第六章第3講基本不等式

1、課本溫故追報(bào)求源第3講基本不等式(教材回顧夯實(shí)基礎(chǔ)')%知識(shí)毓理a+b1. 基本不等式.abw廠(1) 基本不等式成立的條件：a>0,b>0.等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).2. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為豐羅，幾何平均數(shù)為，ab，基本不等式可敘述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3. 利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0，則如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)住y時(shí)，x+y有最小值是2；.p.(簡(jiǎn)記：積定和最小)2如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)卓y時(shí)，xy有最大值是,(簡(jiǎn)記：和定積最大)

2、做一做1. 已知a,b(0,+s)，若ab=1，貝Ua+b的最小值為;若a+b=1,則ab的最大值為.ab<解析：由基本不等式得a+b>2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取到等號(hào);1 14, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取到等號(hào).1答案：2-4婆點(diǎn)整合1. 辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1) 使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三個(gè)條件缺一不可;(2) 連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.2. 活用幾個(gè)重要的不等式a2+b2>2ab(a,bR)；b+a>2(a,b同號(hào)).abbR).3. 巧用“拆”“拼”“湊”在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其

3、滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.做一做a|b2. “a>0且b>0”是“.ab”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件答案：A43. 若x>1，貝Ux+的最小值為x-144解析：x+=X1+1>4+1=5.X1X14當(dāng)且僅當(dāng)X1=，即x=3時(shí)等號(hào)成立.X1答案：5典例剖析考點(diǎn)突破名師導(dǎo)悟以例說法考點(diǎn)一一利用基本不等式證明不等式已知a>0,b>0,a+b=1,1+a1+b9.證明法一：/a>0,b>0,a+b=1,求證:1a+bb廠也1a+a=1+h=2+a.同理，1+丁2+b.1+a1+b

4、=2+b2+aaA5+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=a，即a=b時(shí)取“=”bab三1+1>9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立.f1¥1、1111+a1+b=1+a+b+晶a+b12ab+ab+ab，''a,b為正數(shù)，a+b=1,a+b211=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取“=”.I2丿42法二:'ab<121于是土A4,-2a8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取“=”.abab2+1A1+8=9,1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=孑時(shí)等號(hào)成立.在本例條件下求證證明：/a>0,b>0,a+b=1,a+ba+bba+=2+b+bA2+ai=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立.11-+

5、aba11“.一+=4.ab規(guī)律方法利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng),并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等.1.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：虹+乎+ab>a+b+c.abc利用基本不等式證明不等式的方法技巧要從整體上把握運(yùn)用基本證明：/a,b,c都是正數(shù)，bc,乎，ab都是正數(shù).abcbc+C22c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，Ca+abA2a,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，他abbccQcca三式相加，得2+bc>2b，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.a2(a+b+c)，即bc

6、+T+弊a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.考點(diǎn)二_利用基本不等式求最值(高頻考點(diǎn)).利用基本不等式求最值是高考的?？純?nèi)容，題型主要為選擇題、填空題.高考對(duì)利用基本不等式求最值的考查常有以下三個(gè)命題角度：(1) 知和求積的最值；知積求和的最值；(3) 求參數(shù)的值或范圍.1 1(1)當(dāng)0<x<2時(shí)，函數(shù)y=2x(12x)的最大值為.7+2.3(2014高考重慶卷)若Iog4(3a+4b)=log2ab,則a+b的最小值是()A.6+23B.C.6+4,3D.7+4、3(3)(2015吉林長(zhǎng)春調(diào)研則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(汽2)U4,(汽4U2,(2,4)(4,2)A.B.C.D.)

7、若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,)+)+)212y滿足x+-=1,并且x+2y>m+2m恒成立,掃一掃進(jìn)入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)()基本不等式1解析(1)0<x<2,12x>0,2x212=洛1x=4時(shí)取到等號(hào),由題意得ab>0,3a+4b>0,又Iog4(3a+4b)=log2.ab,所以所以所以a>0.Jb>0.log4(3a+4b)=log4(ab),3a+4b=ab,故：+卜1.如b=7+半+3a7+a+b=(a+b)瞥7+4.3,當(dāng)且僅當(dāng)警字時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)2x=12x,即則y=42x(12x)<4fx+1_丄ymax=16"ab>0,等號(hào).故選

8、D.(3)x+2y=(x+2y)1=2+4y+x+2>8，當(dāng)且僅當(dāng)矽=-,!卩x=2y時(shí)等號(hào)成立.由yxyxyx+2y>m+2m恒成立，可知m+2m<8,m+2m8<0，解得4<m<2.1答案點(diǎn)(2)D(3)D規(guī)律方法等.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：一正二定三相就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最(1) “一正”(2) “二定”大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3) “三相等”即檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，判斷等號(hào)能否取到，只有等號(hào)能成立，才能利用基本不等式求最值.理卅耀扯kmmxbmb

9、pHUS的最大值為4(2) 若x<3，則函數(shù)f(x)=一+x的最大值為.x3(3) 已知函數(shù)y=ax+32(a>0,a1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線盒+專=1上,且m,n>0,貝U3m+n的最小值為.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1，貝Ua2+4b2+晶的最小值為.2x22解析：(1)Vx>0,f(x)=十w2=1,x+1x+x當(dāng)且僅當(dāng)1x=1，即x=1時(shí)取等號(hào).x<3,X3<0,*3x>0,44'f(x)=+x=+(x3)+3(3-x)+3<2x3x34(3x)+33x=1,當(dāng)且僅當(dāng)丄=3x,3x即x=1時(shí)，等號(hào)成立.故f(x)的最

10、大值為1.(3)易知函數(shù)y=ax+32(a>0,a1)恒過定點(diǎn)(一3,1)，所以A(3,1).又因?yàn)辄c(diǎn)A在直線m+y=-1上，所以mm+n=1.所以3m+n=(3m+n)g+£)=10+罟+詈10+2-晉晉=16，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，等號(hào)成立，所以3m+n的最小值為16.因?yàn)閍>0,b>0,1=a+2b>2,2ab,所以ab<8當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)閍2+4b2+Ob2a(2b)+秸=4ab+點(diǎn)令t=ab,所以f(t)=4t+因?yàn)閒(t)在0,£上171，此時(shí)a=2b=2.答案：(1)1(2)1(3)1617考點(diǎn)三利用基本不等式解

11、決實(shí)際問題小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬元,在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，W(x)=£x2+x(萬元).在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，W(x)=6x+100-3x38(萬元).每件產(chǎn)品售價(jià)為5元.通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.(1) 寫出年利潤(rùn)L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)=年銷售收入固定成本流動(dòng)成本)(2) 年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，貝Ux萬件商品銷售收入為5

12、x萬元，依題意得，當(dāng)2、12L(x)=5xx+x3=gx+4x3;rf100當(dāng)x8時(shí)，L(x)=5x6X+Q-12§x+4x3,0<x<8.所以L(x)=10035x+=,x>8.12當(dāng)0<x<8時(shí)，L(x)=3(x6)+9.此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)=9萬元，x+晉產(chǎn)35-2"罟=3520=15,3=35-x+罟.0<x<8時(shí)，當(dāng)x>8時(shí)，L(x)=35-此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)，即x=10時(shí)，L(x)取得最大值15萬元.x9<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大.最大

13、利潤(rùn)為15萬元.規(guī)律方法應(yīng)用基本不等式解實(shí)際問題的步驟：理解題意，設(shè)變量；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；寫出正確答案.2萬元，x年的年平3. 某化工企業(yè)2014年年底投入100萬元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備均污水處理費(fèi)用為y(單位：萬元).(1) 用x表示y;(2) 當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備，則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備

14、.解：由題意得，y=100+0.5x+(2+4+6+2x)100*即y=x+1.5(xN).x(2)由基本不等式得：x=晉，即x=10時(shí)取等號(hào)，y=x+他+1.52x00+1.5=21.5，當(dāng)且僅當(dāng)3xVx故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.(名師講壇*素養(yǎng)提升J考題溯源基本不等式的實(shí)際應(yīng)用(2014高考福建卷)要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是(單位：元).y元，貝卩y=20x44解析設(shè)該長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為xm,則寬為-m.又設(shè)該容器的造價(jià)為4>2x入+2x+4x10,即y80

15、+20g+f(x>0).因?yàn)閤+4當(dāng)且僅當(dāng)x=£即x=2時(shí)取，所以ymin=80+20X4=160(元).答案160考題溯源本題源于教材人教A版必修5P99例2“某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？”只對(duì)題目數(shù)字作一變動(dòng)，其解法完全相同.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上，D點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線MN過點(diǎn)C,已知AB=3米，AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什

16、么范圍內(nèi)？當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?解：(1)設(shè)DN的長(zhǎng)為x(x>0)米，則|AN|=(x+2)米.!DNj=|DC1|AN|AM|，3(x+2)|AM|=x，23(x+2)'S矩形ampn=|AN|AM|=x,3(x+2)2由S矩形ampn>32,得>32.x又x>0，得3x2-20x+12>0,解得0<x<x>6,(2)矩形花壇的面積為23x+12x+12即DN長(zhǎng)的取值范圍是0,3U(6,+a).(單位：米)23(x+2)y=3xx12=3x+12(x>0)12+12=24,x，12當(dāng)且僅當(dāng)

17、3x=即x=2時(shí)，矩形花壇的面積最小，為24平方米.x知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)J基硼達(dá)標(biāo)1. （2015青島模擬）設(shè)a,bR，已知命題p:a2+b2<2ab;命題q:則p是q成立的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.當(dāng)p成立的時(shí)候，q定成立，但當(dāng)q成立的時(shí)候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要條件.bR，且abz0,則下列結(jié)論恒成立的是（）2.（2015上海黃浦模擬）已知a,a+b>2abB.b+a2a+b>2baC.D.a2+b2>2abA不成立，當(dāng)a,b一正一負(fù)時(shí)，B不成立，當(dāng)a=b解析：選C.當(dāng)a,b都是負(fù)數(shù)時(shí)，時(shí)，D

18、不成立，因此只有選項(xiàng)C是正確的.2. 若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是（）A.0,2B.2,0C.2,+）D.（a,2解析：選D.-2x+2y>22x2y=22x+y（當(dāng)且僅當(dāng)2x=2y時(shí)等號(hào)成立），：.'12x+yw4，得x+yw2.123. (2015湖北黃岡模擬)設(shè)a>1,b>0,若a+b=2,則肓+-的最小值為()A.3+2.2B.6C.42D.2.2解析：選A.由a+b=2，可得(a1)+b=1.2 b2(a1)-b(a1+b)=+32；2+3.丿a1b因?yàn)閍>1,b>0，所以丄+；=a1b當(dāng)且僅當(dāng)=2(a門，即a=2,b=2.2時(shí)取等號(hào).

19、a1b4. （2015山東青島質(zhì)檢）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*，”對(duì)任意a,bR,a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意aR,a*0=a;（2）對(duì)任意a,bR,a*b=ab+（a*0）+（b*0）.貝U函數(shù)f（x）=（ex）*1的最小值為（）eA.2C.6B.3D.8解析：選B.依題意可得f(x)=(ex)*4=ex+£+1>2",；ex£+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)eee1=”成立，所以函數(shù)f(x)=(ex)*ex的最小值為3,故選B.5. 已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an中，a4與ai4的等比中項(xiàng)為2,2,則2a?+an的最小值解析：由已知a4ai4

20、=(2、J2)=8.再由等比數(shù)列的性質(zhì)有a4ai4=a7aii=8.又Ta7>0,aii>0,'2a7+aii22a7aii=8.當(dāng)且僅當(dāng)2a7=aii時(shí)等號(hào)成立.答案：86. 某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y=x2+i8x25(xN).則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是萬元.當(dāng)且僅當(dāng)解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為?=i8(x+乎)，而x>0，故fwi8225=8,x=5時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬元.答案：58&已知a,bR，且ab=50,則|a

21、+2b|的最小值是”.解析：依題意得，a,b同號(hào)，于是有|a+2b|=|a|+|2b|>2-|a|憶b|=2.2|ab|=2,100=20,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|2b|=10時(shí)取等號(hào)，因此|a+2b的最小值是20.答案：20382x-3的最大值;9.(1)當(dāng)x<|時(shí)，求函數(shù)y=x+設(shè)0<x<2，求函數(shù)y=x(42x)的最大值.183解:(1)y=(2x3)+2 2x323+3.32x8+3 2xy3當(dāng)x<|時(shí),有3-2x>0,32x丁+3232x8232x=4，2,當(dāng)且僅當(dāng)32X81Q，即x=:時(shí)取等號(hào).232x23 55于是yw4+3=2,故函數(shù)的最大值為一-

22、/0<x<2,：2x>0,y=x(42x)x+2x(2x)w.2當(dāng)且僅當(dāng)x=2x,即卩x=1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=x(42x)的最大值為210.已知x>0,y>0,且2x+8yxy=0，求(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值.解：(1)由2x+8yxy=0,得8+j=1,xy，又x>0,y>0,則1=8+2>xy得xy>64,當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí)，等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.由2x+8yxy=0,得8+-=1,xy2、-(x+y)=10+空+8y>10+2么翌=18.yxyx當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時(shí)等號(hào)成立，

23、'x+y的最小值為18.能力提升1不等式x2+x<a+-對(duì)任意ba0)1)a,b(0,+s)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(-2,C.(2,解析：選C.根據(jù)題意，由于不等式B.(32)U(1,+)D.(3,4)U(2,+8)2ab2X+x<b+a對(duì)任意a,b(0,+3)恒成立，則x+',ab=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，x2+x<2，求解此一元二次x=2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z=x23xy+4y2=4y26y2+4y2=2y2,*xEJ+1，當(dāng)y=1時(shí)，2+"Jf的最大值為1.x2+y24x+2y=0的曲線關(guān)于直線ax-12=孑+y=a+b2a丄

24、bx<b+amin,b不等式可知2<x<1，所以x的取值范圍是(2,1).故選C.2. (2013高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x23xy+4y2z=0.則當(dāng)歲取得最大值時(shí),2+12的最大值為()xyzA.0C9C.4解析：選B.z=x23xy+4y2(x>0,y>0,z>0),x-=x-=1w丄=1.zx23xy+4y2x+4y343yx當(dāng)且僅當(dāng)x=4yyx12212+一_=+yz2y'y2y3.(2015云南統(tǒng)一檢測(cè))已知a>0,b>0，方程為by1=0對(duì)稱，則3a土型的最小值為ab解析：該曲線表示以(2,1)為圓心的圓，由題意知

25、直線axby1=0經(jīng)過圓心(2,1)，貝U2a+b1=0,即2a+b=1，所以3a+2bab2-a+3b326a2b計(jì)a(2a+b)=石+石+7>2b石+7=4,3+7（當(dāng)且僅當(dāng)a=23,b=2.33時(shí)等號(hào)成立）.答案：4.3+74. （2014高考湖北卷）某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒），平均車長(zhǎng)1（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F=異畀.v+18v+201（1）如果不限定車型，I=6.05，則最大車流量為輛/時(shí)；如果限定車型，1=5，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加輛/時(shí).76000v76000,7600076000解析:（1）當(dāng)1=6.05時(shí)，F(xiàn)=<=1900.v+伽+121v+空+18vM!+1822+18v=11米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為1900輛/時(shí).當(dāng)l=5時(shí)，F(xiàn)=g=誕鶯76000當(dāng)且僅當(dāng)+!8器=2000.當(dāng)且僅vv當(dāng)v=10米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為2000輛/時(shí).比中的最大車流量增加100輛/時(shí).答案：(1)1900(2)1005.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求：(1)u