計(jì)算方法第一章_緒論好用2013秋改上課用

1、計(jì) 算 方 法主講：李福利主講：李福利哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)教研室哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)教研室電子郵箱：電子郵箱：教材：計(jì)算方法 張池平 主編 科學(xué)出版社參考書(shū)：計(jì)算方法學(xué)習(xí)指導(dǎo) 陳艷梅 主編 科學(xué)出版社考核方式及課程要求 上機(jī)+平時(shí)作業(yè) ：20% 期末考試：閉卷 80% 本課程為限修課，選課同學(xué)務(wù)必在網(wǎng)上選課 課程小論文+10% （選）：word2003發(fā)至電子郵箱 上機(jī)要求：Matlab語(yǔ)言 5人一組， word2003 編輯完成上機(jī)報(bào)告，發(fā)到老師郵箱。 作業(yè)要求：統(tǒng)一格式，中間抽查。 如想得到盡快批改，可用 word2003編輯好作業(yè)，發(fā)至 第零章 緒論一. 什么是計(jì)算方法

2、首先，計(jì)算方法是數(shù)學(xué)一. 什么是計(jì)算方法 其次，計(jì)算方法是一門(mén)有自身特點(diǎn)的數(shù)學(xué)1. 研究對(duì)象： 用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論，是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)實(shí)際問(wèn)題行分析的依據(jù)。建立數(shù)學(xué)模型構(gòu)造數(shù)值算法用計(jì)算機(jī)求出近似結(jié)果代數(shù)方程、微分方程等等計(jì)算方法的地盤(pán)計(jì)算方法的地盤(pán)2.課程特點(diǎn)課程特點(diǎn)： 計(jì)算方法主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型的近復(fù)雜性，并通過(guò)編寫(xiě)程序進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證算似解的算法。研究算法的理論依據(jù)，精度和計(jì)算法的有效性。 與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，數(shù)值計(jì)算方法求出的一般是近似解，而不是精確解。計(jì)算方法所研究的算法具有嚴(yán)格的理論依據(jù)，所求出的近似解是滿(mǎn)足誤差要求的 “近似”。3.本課程的

3、學(xué)習(xí)目標(biāo)本課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)： 掌握掌握常用的數(shù)值方法的基本原理會(huì)會(huì)套用計(jì)算公式求解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題掌握掌握常用的科學(xué)與工程計(jì)算的基本方法會(huì)會(huì)上機(jī)編寫(xiě)常用數(shù)值方法的計(jì)算程序4. 本課程的學(xué)習(xí)方法本課程的學(xué)習(xí)方法：1). 理解建立算法的理論依據(jù)和過(guò)程，適應(yīng)本課程2). 注意每章開(kāi)頭問(wèn)題的引入，搞清楚問(wèn)題的來(lái)源“公式多公式多” 的特點(diǎn)。提法，逐步深入。3). 理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)原理和基本線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉！深對(duì)算法的理解。4). 認(rèn)真進(jìn)行上機(jī)實(shí)踐，編寫(xiě)和調(diào)試算法程序，加5.本課程要解決的問(wèn)題本課程要解決的問(wèn)題：2)插值3) 數(shù)值積分1)方程求根4)常微分方程的數(shù)值解法求方程 的近似解的問(wèn)

4、題。( )0f x 已知函數(shù) 在幾個(gè)點(diǎn) 處的值，( )f x12,.,nx xx求此函數(shù)的近似。求定積分 的值。( )dbaf xx已知 ，求函數(shù) 。( , )yf x yy5) 線性方程組的數(shù)值解法求線性方程組 的解， 是 階矩陣。AxbAn21sin xdxx高等數(shù)學(xué)求解積分的牛頓萊布尼茲公式： 設(shè)設(shè) ， 是是 在在a,b上上的一個(gè)原函數(shù)，則有的一個(gè)原函數(shù)，則有,)(baCxf)()()(aFbFdxxfba)(xfxxsin的原函數(shù)無(wú)法求出，怎么辦？通過(guò)計(jì)算方法，可求得其近似解。)(xF1. 大量的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能精確求解二二. 為什么要學(xué)習(xí)計(jì)算方法為什么要學(xué)習(xí)計(jì)算方法：線性代數(shù)中求解線性方

5、程組的克萊姆法則： 如果線性方程組如果線性方程組 的系數(shù)行列式不等于零，那末，的系數(shù)行列式不等于零，那末，方程組有唯一解方程組有唯一解其中，其中， 為方程組的系數(shù)行列式，為方程組的系數(shù)行列式， 是把系數(shù)行列式中第是把系數(shù)行列式中第j j列的元列的元素用方程組右端的自由項(xiàng)素用方程組右端的自由項(xiàng)b b代替后所得到的代替后所得到的n n階行列式。階行列式。DDxjj 求解20階線性方程組，用克萊姆法則要用 次乘法運(yùn)算,用每秒1億次的計(jì)算機(jī)計(jì)算,大約需算30多萬(wàn)年;采用本門(mén)課程介紹的計(jì)算方法，卻只要幾秒鐘。209.7 10bAx DjD2. 求解不切實(shí)際研究例子:求解線性方程組其準(zhǔn)確解為x1=x2=x

6、3=1604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx78. 020. 025. 033. 01 . 125. 033. 050. 08 . 133. 050. 0321321321xxxxxxxxx如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.3. 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題4.不同的計(jì)算方法效果不一樣1812123x270991)12(127099)12(66xxxx可用四種算式算出：計(jì)算實(shí)例19 如果分別用近似值 和 按上列四種算法計(jì)算，其結(jié)果如下表表1-11-1所示。 4 . 15724166. 1

7、1217220 1 2 3 4序號(hào) 算 式計(jì) 算 結(jié) 果5/72 12/172 126270991216270991表表1-11-1004096.0526 1005233.01256005076. 01971166667.061005046. 0237812005020.029126005233.0125621 由表表1-1可見(jiàn)，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里。可見(jiàn)近似值和算法的選定對(duì)計(jì)算結(jié)果的精確度影響很大。 因此，在研究算法的同時(shí)，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念

8、，否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。第一章誤差基本理論本章重點(diǎn)：誤差的基本概念； 分析誤差的原則。本章難點(diǎn)：相對(duì)誤差；有效數(shù)字。一、誤差來(lái)源：誤差在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在！小學(xué)時(shí)用刻度尺度量；計(jì)算 “神十” 運(yùn)行的軌道；計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的數(shù)是有限位的，等等按照誤差的來(lái)源可分為以下四類(lèi)：（1）模型誤差 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是通常只是簡(jiǎn)化的、近似的。實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題忽略次要因素，關(guān)注主要因素第一節(jié)第一節(jié) 誤差的來(lái)源與誤差分析的重要性誤差的來(lái)源與誤差分析的重要性（2）觀測(cè)誤差 實(shí)際觀測(cè)中由于受到設(shè)備、自然條件等因素的影響，所得的數(shù)據(jù)存在的誤差。（3）截?cái)嗾`差 用數(shù)值方法求出的近似解與精確解

9、之間的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差。例如，由泰勒公式：11111.2 !3!en精確值若用有限項(xiàng)11111.2!3!en 近似計(jì)算 ，則截去的e11.(1)!(2)!nn就是截?cái)嗾`差。（4）舍入誤差 受計(jì)算機(jī)位數(shù)限制，需要對(duì)參數(shù)，中間結(jié)果和最終結(jié)果做舍入處理，用有限字長(zhǎng)的數(shù)值代替精確數(shù)，由此而產(chǎn)生的誤差為舍入誤差。例如：在一臺(tái)計(jì)算機(jī)中用 3.14159 代替 所產(chǎn)生的誤差。 模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差在設(shè)計(jì)算法時(shí)進(jìn)行誤差分析，控制截?cái)嗾`差注意編寫(xiě)程序的技巧，減小舍入誤差的影響二、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限定義：設(shè) 為準(zhǔn)確值， 為 的一個(gè)近似值，則稱(chēng)xx*x *xxx為近似值 的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差，若誤*x

10、差的絕對(duì)值不超過(guò)某個(gè)正數(shù) *xxx稱(chēng)正數(shù) 為近似值 的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差限。x例如，用最小刻度為厘米的刻度尺測(cè)得某物體的長(zhǎng)度為5 m，其誤差不超過(guò) 0.01 米，即誤差限為 0.01 米。注意：注意：絕對(duì)誤差限是有量綱的！該物體的準(zhǔn)確長(zhǎng)度可記為： 。(50.01)ms 三、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限只用絕對(duì)誤差不能真正刻畫(huà)近似值的優(yōu)劣，例如，分別測(cè)量10 m 和16 m 的兩根旗桿，產(chǎn)生的誤差均為0.1m，顯然，測(cè)量16m 的旗桿時(shí)更準(zhǔn)確些。如何刻畫(huà)這一點(diǎn)呢？ 我們引入相對(duì)誤差的概念。定義：稱(chēng)絕對(duì)誤差 與準(zhǔn)確值的比值， *xxx為近似值 的相對(duì)誤差。*x *rxxxxxx作為 的相對(duì)誤差。*x于是

11、，測(cè)量10m 和16m 旗桿的相對(duì)誤差分別為：可見(jiàn)后者測(cè)量的更準(zhǔn)確。注意：注意：相對(duì)誤差限是沒(méi)有量綱的！實(shí)際計(jì)算中的準(zhǔn)確值是不知道的，通常用 *rxxxxxx0.1m0.0110m和0.1m0.0062516m同樣，若 ， 則稱(chēng) 為近似值 的相對(duì)誤差限。 rx * x四、有效數(shù)字按四舍五入原則對(duì)取 3 位：3.14159265x取前幾位近似 ，*x*33.14,x 取 5 位：*53.1416,x 30.00250.0000082110241102取 7 位：*73.141593,x 70.000000461102它們的誤差都不超過(guò)末位數(shù)字的半個(gè)單位。一般地，有如下定義：文字定義：若近似值 的

12、誤差限是它某一位的半個(gè)單位，就說(shuō)近似數(shù)就說(shuō)近似數(shù)x* 準(zhǔn)確到該位；準(zhǔn)確到該位； *x且從這一位直到左邊第一位非零數(shù)字一共有 位，則n*x稱(chēng)近似值 有 位有效數(shù)字。n*x n位誤差不超過(guò)該位的半個(gè)單位左邊第一個(gè)非零數(shù)字因此，當(dāng)取 作 的近似時(shí)，有 3 個(gè)有效數(shù)字。*33.14x 當(dāng)取 作 的近似時(shí)，有 5 個(gè)有效數(shù)字。*33.1416x 注：注：經(jīng)過(guò)四舍五入得到的數(shù)字都是有效數(shù)字。數(shù)學(xué)定義可寫(xiě)成 1*1212311 10101010 , 0, 0,1,2,.,9nmnix *x若近似數(shù)并且，*x的絕對(duì)誤差 *112102m nxx 則稱(chēng) 具有 n 位有效數(shù)字*x有效數(shù)字與誤差的關(guān)系*(1)()1

13、(1)*()11.2.11021102(1)rnnrnxnxaxaxn有效數(shù)位 越多，則絕對(duì)誤差越小定理：若近似數(shù)具有 位有效數(shù)字，則反之，若則至少有 位有效數(shù)字。1*121231 10101010 ,0, 0,1,2,.,9nmnix 證： *111*111*111110(1) 100.5 101101021(1) 10102(1)0.5 10,mmm nnrmmnrm naxxnxxxxxxxn 因，故當(dāng)有 位有效數(shù)字時(shí)，反之，由因此，至少具有 位有效數(shù)字。證畢。定理有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系(A)若近似值 具有(A)式的形式，且具有*x位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為：n *11110.2nr

14、x (B)要求所取近似值的相對(duì)誤差限滿(mǎn)足(B)式。在實(shí)際計(jì)算中，為使近似值具有 位有效數(shù)字，n注注1： 該定理表明，有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差限越小，精度越高。注注2：1*121231 10101010 ,0, 0,1,2,.,9nmnix例1-1 以四舍五入原則寫(xiě)出下列各數(shù)具有5個(gè)有效數(shù)字的近似數(shù)。123.456， 0.3455678， 4.000045.*x n位誤差不超過(guò)該位的半個(gè)單位左邊第一個(gè)非零數(shù)字有效數(shù)字定義解： 按四舍五入原則，所求近似數(shù)分別為123.46，0.34557，4.0000注意：注意：4.000045的具有5個(gè)有效數(shù)字的近似數(shù)不是4！4 只有一個(gè)有效數(shù)字！例1-2 為使2

15、0的近似值的相對(duì)誤差小于 1%，問(wèn)至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：方法： 使相對(duì)誤差滿(mǎn)足（B）式。 *11110.2nrx ( B )為有效數(shù)字個(gè)數(shù)n1為左邊第一個(gè)非零數(shù)字20的近似值的左邊第一個(gè)非零數(shù)字為 4，1x 由（B）式有， *11101%2 4nrx 解得2n ，取 即可，3n 此時(shí)204.47.五、數(shù)據(jù)誤差的影響（傳播）五、數(shù)據(jù)誤差的影響（傳播）和當(dāng)*12, xx存在有誤差限1()x2()x時(shí)，加減：由它們經(jīng)過(guò)*1212()()();xxxx乘：*121221()()();x xxxxx除：2*1212212(/)()()xxxxxxx運(yùn)算公式 而得到的近似數(shù)的誤差限是：12( ,)yf

16、 x x*1*212(,)(,)yyf x xfxyx *1212112212(,)(,)()()f xxf xxxxxxxx*12121212(,)(,)()()f xxf xxxxxx 特別地，加減法的誤差限*()()()()()()xyxyxyxy *()()()()()()()xyxyxyxxyyxy *()()()()()()()xyxyxyxxyyxy *| ()| ()()| ()| ()|()()xyxyxyxy *| ()| ()()| ()| ()|()()xyxyxyxy 加減法的誤差限（續(xù)）*| ()| ()| ()|xyxyxyxy *| ()| ()|xxyyxyx

17、xyy *|()()|rrxyxyxyxy *|max(),()|rrxyxyxy *max(),(),| ()|max(),(),|rrrrxyxyxyxyxyxyxyxy 同號(hào)同號(hào)異號(hào)異號(hào)*,xy異號(hào)，且兩者的絕對(duì)值非常接近時(shí)異號(hào)，且兩者的絕對(duì)值非常接近時(shí)非常大非常大*()dxxxxxxxxxx *| ()|max(),()|rrxyxyxyxyxy 乘法的誤差限（續(xù)）*()| () | ()()()()rrrx yxyyxx yxy*| ()|()()|()|()| | ()| | ()|() | ()x yxyyxxyyxxyyxxyyx d()ddxyx yy x *()dd()()

18、x yxyyxxyyx *| ()|() | ()()()|()()rrx yxyyxyxx yx yyxyx除法的誤差限（續(xù)）*2*| ()| ()|()(),0rrrxxyyxyyxxyy yy 2dddxy xx yyy * 2* 2dd()()()()xyxxyyxxyyyy 除法的誤差限（續(xù)）* 2* 2* 2* 2()()|()()|()| | ()| | ()|() |()|xyxxyyxxyyyyxyyxyxyyxy *2*|()()|xyxyy 當(dāng)除數(shù)絕對(duì)值較小時(shí)，商當(dāng)除數(shù)絕對(duì)值較小時(shí)，商的絕對(duì)誤差的絕對(duì)值將非的絕對(duì)誤差的絕對(duì)值將非常大常大*2*|() |()|() | ()

19、|()()|()()rrxxyyxyyxxyyxyyxx yyxyxxy * 2|() |()|xxyyxyy 冪、對(duì)數(shù)的誤差限*1*()| |()()|()nnnrrxnxxxnx *ln?ln?rxx 請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo)請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo)例1-3 已測(cè)得某場(chǎng)地的長(zhǎng) 的值為 ，寬 的l*110ml d值為 ，已知*80md *0.2m, 0.1m, lldd試求解：*( )0.2m, ()0.1m,ld根據(jù)本小節(jié)結(jié)論，*()()()( )sl dlddl110 0.1 80 0.2272(m )面積*sl d于是，相對(duì)誤差限為*()rss*()27110 80sl d100%0.31%面積 的絕

20、對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。*s的絕對(duì)誤差限為第二節(jié) 選用算法應(yīng)遵循的原則 一. 盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除等運(yùn)算的次數(shù)。100111)111()1(1)()0121( 2)1(.21.)(10001100010110 nnnkkknnnnnnnnnnuxp,n-n-kaxuuaunnnxaxaaxp。又又如如則則乘乘法法次次數(shù)數(shù)僅僅為為若若采采用用遞遞推推算算法法，通通常常運(yùn)運(yùn)算算的的乘乘法法次次數(shù)數(shù)為為例例如如，計(jì)計(jì)算算多多項(xiàng)項(xiàng)式式第二節(jié) 選用算法應(yīng)遵循的原則 二. 盡量避免相近數(shù)相減 例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346， 各有 5 位有效數(shù)字。 而a2 - a1= 0.00001, 只