1802、30°直角三角形，邊比例1:2:根33、30° 300 120°三角形邊比例1:1 :根34、45°直角三角形邊比例1:1 :根25、多面體的體積為V,表面積為S,則有內(nèi)切或勺半徑為r 3VS第一節(jié)平面、空間直線（3）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉(zhuǎn)化法放到三角形中去求， 用好正、余弦定理.常用的平移方法有：直接平移法

8、；中位線平移法（涉及中點時常用） ；補形 法.第二節(jié)空間直線與平面核心知識點2、線面平行的判定和性質(zhì)（2）線面平行的判定（用來證明直線與平面平行的方法）：（判定定理）如果平面 外一直線a與平面內(nèi)一直線b平行，則直線a與平面 平行，下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法： . .一 一圖 9-2-1如果平面外的兩條平行直線a,b中有一條和平面 平行，則另一條也和平面 平行如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另外一個平面如果直線a 垂直于平面，平面 外的直線b 與直線 a 垂直，則直線b 平行于平面若平面 和 外的一直線a都垂直于同一個平面，則直線a平行于平面（ 3）

9、線面平行的性質(zhì)定理：（ 如圖 9-2-2） 如果直線l 與平面 平行， 過直線 l 的平面 與面 相交， 則交線與直線l 平行3、線面垂直的判定和性質(zhì)：（ 1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。（ 2）線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法）圖 9-2-2（判定定理1）如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直。（判定定理2）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。 （面面平行的性質(zhì)定理）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這條直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）如果兩個平面垂直，則

10、在其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則交線也垂直于第三個平面（ 3）線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行4、線面角（ 1）如果平面外的直線l 與平面 不平行也不垂直，則稱直線l 為平面 的斜線，設(shè)l O ，在 l 上任取一點P （ P不與斜足O重合），過P作面 的垂線，垂足為P',則垂足P'與斜足O的連線OP'叫做斜線 l 在平面上的射影，l 與其射影OP' 的夾角 叫做 l 與面 所成的角。規(guī)定：當(dāng)l / 或 l 時，0 ， l 時 90 ，于是線面角的范圍是0 ,90 5、三垂線

11、定理：一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直6、三垂線逆定理：一直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直7、方法總結(jié)：下面的幾個結(jié)論是找垂足的有力工具：（1）若P為ABC所在平面外一點,。是點P在 ABC內(nèi)的射影，則：若PA PB PC或PA、PB、PC與所成角土§相等，則。為 ABC的外心；若P到 ABC的三邊的距離相等，則。為ABC勺內(nèi)心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，或PA BC,PB AC則。為 ABC的垂心. （ 2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂

12、直于另一個平面。第三節(jié) 空間平面與平面核心知識點：1、面面平行的判定和性質(zhì)（ 1）面面平行的判定：（判定定理）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；（線面平行 面面平行）垂直于同一直線的兩平面平行；（線面垂直面面平行）（面面平行的傳遞性）如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；（ 2）面面平行的性質(zhì)若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面；（面面平行 線面平行）若兩個平行平面同時與第三個平面相交，則兩交線平行；（面面平行 線線平行）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則該直線也和另一個平面垂直；夾在兩平行平面間的平行線段相等；

13、經(jīng)過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行2、兩個平行平面間的距離：如果直線l 與兩平行平面都垂直，垂足分別為A, B ，則稱線段AB 的長為兩平行平面間的距離3、二面角的定義及表示方法：（ 1）定義：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線發(fā)出的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；（ 2）表示方法：棱為AB （或 l ） ，面為 , 的二面角記為AB （或 l ） 4、二面角的平面角在二面角的棱上任取一點，過該點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二面角的平面角（范圍： 0 ,180

14、 ） 5、面垂直的判定和性質(zhì)（ 1）面面垂直的判定：（定義法）兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面垂直（即求證二面角的平面角是直角）（判定定理）如果平面經(jīng)過了平面 的一條垂線，則 ；（線面垂直 面面垂直）（ 2）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面；（面面垂直線面垂直）若兩平面垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).方法總結(jié)（ 1）熟記面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的相關(guān)定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行，則只需去其中一個平面內(nèi)找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需

15、在其中一個平面內(nèi)去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過程中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的思想；（ 2）有關(guān)面面平行和垂直的相關(guān)的定理之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，要結(jié)合上節(jié)的知識；（ 3）與面面距離相關(guān)的問題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五節(jié)中系統(tǒng)地講解第四節(jié)空間角核心知識點：高考中立體幾何題的計算常涉及“求角”、 “求距離”、 “求面積或體積”三類問題，其中“求角”問題幾乎年年涉及，求角問題包括異面直線所成的角，線面角及二面角的平面角三種空間角的概念及范圍(1)異面直線所成的角：過空間任一點分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角(或直角)叫做兩異面直線所成的角.異面直線所成角的范圍 .(2)直線與平面

16、所成的角：當(dāng)1或l時，l與 所成的角為0 ;當(dāng)l 時，l與 所成的角為90；當(dāng)1與 斜交時，l與 所成的角是指l與l在面 上的射影l(fā)'所成的銳角.線面角的范圍：(3)二面角的平面角須具有以下三個特點：頂點在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直.二面角的范圍： .方法總結(jié)：1、求異面直線所成角的方法：主要通過平移轉(zhuǎn)化法來作出異面直線所成的角，然后利用三角形的邊角 關(guān)系(正、余弦定理)求角的大小，要注意角的范圍.2、求線面角的一般過程是：(1)在斜線上找到一個合適的點 P,過P作面 的垂線(注意垂足P的確定)，垂足P和斜足A的連線即為斜線PAE平面 上的射影，則 PAP&#

17、39;即為所求；(2)將 PAP'放到 PAP'或其它包含此角的三角形中去求.說明：在解題過程中，我們會發(fā)現(xiàn)求角問題難在作角，其中又難在過平面外一點，作平面的垂線后，垂足位置的確定.復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意對常用的找垂足的方法進行歸納總結(jié).上面的(2)及下面的幾個結(jié)論是找垂足的有力工具：(1)若P為ABC所在平面 外一點，。是點P在內(nèi)的射影，則：若PA PB PC或PA、PB、PC與所成角土§相等，則。為 ABC的外心；若PU ABC的三邊的距離相等，則。為ABCABC的內(nèi)心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，或PA BC,PB AC則。為 ABC的垂心.(2)面面垂直的性質(zhì)定

18、理：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面；第五節(jié)空間距離核心知識點點線距、點面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見求距離的問題.常見的空間距離的求法：(1)求點到直線的距離利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；(2)點到平面的距離的求解方法一般有兩種：直接求解法：從該點向平面引垂線，確定垂足位置，這里要用到兩個平面垂直的性質(zhì)定 理，求出點和垂足之間的距離即可.“體積代換法”：把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為以該點為頂點，平面內(nèi)的一個三角形為底面的三棱錐的高， 再通過變換(從方便求高的角度)三棱錐頂點用等體積法，求點到平面的距離.這種方法比較常用，應(yīng)掌握.(3)直線到它的平行平面的距離通常轉(zhuǎn)化為直線上一個特殊點到平面的距離，要找到直線和它的平行平面的公垂面，直線和公垂面的垂 足就是這個特殊點，從這點向公垂面和已知平面的交線引垂線段，該垂線段就是直線到它的平行平面的 距離，還可以用等體積法求特殊點到平面的距離.(4)兩個平行平面的距離求解時，在一個面內(nèi)任取一點，作它到另一平面的垂線段，垂線段的長就是所求.實質(zhì)上也是點到平面 的距離.因此，點面距離的求解方法，對求解面到面的距離仍然適用.(5) 兩條異面直線間的距離要注意定義中“都垂直且相交”的理解兩條異面直線的距離是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最段的一條. 求解方法主要是定義法: 找出兩異面