第八章第2次課 (1)

1、數(shù)理方程總結(jié)數(shù)理方程總結(jié)一、線性方程和疊加原理一、線性方程和疊加原理線性算符線性算符：僅含一階或二階偏導數(shù)的一次冪。：僅含一階或二階偏導數(shù)的一次冪。疊加原理疊加原理：對于線性方程：對于線性方程Lu(x,y,z,t)=0而言，而言，若若u1和和u2是方程的解，則它們的線性組合是方程的解，則它們的線性組合u3=c1u1+c2u2也是方程的解。也是方程的解。二、定解條件二、定解條件1、初始條件、初始條件0 x0 xLuh2、邊界條件、邊界條件1）第一類邊界條件）第一類邊界條件：給定要求解的函數(shù)：給定要求解的函數(shù)u在邊界上的值。在邊界上的值。例：取一根長度為例：取一根長度為L的弦，把它的兩端固定。的弦

2、，把它的兩端固定。例：細桿導熱問題，桿的一端例：細桿導熱問題，桿的一端x=L處與恒溫處與恒溫T的環(huán)境中。的環(huán)境中。2）第二類邊界條件）第二類邊界條件：給定要求解的函數(shù)：給定要求解的函數(shù)u在邊在邊界上的法向?qū)?shù)值。界上的法向?qū)?shù)值。例：細桿的橫振動問題，桿的一端如果不受任何例：細桿的橫振動問題，桿的一端如果不受任何約束。約束。3）第三類邊界條件：）第三類邊界條件：一和二的組合一和二的組合例：細桿的導熱問題，如果桿的例：細桿的導熱問題，如果桿的x=L端自由冷卻，端自由冷卻，環(huán)境溫度為環(huán)境溫度為T。4）銜接條件：）銜接條件：由于某種原因，所研究的體系內(nèi)部由于某種原因，所研究的體系內(nèi)部出現(xiàn)某種突變。出

3、現(xiàn)某種突變。 舉例舉例1 對于柔軟弦的縱向微振動問題導出下對于柔軟弦的縱向微振動問題導出下述情況的初始條件：述情況的初始條件： 如圖所示，弦的兩端固定，用橫向力如圖所示，弦的兩端固定，用橫向力F拉弦拉弦上的點上的點x=x0(設(shè)設(shè)FFT,FT為弦的張力為弦的張力)，把弦，把弦拉成如圖所示的三角形狀，即達到平衡后拉成如圖所示的三角形狀，即達到平衡后放手放手x=0 x=x0 x=LhFFTFT 舉例舉例3：一長為：一長為L的勻質(zhì)細桿，導熱系數(shù)為的勻質(zhì)細桿，導熱系數(shù)為k，左端有恒定的熱流流入，有恒定的熱流流左端有恒定的熱流流入，有恒定的熱流流出，熱流強度（即單位時間流過單位界面出，熱流強度（即單位時間

4、流過單位界面的熱量）都是的熱量）都是Q，寫出該熱傳導問題的邊界，寫出該熱傳導問題的邊界條件。條件。 QQx=0 x=L 例例4：一根導熱桿由兩種介質(zhì)構(gòu)成，兩段的：一根導熱桿由兩種介質(zhì)構(gòu)成，兩段的導熱系數(shù)、比熱容、質(zhì)量密度分別為導熱系數(shù)、比熱容、質(zhì)量密度分別為k1,c1, 1和和 k2，c2， 2。桿中的初始溫度分布。桿中的初始溫度分布為，且桿的兩端和側(cè)面都保持絕熱。寫出為，且桿的兩端和側(cè)面都保持絕熱。寫出這個熱傳導問題的整個定解問題。這個熱傳導問題的整個定解問題。IIIx=0 x=ax=b一長為一長為L的柔軟均質(zhì)重弦，上端固定在的柔軟均質(zhì)重弦，上端固定在以勻角速度以勻角速度 緩慢地轉(zhuǎn)動的豎直軸上，緩慢地轉(zhuǎn)動的豎直軸上，由于重力的作用，重弦的平衡位置是由于重力的作用，重弦的平衡位置是豎直線，試證明重弦相對于豎直線的豎直線，試證明重弦相對于豎直線的橫向微振動方程為：橫向微振動方程為：式中為弦的相對于豎直軸的橫向位移，式中為弦的相對于豎直軸的橫向位移，g是重力加速度。是重力加速度。222,txuxtxuxlxgttxu0uFTxFT x+dxF=dxu2xxx+dx一半徑為一半徑為R而表面熏黑的金屬長而表面熏黑的金屬長圓柱體，受到陽光照射，陽光方圓柱體，受