經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與試題預(yù)測(cè)06

1、經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與試題預(yù)測(cè)（六）考點(diǎn)6平面向量經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診命題角度1向量及其運(yùn)算命題角度2平面向量與三角、數(shù)列命題角度3平面向量與平面解析幾何命題角度4解斜三角形探究開放題預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合預(yù)測(cè)角度2平面向量為背景的綜合題命題角度1向量及其運(yùn)算1 （典型例題）如圖6-1，在RtABC中，已知BC=a若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問PQ與BC的夾角B取何值時(shí)BPCQ的值最大？并求出這個(gè)最大值.考場(chǎng)錯(cuò)解幕BP=BQQP,CQ=CBBQ,.BP*CQ=（BQ-BQ）*（CB-BQ）=1BQ2BQ*CBQP*CBQP*BQ,此后有的學(xué)生接著對(duì)上式進(jìn)行變形，更多的不

2、知怎樣繼續(xù).專家把脈此題是湖北省20典型例題）已知，|a|=,2,|b|=3,a與b的夾角為45°,當(dāng)向量a+入b與入a+b的夾角為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)A的范圍.考場(chǎng)錯(cuò)解由已知ab=|a|b|cos45°=3,va+入b與入a+b的夾角為銳角，/（a+入b）（入a+b）0即入|a|2+入|b|2+（入2+1）ab=0,.2入+9入+3（入2+1）0，解得入二1!竺或，：一115實(shí)數(shù)入的范圍是一1185專家把脈解題時(shí)忽視了a+入b與a入+b的夾角為0的情況，也就是（a+入b）（入a+b）0既包括了a+入b與入a+b的夾角為銳角，也包括了a+入b與入a+b的夾角為0，而a+入b與入a

3、+b的夾角為0不合題意.對(duì)癥下藥由已知ab=|a|b|,|b|xcos45°=3.又a+入b與入a+b的夾角為銳角，.（a+入b）（入a+b）0，且a+入譏入a+b）（其中卩k,卩0）由（a+入b）（入a+b）0,得|a|+入|b|+（入+1）ab0即3入+11入+30,解得入85或，：:11-85.由a+入卩（入a+b），得入工1,卩工入，即入工1，綜上所述實(shí)數(shù)入的取66值范圍是（-汽二1185_1£_85,1）匕（1,+8）.3.（典型例題）已知OABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足OA，2OB-3OC=0，則AOB與AOC的面積之比為32A1B.=12-2112*V4J、6(2

4、)求厶ABC的面積.答案：設(shè)/AOB=0,/AOC=:,/BOC=，由OA0B=丄，得cos0=丄，sin0=,&ao=丄|0A|-|Ob|sinC.-D.22 3考場(chǎng)錯(cuò)解.OAOBOC=O.OB二_2OC/O在BC邊上，且|OB|=2|oC|,又AOC高相等，AOC的面積之比為2,選D.專家把脈缺乏聯(lián)想能力，將常用結(jié)論記錯(cuò)是本題錯(cuò)誤的原因，實(shí)際上只有OABC的重心的情況下，才有-.oAoboC=O，而本題無此已知條件.對(duì)癥下藥如圖6-3，在AB上取一點(diǎn)D,使-1.21121.2|AD|=2|DB|,D分AB的比，=2,得ODOAOBOAOB又由已知OCOAOB,OD=-OC,O1 &

5、quot;2123333為CD的中點(diǎn)，不妨設(shè)SAaoc=S，貝USAao=S(V兩者等底同高)s:BOD=gs,ClAD|=2|BD|),S.Iaob二弓S,AOB的面積與厶AOC勺面積之比為3:2，選B.(2)不妨設(shè)A(0,0),B(1,0),C(0,1),O(x,y)，則由專家會(huì)診向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實(shí)數(shù)胡亂類比；向量的運(yùn)算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時(shí)不要過分偏重坐標(biāo)式，有些題目用向量式來進(jìn)行計(jì)算是比較方便的，那么對(duì)向量的加、減法法則、定比分點(diǎn)的向量式等內(nèi)容就應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時(shí)不要出錯(cuò)，解題時(shí)應(yīng)善于將向量

6、用一組基底來表示，要會(huì)應(yīng)用向量共線的充要條件來解題.考場(chǎng)思維調(diào)練1ABC內(nèi)接于以0為圓心，1為半徑的圓，且-2OA3OB4OC=O.(1)求|AB|1.答案：由已知得20A30B二/OC，所以'2'2'2''2'2r"r.2(20A30B)=16|OCf,即4|OA2120A*0B9|0B|=16|0C|；'|OA|OB冃0C|=1”O(jiān)A*0B.|AB|=；(OBOA)4=.|OBf-20B<0A|0A|2.cosy=-7,sinr=-,Sbo<=-x-1515.882816由于0為銳角，Cp,Y為鈍角，所以O(shè)C不可

7、能在厶AOB內(nèi)部，故AOBAOCBOC互不重疊二Smbc=Saob+Saoc+Sbo(=''15.322 已知向量a=(1,1),b:(1,0),c滿足ac=0,且|a|=|c|,bc>0.(1) 求向量c；22m+n=0答案：設(shè)=(m,n)，由ac=0,得m+n=0再由，|a|=|c|，得m+n=2，聯(lián)立22，解得m=1,n=-1m+n=2-或m=-l,n=1，又tb,c=(1,0)(m,n)=m>0.m=1,n=-1,c=(1,-1).(2) 若映射f:(x,y)+(x'y')=xo+yc，將(x,y)看作點(diǎn)的坐標(biāo)，問是否存在直線l，使得I上任一

8、點(diǎn)在映射f的作用下的點(diǎn)仍在直線I上，若存在，求出直線I的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.答案：xa+yc=y(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y)，貝Uf:(x,y)(x+y,x-y).假設(shè)存在直線I滿足題意.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，沒有符合條件的直線l;當(dāng)I的斜率存在時(shí)，設(shè)I:y=kx+m,在I上任取一點(diǎn)p(x°,y。),則p在映射f作用下的點(diǎn)Q(x°+y0,X0-y0),Q也應(yīng)在I上，即x°-y0=k(x0+y°)+m又(x°,y°)在I上y0=kx°+m整理得(1-2k-k)x0-(k+2)m=0，此式對(duì)于任意x

9、76;恒成立.二1-2k-k=0,(-k+2)m=0.解得k=-1±'一2,m=0綜上所述，存在直線I:y=(-1±、2)x符合題意.3 已知AB、C三點(diǎn)共線，O是該直線外一點(diǎn)，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,且存在實(shí)數(shù)m,使ma-3b+cO成立.求點(diǎn)A分所成的比和m的值.答案：解：設(shè)點(diǎn)A分BC所成比為入，則BA=入AC，所以O(shè)A-OB=入(OC-0A).即a-b=入(c-d)，則(1+入)a-b-入c=0(1)由已知條件得c=3b-ma代人(1)得(1+入)a-b-3入b+m入a=0,即(1+入+m入)a-(1+3入)b=0/OAOB不共線，a、b不共線1-1+入

10、+m入=0,1+3入=0,解得入=-,m=23A分BC所成的比為-1,m=231. (典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,、3,且x-L,-)求x;(2)若函數(shù)y=2sin2x3 3的圖像按向量c=(m,n)(|m|<')平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖像，求實(shí)數(shù)mn之值.2考場(chǎng)錯(cuò)解(1)依題意，f(x)=2cos2x+.3sin2x=12sin(2x').3由12sin(2x)=1一.3,得sin(2x)'3,'x,'2x,2x'',即x;3323333333函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量

11、c=(m,n)平移后得到y(tǒng)=2sin2(x+m)-n的圖像，即y=f(x)的圖像，由(1)得f(x)=2sin2(x+自們釘冷,.心訂一1.專家把脈“化”時(shí)出錯(cuò)，2cos2x亠.3sin2x=cos2x=cos2x亠,”3sin2xT=2sin(2x')T不是2sin(2x)亠1,第63(2)問在利用平移公式的時(shí)有錯(cuò)誤對(duì)癥下藥(1)依題設(shè)，f(x)=2cos2x：hj'3sin2x=12sin(2x云),由1H-2sin(2-)iTFiTFiTFiTF?TFHT?TF?TF厶七JL-jtJLJL_iL-DJLciL口仃JL-_x,_2x,2x=.即x=；3一一32一6一6634

12、函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x-m)+n的圖像，即函數(shù)y=f(x)的圖像,由(1)得f(x)=2sin2(xT【甘違,.心第,2.2.(典型例題)已知i,j分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，0州二j,0A2=5j,AnAn=2AnAm1(n_2,nN*).(1)求A7A8;(2)求OAn和OBn的坐標(biāo).11.考場(chǎng)錯(cuò)解()由已知有AnAn1=?AnAnJ.,得IAnAn1|AnAnj|*1A1Q1-A1-4IAnAn1匸A1A2IAzAbF,得A/As221616'14n|0人冃0州|"人2|州/.|=14尹9一24OAn=9_

13、24,得OAn(9-24：0).|OBn|OB1|B-iB2.亠|BnBn|=3.2(n_1)2、_2=2、2n2.OBn=(2.2n：2).專家把脈向量是一個(gè)既有方向又有大小的量，而錯(cuò)解中只研究大小而不管方向，把向量與實(shí)數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識(shí)性的錯(cuò)誤.、，；.I-A|_I.AhA»A對(duì)癥下藥(1)An1An=2AnAn1”AnAn1二An_|An,.A7A6二A3A7二A5A6二()6州人222421 61又A1A2=OA2-OA1=4j,.A/As=(一)64jj.2 1611114由(1)知AnAnT=尹AA2二尹j”AnA=尹j,.OA.=0州AA'AnAj

14、9;4j2'(2=)j.。編的坐標(biāo)為(0,9-24*).同理OBn=OB1亠'Bn4Bn=3j3j(n1)(2i2j)=(2n1)i(2n1)j,.OBn的坐標(biāo)是(2n-1,2n1).3.(典型例題)在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1(1,2),P«2,22),P3(3,23),Pn(n,2n)，其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)記A為A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，A為A,關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn)，A為A-1關(guān)于點(diǎn)Pn的對(duì)稱點(diǎn).(1)求向量AoA2的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)A在曲線C上移動(dòng)時(shí)點(diǎn)A的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖像，其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x(0,3)時(shí)f(x)=lgx.求以

15、曲線C為圖像的函數(shù)在(1,4)上的解析式；對(duì)任意偶數(shù)n,用n表示向量AoAn的坐標(biāo).考場(chǎng)錯(cuò)解第問，由(1)知AoA2=(2,4)，依題意，將曲線C按向量(2,4)平移得到y(tǒng)=f(x)的圖像.y=g(x)=f(x-2)+4.專家把脈平移公式用錯(cuò)，應(yīng)該為y=g(x)=f(x+2)-4.對(duì)癥下藥設(shè)點(diǎn)Ao(x,y),Ao關(guān)于點(diǎn)Pi的對(duì)稱點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為Ai(2-x,4-y),Ai關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為A2(2+x,4+y),所以，A0A2=2,4.(2)/證=2,4,f(x)的圖像由曲線C向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到.因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以3為周期的周

16、期函數(shù)，且當(dāng)x(-2,1)時(shí)，g(x)=1g(x+2)-4,于是，當(dāng)x(1,4)時(shí)，g(x)=1g(x-1)-4.(3)AoAn=AoA2A2A4工An由于A22A2k=2FbkP2k,得AoAn=2(時(shí)2屯九Pn二&)=2(1,21,23專家會(huì)診向量與三角函數(shù)、數(shù)列綜合的題目實(shí)際上是以向量為載體考查三角函數(shù)、數(shù)列的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、數(shù)列的問題，轉(zhuǎn)化時(shí)不要把向量與實(shí)數(shù)搞混淆，一般來說向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大，向量與數(shù)列結(jié)合的題目，綜合性強(qiáng)、能力要求較高.考場(chǎng)思維調(diào)練_1.311 已知平面向量a=(<3,-1),b=(?,牙),c

17、=a+(sin2a-2cosa)b,d=(sin22a)a+(cosa)b,a(o,)，若c丄d,求cosa.2答案：解析：由已知得ab=0,|a|=a=4,|b|=b=1，因?yàn)閏丄d,cd=0，即a+(sin2入-cosa)b.1222(sin2a)a+(cosa)b=0，得sin2a+sin2a,cosa-2cosa=0,4即(sin2a+2cosa)(sin2a-cosa)=0,/a(0,),Sin2a+COSa>0,sin2a=cosa，由于cosa>0,得sina=1，貝ycosa=3.2222 設(shè)向量a=(cos23°,cos67°).b=(cos6

18、8°,cos22°),c=a+tb(tR)，求|c|的最小值.答案：解：|a|=.cos223-cos267=1=1,|b|=.cos268cos222=1=1ab=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°-68°)=2.22=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+.2t>1.2 |c|的最小值為呂，此時(shí)t=-丄223 已知向量a=(2,2)，向量b與a的夾角為-，且ab

19、=-2.4(1) 求向量b;答案：設(shè)b=(x,y),/a-b=-2,2x+2y=-2,即x+y=-1,(1)，又ta與b的夾角為-n,|b|=空=1,4 3|a|*cosn422 x+y=1(2)，聯(lián)立(1)、(2)得x=-1,y=0或x=0,y=-1,b=(-1,0)或b=(0,-1).(2) 若t=(1,0)且b丄t,c=(cosA,2cos2c)，其中AC是厶ABC的內(nèi)角，若三角形的三個(gè)內(nèi)角依次2成等差列，試求，|b+c|的取值范圍.答案：由題意得B=,A+C=2,b丄t,t=(1,0),b=(0,-1),b+C=(cosA,cosC),33221i|b+C|=cos2A+cosc=1+

20、1(cos2A+cos2C)1+122cos2A+cos2(2n-A)=1+1cos(2A),/0/A<,3233二/2A+5二，-1<cos(2A+二)<丄，|b+c|23 3332G4,|b+c|&子申命題角度3平面向量與平面解析幾何1.(典型例題)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為-，一個(gè)焦點(diǎn)F(-m,0)(m是大于0的常數(shù).2(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線I與y軸交于點(diǎn)M,若|MQ|=2|QF|，求直線I的斜率.考場(chǎng)錯(cuò)解第問：設(shè)Q(xo,yo)，直線J的方程為y=k(x+m)，則點(diǎn)M(0,km),由已知得F、QMkm)，由定比分點(diǎn)

21、坐標(biāo)公式，得|MQ|=2|QF|進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤,三點(diǎn)共線，且|MQ|=2|QF|,|MQ|=2|QF|由于F(-m,0),M(0,222Xq=2m,yQ=1km,又Q在橢圓x2亠y2=1上1-k：1,解得k=2.6334m23m2927專家把脈缺乏分類討論的思想，沒有考慮圖形的多樣性，將依題意|MQ|=2|QF|應(yīng)轉(zhuǎn)化為MQ二2QF再分類求解k.22對(duì)癥下藥設(shè)所求橢圓方程為篤Z=1(a>b>0)a2b2由已知得c=m,c=,a=2m,b=3ma222故所求的橢圓方程是二爲(wèi)J.4m23m2(2)設(shè)Q(xq,yc)，直線I的方程為y=k(x+m)，則點(diǎn)M(0,km),vMQF三點(diǎn)共

22、線，|MQ|=2|QF|,MQ=2QF.當(dāng)mQ=2Qf時(shí)由于F(-m,0),M(。，km)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得xq|叱詁曲又Q在橢圓222上丁莒=1上，.有-1,解得k=2.、6;4m3m927_L_,k22冋理當(dāng)MQ-2QF時(shí),有1-2二1,解得k=0.故直線I的斜率是0,二2、6.3m22. (典型例題)如圖64，梯形ABCD勺底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，|AB|=土2,|CD|=2.AC33丄BD,M為CD的中點(diǎn).(1) 求點(diǎn)M的軌跡方程；(2) 過M作AB的垂線，垂足為N,若存在常數(shù)入0，使MP二.°PN，且p點(diǎn)到AB的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡C的方程.考場(chǎng)錯(cuò)解

23、第問：設(shè)P(x,y),M(xo,yo)，則N(0,y。).MP=(xA°,y_y°),PN=(A,y°_y),又MP x-xo=-入oX,y-y。=入o(yo-y),入o=-1.專家把脈對(duì)MP=.°PN分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上MN、P三點(diǎn)共線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出入o=-1是錯(cuò)誤的.對(duì)癥下藥解法1：設(shè)M(X,y)，則C(X,-1+-y),D(x,1-亠2-y),由AC_BD得ACBD=0,3322即(x,y-1)(x,y+1)=0，得x+y=1，又x豐0,22 M的軌跡方程是:x+y=1(x豐0)解法2:設(shè)AC與BD交于E,

24、連結(jié)EMEO,/AC+BD:丄CED=ZAEB=90,又MO分另U為CDAB11的中點(diǎn)，丨OMfCDI'lEOfAB|,又E為分別以ABCD為直徑的圓的切點(diǎn)，OC、M三點(diǎn)共線，|OM|=|OE|+|AB|=1,M在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，軌跡方程為x+y=1(x豐0).(2)設(shè)P(x,y)，則由已知可設(shè)M(xo,y),N(0,y)，又由MP=入oPN得(x-xo,0)=入o(-x,0),Xo=(1+入o)x,又M在x+y=1(x豐0)上，P的軌跡方程為(1+入o)2x+y=1(x豐0),又P到A、B的距離之和為定值，P的軌跡為經(jīng)A,BP為焦點(diǎn)的橢圓，1=8,得(1-入。)2=9,P

25、軌跡E的方程為9x2+y2=1(x(1+拖)9豐0).3. (典型例題)如圖65,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，以某動(dòng)直線I為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)。都落在AD上,記為B'折痕I與AB交于點(diǎn)E,使M滿足關(guān)系式EMEB(1) 建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2) 若曲線C是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，_BA=4過點(diǎn)F的直線交曲線于P、Q兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)入BF的取值范圍.考場(chǎng)錯(cuò)解第問：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,1),B(0，1)，設(shè)E(0,t),B'(xo,1)，則

26、由EM=EBEB得x=x°y=-t,M的軌跡方程為x=x°,y=-t專家把脈對(duì)軌跡方程的理解不深刻，x=xo,y=-t不是軌跡方程，究其原因還是題目的已知條件挖掘不夠，本題中|EB|=|EB|是一個(gè)很重要的已知條件.對(duì)癥下藥(1)解法1以AB所在的直線為y軸，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖6-6所示的直角坐標(biāo)系，別A(0,1),B(0,-1),設(shè)E(0,t),則由已知有0<tW1,由及B'在AD上,可解得B'(2.t,1)由+eM=EBEB'得(x,y-t)=(0,-1-t)+(2.t,1-t),即x=2,2y=-t,消去t得x2=-4y(0W

27、x<2).解法2以EBEB'分鄰邊作平行四邊形.由于|eB冃EB：|知四邊形EBMB，為菱形，且MB"'丄aD,動(dòng)點(diǎn)M到定直線AD的距離等于M到定點(diǎn)B的距離，M的軌跡是以B為焦點(diǎn)，以AD為準(zhǔn)線的拋物線的一部分軌跡方程為x2=-4y(0WxW2).(2)由(1)結(jié)合已知條件知C的方程是x2=-4y(-2WxW2)，由型=4知F(0,丄)，設(shè)過F的直線的斜BF21 -率為k，則方程為y=KX-,P(x1,y1),Q(x2,y2)，由PFWFQ得x1=-入x?，聯(lián)立直線方程和C得方程是x2+4kx-2=0，由-2WxW2知上述方程在-2,2內(nèi)有兩個(gè)解，由；次函數(shù)的圖像

28、知-1_k，由4 4x=-入X2可得1(XX2)2=-丄XX2由韋達(dá)定理得8k2=-(1),解得_2.(1_')2'224. (典型例題1)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)9的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，0A0B與a=(3,-1)共線(1) 求橢圓的離心率；(2) 設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且0M=0A0B(,R)，證明入2+為定值.2222=02b=2,2a=6,e=；=.V由cAOB(X1+X2,yi+y2),得a2=3b2,又a2_b2=c2=4.2 2考場(chǎng)錯(cuò)解設(shè)橢圓方程為芳計(jì)1（a°），F(xiàn)（C，0）聯(lián)立y=X-C2a2cx+a2c2+a

29、2b2=0,令A(yù)(xi,yi),B(X2,2,則xi+X2=2玉a2+b2'42a2+b2a=(3,-1),OA：OB與a共線，得Xi+X2=3,yi+y2=-1,又yi+y2=xi+X2-2c，二c=2,專家把脈OAOB與(3,-i)共線，不是相等，錯(cuò)解中，認(rèn)為OAOB(3,-i)，這是錯(cuò)誤的，共線是比例相等.對(duì)癥下藥(i)(前同錯(cuò)解)，OAOB與a共線，得3(yi+y0+(xi+x0=O,3(xi+X2-2c)+(xi+X2)=O-Xi+X2=a2c2-a2b2-X1X222'a2+b2c，代入2ac3c,.a2=3b2e=仝.2axiX2+3yiy2=xi+X2+3(xi

30、-c)(x2-c)=4xiX2-3(xi+X2)c+3c+b22322_H證明：由(1)知a2=3b2,所以橢圓x.y1可化為x2+32=3b2設(shè)OM(x,y)，由已知得(x,y)=入(x1,a2h2abyi)+卩(X2,y2),乂+敗2Y=切+申2M(x,y)在橢圓上,22-(入Xi+X2)23(入yi+y2)=3b.即入%xj+3yj)23(x|+3y|)+2入i(xiX2+2yiy2)=3b2.由知X2+X2=3c,a2=3c2,b2=-c2=3c-9c23c2222又xj3y=3b2,x23y；=3b2又，代入得入52=1-故入2+2為定值，定值為1.專家會(huì)診平面向量與平面解析幾何結(jié)合

31、是高考中的熱點(diǎn)題型，解此類題目關(guān)鍵是將向量關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化一般有兩種途徑：一是利用向量及向量的幾何意義，將向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為幾何性質(zhì)，用這種轉(zhuǎn)化應(yīng)提防忽視一些已知條件；二是將向量式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再利用平面解析幾何的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，這種轉(zhuǎn)化是主要轉(zhuǎn)化方法，應(yīng)予以重視.考場(chǎng)思維調(diào)練1已知ABC中，A(0,1),B(2,4),C(6,1),P為平面上任一點(diǎn)，點(diǎn)M、N滿足PM(PAPB),PN(PAPOBPC)，給出下列相關(guān)命題：MN/BC;23(2)直線MN的方程是3x+10y-28=0;(3)直線MN必過ABC外心；(4)起點(diǎn)為A的向量入(ABAC+AC)(入Rh)所在射線必過N,上

32、面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是.(將正確的選項(xiàng)序號(hào)全填上)答案：解析：(4)由已知M為AB的中點(diǎn)，所以M(1,-),NABC的重心，二N(-,2).MN在AB的23中線上MNBC；MN的方程為3x+10y-28=0;MNABC的重心，又ABC不是等腰三角形二MN不可能過ABC的外心；入(ABAC)(入R+)所在射線為BC的中線所在的射線，必過N上(2)、(4)正確.2已知A為x軸上一點(diǎn)，B為直線x=1上的點(diǎn)，且滿足：(0A30B)_(OAi3OB).(1)若證A的橫坐標(biāo)為x,B的縱坐標(biāo)為y，試求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程；答案：解：由題意，A(x,0),B(1,y)，則OA=(x,0),OB=(1,y

33、)代入(OA30B)(0A30B)=0中，得：設(shè)D(0,-1),上述軌跡上是否存在MN兩點(diǎn)，滿足|MD|=|ND|且直線MN不平行于y軸，若存在，求出MN所在直線在y軸上截距的取值范圍，若不存在，說明理.答案：假設(shè)存在M(X1,yJ,N(X2,y2)，由題設(shè)MN不與x軸垂直，不妨設(shè)MN的方程為22222得(1-3k)x-6kmx-3m-3=0，顯然1-3k豐0,=12(m+1-3k2)>0，又X1+X2=2x2彳3=1,y二kx亠m2x1x23.設(shè)1-3k2y=kx+m，聯(lián)立<6km13k2MN的中點(diǎn)P(X0,y。)，則有X0=3km21-3k2,y0=77,二線段MN的垂直平分線

34、方程為y-m21-3k213k2泳鐵).由k13k2題意D(0,-1)在該直線上，代入得24m=3k-1,mk滿足*廠22"i；k>0消去k2,得4m=3kT、1m>4或-一<m<0.4存在這樣的MN,并且MN所在直線在y軸上截距的取值范圍是(4,)U(-丄，0)43 已知點(diǎn)F(1,0)，直線l:x=2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線I的距離為d,已知|PF|=二d且-232(1)求動(dòng)點(diǎn)戶的軌跡方程;2.答案：設(shè)P(x,y)-!匚!=<1,.p的軌跡為以(1,0)為焦點(diǎn)，以I:x=2為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓.且d2=c2,-c=1，解得a2c2P的軌跡方程為+y2=1(1wxw

35、-).223a=,2,c=1,2b=1.又3三*1，I2-x|'I，1若PFOF求向量。卩與OF的夾角;答案：PF=(1-x,-y),OF=(1,0),OP=(x,y)PF-OF=(1-x,)1+(-y)-0=1-x=-,3x=l，代).33OP與OF的夾角為arccos2、一1111(3)如圖，若點(diǎn)C滿足GF=2OF，點(diǎn)M滿足MP=3PF=3PF,且線段MG的垂直平分線經(jīng)過P，求厶PGF的面積.答案：由已知|GF|；2|FO|,G為左焦點(diǎn).又.|PG片PM|=3|PF|.,PG|TPF|=2、.2一近|PF|盲3J2円1P22又|GF|=2,|PF|2+|GF|=|PG|,PGF為R

36、t,S=W2命題角度4解斜三角形1(典型例題)2ABC中，sinA+cosA=qAC求tanA的值和ABC的面積.考場(chǎng)錯(cuò)解tsinA+cosA=兩邊平方得2sinAcosA=-sinA=-又0°222210°或2A=330°得A=105?；駻=165°,當(dāng)A=105。時(shí)，<2A<360°.2A=tanA=tan(45x227272y2=1,得y”op=(,)或op=(,A23入一OP*OF_2,11|Op|OF|-11+60°)=13二2_.3sinA=sin(45°+60°)=6當(dāng)A=165°

37、;時(shí)，tanA=tan(45°+1201石4)=-2+3,sinA=sin(45°+120°)=2,ABC的面積為丄ACABsinA(.6_.2).42專家把脈沒有注意到平方是非恒等變形的過程，產(chǎn)生了增根，若sinA+cosA=2cosA=_62,此時(shí)sinAcosA2442,顯然與sinA+cosA=3"K4'A=165°,sinA=此時(shí)2的已知條件矛盾.2對(duì)癥下藥解法1.sinA+cosA=22_i*Q_A_.2cos(A-45)-得cos(A45)=,又0:A<180°,22A-45°=60°,

38、得A=105°tanA=tan(45°+60°)=-2-3,sinA=sin(45°+60°)=.2.61 3Labc=ACABsinA(.一6.2)2 421解法2/sinA+cosA=2sinAcosA-222又0°<A<180°,.sinA>0,cosA<0,/(sinA-cosA)=1-2sinAcosA=sinA-csoA=6,解得sinA=26,cosA=26244sinA13ijsinA=-3,SabcAC*AB*sinA6.2).cosA242. (典型例題)設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)部的

39、一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為長(zhǎng)是.考場(chǎng)錯(cuò)解設(shè)邊長(zhǎng)為x/ABP=x則/CBP=90-a，在ABP中/1、2、3,則正方形的邊22222222.oABP=-21x3在.CBP中cos/CBP二上23X-4x4x4x4xcos/CBP=sina4x令24x解得X2=5+2i2或5-22.正方形的邊長(zhǎng)為；52、2或】5-2,2.專家把脈沒有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應(yīng)小于第三邊，兩邊之和應(yīng)大于第三邊，1<x<3.對(duì)癥下藥（前同錯(cuò)解）I1<x<3,x=：5-2.2應(yīng)舍去，正方形的邊長(zhǎng)為，5,223. （典型例題）已知ABC中，AB=1,BC=2則角C的取值范圍是

40、_.考場(chǎng)錯(cuò)解依題意c=1,a=2,由正弦定理知CaC11EQ0V或150/80-故有sinCsinAsinA.,又；0:C：180,0:X<30或150"c180.sinCsinAa22專家把脈沒有考慮大邊對(duì)大角，由于a>c,角C不是最大解，150°<C<180。不可能.對(duì)癥下藥依題意c=1,a=2,由正弦定理知-,.SINc=#sinAsinA乞丄，又因?yàn)閍.c,.A.C,sinCsinAa22,C的取值范圍是0°<CW30°.專家會(huì)診解三角形的題目，一般是利用正弦定理、余弦定理結(jié)合三角恒等變形來解，要注意角的范圍與三函數(shù)

41、值符號(hào)之間的聯(lián)系與影響，注意利用大邊對(duì)大角來確定解是否合理，要注意利用ABC中，A+B+Cn，以及由此推得一些基本關(guān)系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sinBC=cos-等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)用，判斷22三角形的形狀，必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，。要充分利用正弦定理，余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換.考場(chǎng)思維訓(xùn)練1在厶ABC中，三內(nèi)角分別為AB、C若4sinAsinB=3cosAcosB,若復(fù)數(shù)za+bi(a,bR),定義z的模|z|=.a2b2,求復(fù)數(shù)z=.7cosC-icosA_B的模|z|.22解：|z2|=7cos2ccos2A_B=7(1+cos

42、C)+1(1-cos(A-B)=4+7cosC-1cos(A-B)=4+1-7cos(A+B)-cos(A-B)22222221=4+(-8cosAcosB+6sinAsinB),2又/4sinAsinB=3cosAcosB |z|=4,得，|z|=2.2 在厶ABC中，sinA+cosA=1,AB=10,AC=205(1) 求厶ABC的面積；124答案：由sinA+cosA=-得2sinAcosA=-一,5252 sinA>0,cosA<0,.(sinA-cosA)=1-2sinAcosA=49得sinA-cosA=7,sinA=-,comA=-3.25555 Sabc=丄ABA

43、C-sinA=11020-=80;225(2) 求厶cos2A的值.答案：cos2A=2cos2A-1=-253 ABC中，AB=2,BC=1,/ABC=120，平面ABC處一點(diǎn)滿足PA=PB=PC=2則三棱錐P-ABC的體積是答案：解：過P作POL平面ABC由PA=PB=PC=2,0ABC的外心，在ABC中，由余弦定理，222|AC|=|AB|+|BC|-2|AB|BC|cos120°=7, |AC|=7又由正弦定理|AC12RsinBC得R.3在RtPOA中，PA=2OA=R=_?1,3 po=(pa)2-r2=35又SABC=12-,222三棱錐P-ABC的體積為蘭.6探究開放

44、題預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)角度1向得與軌跡、直線、賀鈴由線篈疾識(shí)點(diǎn)結(jié)合X2C一H一1. 已知過點(diǎn)D(-2,0)的地線I與橢圓y2=1交于不同兩點(diǎn)AB點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)且OP=OAOB,2求點(diǎn)P的軌跡方程解題思路由已知OP=20M，,又M為AB的中點(diǎn)M的軌跡是常見的中點(diǎn)問題，求出M的軌跡后，可用x2/A、B在y2上2相關(guān)點(diǎn)求p的軌跡，本題還可以直接將Op=0AOb轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算解答(方法一)設(shè)M(X0,yc),A(x1,y1),B(x2,y2),y1_y2_X1+x2X1-X22(y1y2)'即kAB：0，又kAB=kMD=%,2y0X。+2二x0+2xo+2y。=0x22又M(x0,y0)在2y2=1

45、內(nèi)部，二x$*2y0<2,得x°AT又.OP=OAOB=2OM,x=2x0,y=2y°,代入上式得x22y24x=0(x-2)(方法二)當(dāng)直線I平行x軸時(shí)，P(0,0);當(dāng)直線J不與x軸平行時(shí)，設(shè)I:x=my-2,并設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2),P(x,y),X=my2由22x2二X1+X2=2m,X1X2=-m-2a,22y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m-2a,+22=222(m22)y4my2=0(1)22根據(jù)=(-4m)-8(m+2)>0.即nf>2，由OP=OAOB及(1)可得y=y1+y2=4mm2-2x=xi+X2=(myi-2

46、)+(my2-2)=-82m22P的坐標(biāo)為82m22于，消去m得m2+2丿22x+2y+4x=0(-2<x<0).P的軌跡方程為x2+2y2+4x=0(-2<x<0).2. 一條斜率為1的直線與離心率為萬的雙曲線22-y1(a>0b>>0)，交于P.Q兩點(diǎn),a2b2I與y軸交于點(diǎn)K,且OP*OQ二PQ二KQ，求直線與雙曲線的方程解題思路將向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式，建立方程組求解.22解答-y1的離心率為、3,o2.2ab22b2=2a2，即雙曲線的方程為-y1,a2b2設(shè)I的方程為了y=x+m,P(X1,y1),Q(X2,汕,由OPOQ=-3得，x1

47、x2+yly2=-3,由PQ=4KQ得X1=-3X2,y=xm聯(lián)立lx?y£.a22a2222x-2mx-m-2a=0結(jié)合xi=-3x2,得x2=-m,xi=3m22222二xiX2=-3m=-m-2a得m=a解得yiy2=0,xiX2=-3a=-3,/a2=1,m=1,m=±1.2直線l的方程是y=x±l，雙曲線的方程是x2y=1.2預(yù)測(cè)角度2平面向量為背景的綜臺(tái)題1.設(shè)過點(diǎn)M(a,b)能作拋物線y=x2的兩條切線MAMB切點(diǎn)為AB(1) 求MA«MB;(2) 若MA*MB=0,求M的軌跡方程；(3) 若LAME為銳角，求點(diǎn)M所在的區(qū)域.解題思路設(shè)切點(diǎn)

48、坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，將MAMB，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理求解.解答(1)設(shè)拋物線上一點(diǎn)P(t,t2),Ty=x2,.y'=2x，切點(diǎn)為P的切線方程是：y-t2=2t(x-t),22它經(jīng)過點(diǎn)M(a,b),b-t=2t(a-t)，即t-2at+b=0，設(shè)其兩根為t1、t2,貝U11+t2=2a,11t2=b.設(shè)A(t1,t2),B(t2,t2)，則MA=(t1-a,t2-b),mb=(t2-a,t2-b), MA*MB=(t1-a)(t2-a)+(tj-b)(t2-b)利用t1+t2=2a,t1t2=b，消去t1,t2得2MA*MB=(b-a)(4b+1).2(2) 設(shè)M(x

49、,y)，則由MA«MB=0,MA«MB=(b-a)(4b+1)得2(y-x)(4y+1)=0，又M在拋物線外部， y<x2y=-，即點(diǎn)M的軌跡方程為y=- 4y+1<0，即點(diǎn)M所在區(qū)域?yàn)閥=-的下方.42.已知0A=(1,1),OB=(1,5),0C=(5,1)若OD=xOA,y=£DB*DC(x,yR)(1) 求y=f(x)的解析式；(2) 把f(x)的圖像按向量a=(-3,4)平移得到曲線C,然后再作曲線C,關(guān)于直線y=x,的對(duì)稱曲線G,設(shè)點(diǎn)列P1,P2,Pn在曲線G的X軸上方的部分上，點(diǎn)列Q,QQ是X軸上的點(diǎn)列，且厶OQP1,QQP,.4 422

50、(3) 當(dāng)/AMB為銳角時(shí)，MAMB>0,結(jié)合(1)中結(jié)果有(y-x)(4y+1)>0，而y<x,Q-iQPn都是等邊三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)分別為ai,a2,an,求S=ai+a2+an的表達(dá)式.解題思路將DBDCD都用x表示，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可求解(1)，第問關(guān)鍵是找an的遞推關(guān)系式，進(jìn)而求an的通項(xiàng)，求S解答(1)OA=(1,1),OB=(1,5),OC=(5,1).OD=xOA=(x,x),DB=(1_x,5_x),DC=(5_x,1_x)二y=1DB4DC=x2-6x522/f(x)=x-6x+5將y=f(x)的圖像按a=(-3,4)平移得到曲線C,G:y=x2

51、，而C1關(guān)于y=x對(duì)稱曲線是C2：2y=x，在x軸上方的方程為y=.x,由已知Q-1(Sn-1,0),Pn(Sn-1+lan,-yan又Pn在y=.x上1=Sn2an1兩式相減得:4(a21-a2)=2(a+an+1),2、-an+1-an=，又可求彳得3222an(n1)nn333又an+1豐an2a,32c2n(n+1)n+nSn=n323考點(diǎn)高分解題綜合訓(xùn)練1已知OA、MB為平面上四點(diǎn),且OM-OB+(1-入)OA,A(1,2)，貝V()A. 點(diǎn)M在線段AB上B.點(diǎn)B在線段AM上B. 點(diǎn)A在線段BM上D.OA、MB四點(diǎn)共線答案：B解析：由OM=入0B+(1-入)0A，得OM-OA=入(O

52、B-OA),AM=入AB，又入(1,2),點(diǎn)B在線段AM±,選B.152已知ABC中,CB=a,CA=b,ab<0,Saabc=,|a|=3,|b|仁5，貝Ua與b的夾角為()4A.30°B.-150C.150D.30°或150°答案：C解析：&abc=丄|a|.|b|sinC=蘭,2 4又|a|=3,|b|=;5sinC=1，又ab=|a|,|b|cosC<0，二C為鈍角.2C=150°,又a與b的夾角為C,.a與b的夾角為150°.選C.3已知向量0B=(2,0)，向量0C=(2,2)，向量CA=(.2cosa

53、,2ina)，則向量與向量的夾角范圍是()A.0,B.匸,5二4412C.乞,二D:5二1221212答案：D解析：0A=0CCA=(2+,2cosa，2+、2Sina)A點(diǎn)軌跡是以(2，2)為圓心，,2為半徑的圓,當(dāng)OA與圓相切時(shí)的兩條切線與OB的夾角分別為OA與OB的夾角的最大值與最小值，易得最小值為462，最大值為選D,兀十兀465_12二，4非零向量OA=a,OB=b，若點(diǎn)B關(guān)于OA所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為B,則向量OB為()A.2(a*b)*a2a-b|a|C.2(ab)a-b|a|22(a叱)a-b|a|答案：1<i11+11iA解析：設(shè)BB與OA交于D,貝yOD=入OA=a,BD

54、=BO+OD=入a-b，由BDOA=(入a-b),a=0,得入=今,|a|2產(chǎn)b2得耐=訓(xùn)2_憶,解得m»磴.2 ,5-26 ABC中，(sinA+sinB):(sinB十sinC):(2sinC-sinA)=15:20：18,則最大內(nèi)角等于.答案：120。解析：由已知及正弦定理可得(d+b):(b+c):(2c-a)=15:20：18,不妨設(shè)a+b=15k,b+c=20k,2222c-a=18k，解得c=13k，b=7k,a=8k,最大內(nèi)角為C,且cosC=2-2，.c=120.7 已知A、BC三點(diǎn)共線，0是該直線外一點(diǎn)，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,且存在實(shí)數(shù)m,使ma-3b+c=O成立，求點(diǎn)A分BC所成的比和m的值.答案：解：設(shè)A分的比為A,則BA=入AC,所以O(shè)A_OB=入(OC_OA),即a-b=入(c-a),即(1+入)a-b-入c=0)，將已知c=3b-ma代入得(1+入+m入)a-(1+3入)b=0，又a與b不共線，1+入+m入=0,1+3入=0,解得入=-1,m=28 一動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為(x-1)2+2y=1,A(2,0)，求|OM2AM|2的最大、最小值.答案：解：設(shè)M(X0,y0),則OM2AIM=(3X0,-4,3yo),故|OM+2AIM|2=(3xo-4)2+9y