江蘇高考解析幾何壓軸題30題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1.如圖，在平面直角坐標(biāo) 系 xOy 中，已知橢圓的離心率為222210 xyabab，且右焦點(diǎn) F 到左準(zhǔn)線 l 的距離為 3.22（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過 F 的直線與橢圓交于 A，B 兩點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線分別交直線 l 和 AB 于點(diǎn) P，C，若 PC=2AB，求直線 AB 的方程.解：（1）由題意得， ，且 ，解得 則，22ca23acc2,1,ac1b 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2212xy（2）當(dāng)軸時(shí)，又，不合題意ABx2AB 3CP 當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，ABxAB1yk x11,x yA22,xy將的方程代入橢圓

2、方程，得，AB2222124210kxk xk則，的坐標(biāo)為，且221,2222 112kkxkC2222,1212kkkk2222221212122 2 1112kABxxyykxxk若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意0k ABy從而，故直線的方程為，0k PC222121212kkyxkkk 則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而P22522,12kkk2222 31112kkPCkk因?yàn)?，所以，解?PCAB222222 3114 2 11212kkkkkk1k 此時(shí)直線方程為或AB1yx1yx 2.已知橢圓的離心率為，一個(gè)交點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為 3，圓 N 的方程為2222:1(0)xyM

3、abab12為半焦距）直線與橢圓 M 和圓 N 均只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別設(shè)為 A、B.2222()(xcyac c:(0)l ykxm k（1）求橢圓方程和直線方程；BAOxylPC精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（2）試在圓 N 上求一點(diǎn) P，使。2 2PBPA精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)3.如圖，已知橢圓 O：y21 的右焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) B，C 分別是橢圓 O 的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 l：y2 上的一個(gè)動x24點(diǎn)（與 y 軸交點(diǎn)除外） ，直線 PC 交橢圓于另一點(diǎn) M（1）當(dāng)直線 PM 過橢圓的右焦點(diǎn) F 時(shí)，求FBM 的面積； （2）記直線 BM，BP 的斜率

4、分別為 k1，k2，求證：k1k2為定值； 求的取值范圍PB PM 解：（1）由題意，焦點(diǎn)，當(dāng)直線 PM 過橢圓的右焦點(diǎn) F 時(shí)，則直線 PM 的方程為，(0,1),(0, 1)BC( 3,0)F113xy即， 聯(lián)立，解得或（舍） ，即 2 分313yx221,431,3xyyx8 3,71,7xy0,1xy 8 3 1(, )77M連 BF，則直線 BF：，即，而， 4 分113xy330 xy2BFa228 312 3|33|3777271( 3)d故 5 分113322277MBFSBF d A（2）解法一：設(shè)，且，則直線 PM 的斜率為，( , 2)P m 0m 1( 2)10kmm

5、則直線 PM 的方程為，聯(lián)立化簡得，解得，811yxm 2211,1,4yxmxy 2248(1)0 xxmm22284(,)44mmMmm分 所以， 所以為定值 10 分22212412148844mmmkmmmm21( 2)30kmm 123 1344kkmm 由知，(,3)PBm 2322222841212(,2)(,)4444mmmm mPMmmmmm 所以， 13 分324222212121536(,3) (,)444mm mmmPB PMmmmm 令，故，244mt 22(4)15(4)367887ttttPB PMtttt 因在上單調(diào)遞增，故，即的取值范圍為16 分87ytt (

6、4,)t8874794PB PMtt PB PM (9,)解法二：設(shè)點(diǎn)，則直線 PM 的方程為，令，得. 7 分000(,)0M xyx 0011yyxx2y 00(, 2)1xPy所以，所以0101ykx0200031211ykxxy （定值）.10 分220000122200003131311344 1yyyyk kxxxy 由知，00(,3)1xPBy 0000(,2)1xPMxyy 所以 20000000200023212311xyxxPB PMxyyyyy 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)= 13 分 （第（第 4 題圖）題圖） 2000002004 12723211yyy

7、yyyy令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，010,2ty 8187ttPB PMttt 87ytt (0,2)t所以，即的取值范圍為 16 分8872792PB PMtt PB PM (9,)4.如圖，已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)，在上，且滿足12222byax0（ （ （ ba1F2FPM1PF（） ，為坐標(biāo)原點(diǎn).MPMF1RMFPO2O（1）若橢圓方程為，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）若，求橢圓離心率的取值范圍.14822yx（ （ （ （22PM2e解：（1） 22184xy12( 2,0),(2,0)FF2122,2,24OPF MF Mkkk 直線的方程為：，直線的方程為： 4 分2

8、F M2(2)yx 1FM2(2)4yx由解得： 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 6 分2(2)2(2)4yxyx 65x M65（2）設(shè) 00(,),(,)MMP xyM xy12FMMPuuuu ruuu rQ1002(,)(,)3MMFMxc yxc y00200212242(,),(,)333333MxcyF Mxcy ， 即 9 分2POF M00(,)OPxy 2000242()0333xc xy220002xycx聯(lián)立方程得：，消去得：，解得：或 122200022002221xycxxyab0y222222002()0c xa cxaac0()a acxc0()a acxc分 解得：，綜上，橢圓

9、離心率 的取值范圍為150axa 0()(0, )a acxac20aacac 12e e1( ,1)2分 5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率xoyC)0( 12222babyax，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線 交橢圓于點(diǎn)，交21e)0 , 4(AA)0( kklCD軸于點(diǎn). （1）求橢圓的方程; （2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)yECPAD，對于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明Q)0( kkEQOP Q理由; （3）若過點(diǎn)作直線 的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值.OlCMOMAEAD 解：（1）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以，又，所以.2 分( 4 0)A （4a 12e 2c

10、 又因?yàn)?，所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4 分22212bac2211612xyPDMAOxyE精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（2）直線 的方程為，由消元得，.l(4)yk x2211612(4),xyyk x（22 (4)11612xk x 化簡得，所以，. 6 分22(4)(43)1612)0 xkxk14x 222161243kxk當(dāng)時(shí)，22161243kxk222161224(4)4343kkykkk所以.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，則.8222161224,4343()DkkkkPADP2221612,43 43()kkkk3(0)4OPkkk分直線 的方程為，令，得點(diǎn)

11、坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，l(4)yk x0 x E(0,4 )k( , )(0)Q m n m OPEQ則，即恒成立，所以恒成立，所以即1OPEQkk 3414nkkm (412)30mkn412030mn（30mn （因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為. 10 分Q( 3,0)（3）因?yàn)椋缘姆匠炭稍O(shè)為，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，12 分OMlAOMykx2211612xyykx（M24 343xk 由，得 14 分OMlA2DAEADAMMxxxxxxADAEOMxx222221612149434 3343483kkkkk，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，2216)2(243343kk 2264343kk32k 所以當(dāng)時(shí)

12、，的最小值為 16 分32k ADAEOM2 26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓(ab0)的兩焦點(diǎn)分別為 F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，22221xyab33且經(jīng)過點(diǎn)(，) （1）求橢圓的方程及離心率；312（2）設(shè)點(diǎn) B，C，D 是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn)，點(diǎn) B 與點(diǎn) D 關(guān)于原點(diǎn) O 對稱設(shè)直線 CD，CB，OB，OC 的斜率分別為 k1，k2，k3，k4，且 k1k2k3k4求 k1k2的值；求 OB2+OC2的值解：（1）方法一：依題意，c，a2b2+3，2 分3由，解得 b21(b2，不合，舍去)，從而 a24故所求橢圓方程為：離心率 e 5 分2213413bb342

13、214xy32方法二 由橢圓的定義知，2a4， 即 a2又因 c，故 b21下222211(33)(0)( 33)(0)223略（2）設(shè) B(x1，y1)，C(x2，y2)，則 D(x1，y1)，于是 k1k2 8 分21212121yyyyxxxx12222221yyxx22212221(1)(1)44xxxx14yxOF1F2BC（第 17 題）D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)方法一由知，k3k4k1k2，故 x1x214124y y所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，所以，411 分221216(1)(1)44xx22221212164()xxx x221

14、2xx又 2，故所以，OB2+OC2 5 14 分22221212()()44xxyy222212124xxyy22121yy22221122xyxy方法二由知，k3k4k1k2將直線 yk3x 方程代入橢圓中，得 9 分142214xy2123414xk同理，所以，411 分下同方法一2224414xk22122234441414xxkk22334411414()4kk7.如圖，已知橢圓其率心率為兩條準(zhǔn)線之間的距離為分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過點(diǎn)),0( 1:2222 babyaxM,23CB,338M的直線分別與橢圓交于兩點(diǎn).)0)(2 ,( ttTTCTB,MFE,（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

15、（2）若的面積是的面積的倍，求的最大值.MTBCTEFkk解：（1）由題意，解得，所以，橢圓方程為 4 分23 28 3,23caac2,3ac1b 2214xy（2）解法一解法一： ， 6 分12TBCSBC tt直線方程為：，聯(lián)立，得，所以到的距離TB11yxt221411xyyxt284Etxt22284,44ttEtt:TC30 xtyt ， 直線方程為：，聯(lián)立，得8 分222222242444212994t tttttt tdtttTC31yxt221431xyyxt22436Ftxt所以，所以2222436,3636ttFttTF22222243623636ttttt，10 分 2

16、2222222222222212336129129363636tttttttttt所以，22222222221292121211223636494TEFttt tt tSTF dttttt所以， 令，則，14 分222236412TBCTEFttSkSt21212tm22(8)(24)16192413mmkmmm 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“” ， 所以的最大值為16 分24m 2 3t k43解法二：解法二：直線方程為，聯(lián)立，得， 6 分TB11yxt221411xyyxt284Etxt直線方程為：，聯(lián)立，得， 8 分TC31yxt221431xyyxt22436Ftxt精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專

17、心-專注-專業(yè) 10 分1sin21sin2TBCTEFTB TCBTCSTB TCkSTE TFTE TFETFTCTBTETFxxxxTB TCTE TFxxxx， 12 分2222224368241212436tttttttttttt令，則，14 分21212tm22(8)(24)16192413mmkmmm 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“” ，所以的最大值為 16 分24m 2 3t k438.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交xoy2222:1(0)xyCabab63lxEC于、兩點(diǎn). 當(dāng)直線 垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)， 弦的長為.ABlxECAB2 63

18、（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢CE3(,0)2A3AO圓于另一點(diǎn)，求的面積；（3）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請指出點(diǎn)的坐標(biāo)，CPPABE2211EAEBE并求出該定值；若不存在，請說明理由.解：（1）由，設(shè)，則，63ca3 (0)ak k6ck223bk所以橢圓的方程為，因直線 垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，即，代入橢圓方C2222193xykklxEC6ABxxk程，解得，于是，即，所以橢圓的方程為 5 分yk 2 623k 63k C22162xy（2）將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，從而，3x 22162xy1y A( 3,1)A

19、由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，E3(,0)223ABkPA23()23yx聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，PAC37(,)55B 又過原點(diǎn)，于是，所以直線的方程為，PAO(3, 1)P 4PA PA30 xy所以點(diǎn)到直線的距離，10 分BPA37 3553 325h13 36 34255PABS （3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，E2211EAEB0(,0)E xyxBPAOEF1F2第 18 題精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有，ABx202222220001221111(6)(6)( 6)xEAEBxxx當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， 由，解得，ABx22220011266

20、2(1)6xEAEBx20222001226(6)6xxx03x ，所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值 2. 12 分20626xE(3,0)E 2211EAEB根據(jù)對稱性，只需考慮直線過點(diǎn)，設(shè)，又設(shè)直線的方程為，與AB( 3,0)E11( ,)A x y22(,)B xyAB3xmy橢圓聯(lián)立方程組，化簡得，所以，C22(3)2 330mymy1222 33myym12233y ym又，22222222111111111(1)(3)EAm yymyxy所以，212122222222221212()21111(1)(1)(1)yyy yEAEBmymymy y將上述關(guān)系代入，化簡可得.綜上所述，存在點(diǎn)，

21、使得為定值 216 分22112EAEB(3,0)E 2211EAEB9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 E：的離心率為，xOy22221(0)xyabab22直線 l：與橢圓 E 相交于 A，B 兩點(diǎn)，C，D 是橢圓 E 上異于 A，B 兩點(diǎn)，12yx2 5AB 且直線 AC，BD 相交于點(diǎn) M，直線 AD，BC 相交于點(diǎn) N.（1）求的值；（2）求證：直線 MN 的斜率為定值., a b解解：（1）因?yàn)?e ，所以 c2 a2，即 a2b2 a2，所以 a22b2 2 分ca221212故橢圓方程為1由題意，不妨設(shè)點(diǎn) A 在第一象限，點(diǎn) B 在第三象限 x22b2 y2b2由解得 A(b，

22、b)又 AB2，所以 OA，即 b2 b25，解得 b23故 a，b5 分y 12x， x22b2 y2b21，) 2 33 33554313 6 3（2）方法一方法一：由（1）知，橢圓 E 的方程為 1，從而 A(2，1)，B(2，1) x26 y23當(dāng) CA，CB，DA，DB 斜率都存在時(shí)，設(shè)直線 CA，DA 的斜率分別為 k1，k2，C(x0，y0)，顯然 k1k2xyAOBCDMN(第 18 題圖)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)從而 k1 kCB 所以 kCB 8 分 y01x02 y01x02 y021x024 3(1sdo1(f(x02,6)1x024 2 x022x0

23、2412 12k1同理 kDB于是直線 AD 的方程為 y1k2(x2)，直線 BC 的方程為 y1(x2) 12k2 12k1由解得 從而點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(，) y1 12k1(x2)，y1k2(x2)，) 4k1k24k122k1k21 2k1k24k212k1k21用 k2代 k1，k1代 k2得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(，) 11 分 4k1k24k222k1k21 2k1k24k112k1k21所以 kMN 1即直線 MN 的斜率為定值1 14 分 4(k1k2)4(k2k1)當(dāng) CA，CB，DA，DB 中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線 CA 的

24、斜率不存在，從而 C(2，1)仍然設(shè) DA 的斜率為 k2，由知 kDB此時(shí) CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點(diǎn) M(2，1) 12k2 12k22k2BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點(diǎn) N(2，1)，從而 kMN1 也成立2k2由可知，直線 MN 的斜率為定值1 16 分方法二方法二：由（1）知，橢圓 E 的方程為 1，從而 A(2，1)，B(2，1) x26 y23當(dāng) CA，CB，DA，DB 斜率都存在時(shí)，設(shè)直線 CA，DA 的斜率分別為 k1，k2顯然 k1k2直線 AC 的方程 y1k1(x2)，即 yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k

25、124k12)0yk1x(12k1)， x26 y231)設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(x1，y1)，則 2x1，從而 x1 2(4k124k12)12k12 4k124k122k121所以 C(，)又 B(2，1)，所以 kBC 8 分 4k124k122k121 2k124k112k121 2k124k112k1211 4k124k122k1212 12k1所以直線 BC 的方程為 y1(x2)又直線 AD 的方程為 y1k2(x2) 12k1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)由解得從而點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(，) y1 12k1(x2)，y1k2(x2)，) 4k1k24k122k1k21 2k

26、1k24k212k1k21用 k2代 k1，k1代 k2得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(，) 11 分 4k1k24k222k1k21 2k1k24k112k1k21所以 kMN 1即直線 MN 的斜率為定值1 14 分 4(k1k2)4(k2k1)當(dāng) CA，CB，DA，DB 中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線 CA 的斜率不存在，從而 C(2，1)仍然設(shè) DA 的斜率為 k2，則由知 kDB此時(shí) CA：x2，DB：y1(x2)，它們交點(diǎn) M(2，1) 12k2 12k22k2BC：y1，AD：y1k2(x2)，它們交點(diǎn) N(2，1)，從而 kMN1 也成立2k

27、2由可知，直線 MN 的斜率為定值1 16 分10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 C：，的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，過橢圓的左頂點(diǎn)xOy22221(0)xyabab226(1,)2A 作直線 lx 軸，點(diǎn) M 為直線 l 上的動點(diǎn)（點(diǎn) M 與點(diǎn) A 在不重合） ，點(diǎn) B 為橢圓右頂點(diǎn)，直線 BM 交橢圓 C 于點(diǎn) P（1） 求橢圓 C 的方程；（2） 求證：APOM；（3） 試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是，請說明理由OP OM 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，與軸平行的直線與橢圓交于、xOy:E22221(0)xyababAx

28、EB兩點(diǎn)，過、兩點(diǎn)且分別與直線、AC垂直的直線相交于點(diǎn)已知橢圓的離心率為CBCABDE，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 534 55E（2）證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動，并求出該直線的方程；（3）求面積的最大值DBCD解：（1）由題意得，解得，所以，53ca24 55acc3,5ac224bac所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4 分E22194xy（2）設(shè)，顯然直線的斜率都存在，設(shè)為，0000(,),(,)B xyCxy,AB AC BD CD1234,k k k k 則，001200,33yykkxx00340033,xxkkyy 所以直線的方程為：，,BD CD0000000033(),

29、()xxyxxyyxxyyy 消去得，化簡得，故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動10 分y0000000033()()xxxxyxxyyy3x D3x （3）由（2）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又，所以，D2000000039(3)Dxxyxyyyy2200194xy2200994yx 則，所以點(diǎn)到直線的距離 為， 2000000009354(3)4Dyxyxyyyyy DBCh00005944Dyyyyy 將代入得，所以面積0yy22194xy203 14yx BCD2001196 12244ABCySBC hy，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，220020012712727441242224yyyy2200144yy02y

30、故時(shí)，面積的最大值為 16 分02y BCD274xyDCOBA精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，xOy12,F F22221(0)xyababB0,b且是邊長為的等邊三角形. 求橢圓的方程；12BFF2 1過右焦點(diǎn)的直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，記，的面積分別為.若，求直線 的斜率. 22Fl,A C2ABF2BCF12,S S122SSl13.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) ，C， D 分別為線段( 3,4), (9,0)AB精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)OA， OB 上的動點(diǎn)，且滿足 AC=BD.（1

31、）若 AC=4，求直線 CD 的方程;（2）證明：OCD 的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn) O).解析：(1) 因?yàn)? 3,4)A ，所以22( 3)45OA ，1 分又因?yàn)?AC ，所以1OC ，所以3 4(, )5 5C ，由4BD ，得(5,0)D， 4 分所以直線的斜率，所以直線的方程為，即6 分CD40153755 CD1(5)7yx 750 xy（2)設(shè)( 3 ,4 )(01)Cmmm，則5OCm7 分則55ACOAOCm，因?yàn)锳CBD，所以5 +4ODOBBDm，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為 (5 +4,0)m8 分又設(shè)OCD的外接圓的方程為22+0 xyDx EyF，則有10 分2220,916

32、340,54540.FmmmDmEFmmDF解得(54),0DmF ,103Em ,所以O(shè)CD的外接圓的方程為22(54)(103)0 xymxmy，12 分整理得，令2243 =0,+2 =0 xyxyxy，所以0,0.xy（舍）或2,1.xy 22435 (2 )0 xyxym xy所以O(shè)CD的外接圓恒過定點(diǎn)為(2, 1)14 分14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓的左xOy22:C22221(0)xyabab頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分AOC,P Q,PA QA別與軸交于兩點(diǎn)若直線斜率為時(shí)，y,M NPQ222 3PQ （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；C

33、（2）試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與直線的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)MNPQ論解：（1）設(shè)，直線斜率為時(shí)，分002(,)2P xxPQ222 3PQ 22002()32xx202x，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 分22211ab2222cabeaa224,2abC22142xyNMQAOPxy精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)xyOABCDF（第 18 題）E（）以為直徑的圓過定點(diǎn)設(shè)，則，且，即，MN(2,0)F 00(,)P xy00(,)Qxy2200142xy220024xy，直線方程為： ， ，( 2,0)A PA00(2)2yyxx002(0,)2yMx 直線方程為： ， 分QA00(2

34、)2yyxx002(0,)2yNx 以為直徑的圓為，即， 12 分MN000022(0)(0)()()022yyxxyyxx222000220044044x yyxyyxx，令，解得，220042xy 2200220 xxyyy0y 2220 xy2x 以為直徑的圓過定點(diǎn)16 分MN(2,0)F 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓22221(0)yxabab的右焦點(diǎn)為(1 0)F ，離心率為22分別過O， F 的兩條弦 AB ，CD相交于點(diǎn)E（異于A，C兩點(diǎn)） ，且OEEF（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線AC， BD的斜率之和為定值解（1）由題意，得1c ，22cea，故2a ，

35、從而2221bac， 所以橢圓的方程為2212xy 5 分 （2）證明：設(shè)直線AB的方程為ykx， 直線CD的方程為(1)yk x ， 7 分 由得，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為2221k， 由得，點(diǎn)C， D 的橫坐標(biāo)為22222(1)21kkk， 9分 記11( )A x kx，22( )B xkx，33( (1)C xkx，44( (1)D xkx，則直線AC， BD的斜率之和為13241324(1)(1)kxkxkxkxxxxx132413241324(1)()()(1)()()xxxxxxxxkxxxx1234123413242()()()()()x xx xxxxxkxxxx13分 22222

36、13242(1)2420212121()()kkkkkkxxxx0 16 分16.橢圓C的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，離心率為32，點(diǎn)A在橢圓上，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與l的兩個(gè)公共點(diǎn)是,B D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（1）若FBD是邊長為的等邊三角形，求圓的方程；2（2）若,A F B三點(diǎn)在同一條直線上，且原點(diǎn)到直線的距離為2，求橢圓方程mm解：設(shè)橢圓的半長軸是a，半短軸是b，半焦距離是c，由橢圓C的離心率為32，可得橢圓C方程是222214xybb，2 分（只要是一個(gè)字母，其它形式同樣得分， ）焦點(diǎn)( 3 ,0)Fb，準(zhǔn)線43bx ，設(shè)點(diǎn)00(,)A xy，（1）FBD是

37、邊長為的等邊三角形，則圓半徑為，且F到直線l的距離是，223又F到直線l的距離是223abbFMccc， 所以，所以33b3b 3 3c 所以，圓的方程是。 6 分22(3 3)4xy（2）因?yàn)?A F B三點(diǎn)共線，且F是圓心，所以F是線段AB中點(diǎn)，由B點(diǎn)橫坐標(biāo)是43b得，204222 33333axcbbbc， 8 分再由22002214xybb得：222200243xybb，063yb，所以直線m斜率0063233bykxcb 10 分直線m：2()yxc ，220 xyc12 分原點(diǎn)O到直線m的距離23cd ，依題意223c，6c ，所以2b ，所以橢圓的方程是22182xy15 分17

38、.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 C：（）的左焦點(diǎn)為，右xOy22221xyab0abF頂點(diǎn)為 A，動點(diǎn) M 為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)（異于右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)） ，設(shè)線段交橢圓 C 于xFM點(diǎn) P，已知橢圓 C 的離心率為，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 （1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；2392（2）設(shè)直線 PA 的斜率為，直線 MA 的斜率為，求的取值范圍1k2k12kk解：（1）由已知，得，22,39,2caacM A P FOx y 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)18.已知橢圓 E：22221(a0)xybab+=過點(diǎn)(0,2），且離心率為22 (1)求橢圓 E 的方程； (2)設(shè)直線1xmymR=-

39、，()交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)，判斷點(diǎn) G9(4-, 0)與以線段 AB 為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由解法一：()由已知得 2222,2,2,bcaabc=+解得222abc= 所以橢圓 E 的方程為22142xy+=精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my(m +1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=+=-+=+所以|AB|GH|2，故 G9(4-, 0)在以 AB 為直徑的圓外解法二：()同解法一. ()設(shè)點(diǎn)1122(y ),B(,y ),A xx，則112299GA(,),GB(,

40、).44xyxy=+=+ 由22221(m2)y230,142xmymyxy=-+-=+=得所以12122223y +y =,y y =m2m2m+，121212129955GA GB()()(my)(my)4444xxy yy y=+=+ A22212122252553(m +1)25(m +1)y(y )4162(m2)m216mym y=+=-+22172016(m2)m +=+所以cos GA,GB0,GAGB 又，不共線，所以AGB為銳角 故點(diǎn) G9(4-, 0)在以 AB 為直徑的圓外19.如圖，圓 O 與離心率為的橢圓 T：（）相切于點(diǎn) M。2312222byax0 ba) 1

41、, 0(求橢圓 T 與圓 O 的方程；過點(diǎn) M 引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點(diǎn) A、C 與點(diǎn) B、D（均不重合）.1l2lP 為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn) P 到兩直線的距離分別為、，求的最大值；1d2d2221dd若，求與的方程.MDMBMCMA431l2l解: (1)由題意知: 解得可知:222, 1,23abcbac3, 1, 2cba精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)橢圓的方程為與圓的方程4 分C1422 yxO122 yx(2)設(shè)因?yàn)?則),(00yxP1l2l202022221) 1(yxPMdd因?yàn)?所以,7 分142020 yx316)31(3) 1(4420202

42、02221yyydd因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)9 分110y310y2221dd316)31,324(P(3)設(shè)的方程為,由解得；由解：111l1 kxy1122yxkxy)11,12(222kkkkA14122yxkxy)4141,148(222kkkkC把中的置換成可得，12 分CA,kk1)11,12(222kkkkB)44,48(222kkkkD所以，)12,12(222kkkkMA)418,148(222kkkkMC)12,12(22kkkMB)48,48(22kkkMD由得解得15 分34MA MCMB MD 44413222kkk2k所以的方程為，的方程為1l12 xy2

43、l122xy或的方程為，的方程為16 分1l12 xy2l122xy20.已知圓過點(diǎn),且與圓:關(guān)于直線對稱.C) 1 , 1 (PM222(2)(2)(0)xyrr20 xy(1)求圓的方程； (2)設(shè)為圓上的一個(gè)動點(diǎn),求的最小值；CQCPQ MQ (3)過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓相交于,且直線和直線的傾斜角互補(bǔ),為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線和PCBA,PAPBOOP是否平行?請說明理由.AB解:(1)設(shè)圓心,則,解得 (3 分)C( , )a b222022212abba00ab則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為(5 分)C222xyrP22r C222xy(2)設(shè),則,且 (7 分)(

44、 , )Q x y222xy(1,1) (2,2)PQ MQxyxy =,所以的最小值為 (可由線性規(guī)劃或三角代換求得)(10 分)224xyxy2xyPQ MQ 4(3)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),PAPB:1(1)PA yk x ,由,得 (11 分):1(1)PB yk x 221(1)2yk xxy 222(1)2 (1)(1)20kxkk xk精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得 (13 分)P1x 22211Akkxk 同理,所以=22211Bkkxk(1)(1)2()1BABABAABBABABAyyk x

45、k xkk xxkxxxxxxOPk 所以,直線和一定平行 (16 分)ABOP21.已知圓的方程為，直線 的方程為，點(diǎn)在直線 上，過點(diǎn)作圓的切線，切M22(2)1xyl20 xyPlPM,PA PB點(diǎn)為 （1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；,A B60APBP（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；P(2,1)PM,C D2CD CD（3）求證：經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)., ,A P M解：（1）設(shè)，由題可知，所以，解之得：(2 ,)Pm m2MP 22(2 )(2)4mm40,5mm故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或P(0,0)P8 4( , )5 5P（2）設(shè)直線的方程為：，

46、易知存在，由題知圓心到直線的距離為，所以CD1(2)yk x kMCD22，221221kk解得，或，故所求直線的方程為：或 1k 17k CD30 xy790 xy（3）設(shè)，的中點(diǎn)，因?yàn)槭菆A的切線(2 ,)Pm mMP( ,1)2mQ mPAM所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，故其方程為： , ,A P MQMQ2222()(1)(1)22mmxmym化簡得：，此式是關(guān)于的恒等式，222(2)0 xyym xym故解得或 所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)或. 2220,20,xyyxy02xy1,1.xy, ,A P M(0,2)(1,1)22.已知橢圓 E：的離心率為，它的上頂點(diǎn)為 A，左

47、、右焦點(diǎn)分別為，直線 AF1，AF2分別22221(0)xyabab3312,F F交橢圓于點(diǎn) B，C （1）求證:直線 BO 平分線段 AC； （2）設(shè)點(diǎn) P（m，n） （m，n 為常數(shù)）在直線 BO 上且在橢圓外，過 P 的動直線 l 與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn) M，N，在線段 MN 上取點(diǎn) Q，滿足，試證明點(diǎn) Q 恒在一定直線MPMQPNQN上解:（1）由題意，則，故橢圓方程為，32ca3ac22222bacc2222132xycc即，其中，2222360 xyc(0, 2 )Ac1(,0)Fc直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，1AF21AF2()yxc精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)

48、聯(lián)立得，解得（舍）和，即，2222360,2(),xycyxc2230 xcx10 x 232xc 32(,)22Bcc由對稱性知 直線 BO 的方程為，線段 AC 的中點(diǎn)坐標(biāo)為，32(,)22Ccc23yx32(,)44ccAC 的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線 BO 的方程，即直線 BO 平分線段 AC32(,)44cc（2）設(shè)過 P 的直線 l 與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，1122( ,),(,)M x yN xy( , )Q x y則，設(shè)，則，22211236xyc22222236xycMPMQPNQNMPMQPNQN,APPB AQQB 求得，1212,11xxxxmx1212,11yyyy

49、ny222222121222,11xxyymxny，2222222222221212112222223323(23)23611xxyyxyxymxnyc由于 m，n，C 為常數(shù)，所以點(diǎn) Q 恒在直線上22360mxnyc23.橢圓 C： 兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且,，.)0( 12222babyax12,F F211FFPF 211PF3221FF(1)求橢圓 C 的方程. (2)以此橢圓的上頂點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形 ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個(gè);若不存在，請說明理由.解：解：(1) ，又， 3221FF3c211FFPF ,27,4

50、4922212122PFFFPFPF, 所求橢圓 C 的方程為.1, 2, 4222221cabaPFPFa則1422 yx(2)假設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形 ABC，其中，由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)) 1 , 0(BBCBA,x邊所在直線的方程為， ,則邊所在直線的方程為.BA1 kxy)0(k不妨設(shè)BC11-xky由得,故，221,44,ykxxy12280()14kxxk 舍，) 1418,418(222kkkkA 用代替上式中的，得,4118)418()418(2222222kkkkkkkABk1-k22418kkBC由 即即得,BCAB ,41)422kkk（3244

51、10,kkk 2(1)(31)0,kkk 故存在三個(gè)滿足題設(shè)條件的內(nèi)接等腰直角三角形.,2531, 0kkk或解得精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)24.已知橢圓：（）經(jīng)過與兩點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線 與橢圓交于、兩點(diǎn)，C12222byax0 ba) 1,1 (23,26lCAB橢圓上一點(diǎn)滿足CM|MBMA （1）求橢圓的方程； （2）求證：為定值C222|2|1|1OMOBOA解：（1）將與代入橢圓的方程，得，（2 分）) 1,1 (23,26C143231112222baba解得，所以橢圓的方程為（6 分）32a232bC132322yx（2）由，知在線段的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知、

52、關(guān)于原點(diǎn)對稱|MBMA MABAB若點(diǎn)、在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)在橢圓的長軸頂點(diǎn)上，此時(shí)ABM（1 分）2112211|2|1|122222222baabbOMOBOA同理，若點(diǎn)、在橢圓的長軸頂點(diǎn)上，則點(diǎn)在橢圓的短軸頂點(diǎn)上，此時(shí)ABM（2 分）2112211|2|1|122222222babaaOMOBOA若點(diǎn)、不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線 的方程為（） ，ABMlkxy 0k則直線的方程為設(shè)，OMxky1),(11yxA),(22yxM由，解得，（4 分）132322yxkxy221213kx2221213kky所以，同理可得，2221212221)1 (3|kkyxOBOA2222)1 (3|k

53、kOM所以（7 分）2)1 (3)2(2)1 (321)1 (321|2|1|1222222222kkkkkkOMOBOA綜上，為定值（8 分）222|2|1|1OMOBOA225.已知左焦點(diǎn)為 F(1，0)的橢圓過點(diǎn) E(1，)過點(diǎn) P(1，1)分別作斜率為 k1，k2的橢圓的動弦 AB，CD，設(shè) M，N 分2 33別為線段 AB，CD 的中點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若 P 為線段 AB 的中點(diǎn)，求 k1； （3）若 k1+k2=1，求證直線 MN 恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)OABMxyOABMxy精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解解：依題設(shè) c=1，且右焦點(diǎn)(1，0)F所以，

54、2a=，b2=a2c2=2，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4 分EFEF222 32 3(1 1)2 33322132yx(2)設(shè) A(，)，B(，)，則，1x1y2x2y2211132xy2222132xy，得 所以，k1= 9 分21212121()()()()032xxxxyyyy212121212()423()63PPyyxxxxxyyy (3)依題設(shè)，k1k2設(shè) M(,)，直線 AB 的方程為 y1=k1(x1)，即 y=k1x+(1k1)，亦即 y=k1x+k2，MxMy代入橢圓方程并化簡得 于是，11 分2221122(23)6360kxk k xk1221323Mk kxk2212

55、23Mkyk同理，1222323Nk kxk122223Nkyk當(dāng) k1k20 時(shí)，直線 MN 的斜率 k=13 分MNMNyyxx222211212146()9()kk kkk k kk21211069k kk k直線 MN 的方程為，即 ，2211222211121063()92323kk kk kyxk kkk21211222221211110610632()992323k kk kk kkyxk kk kkk亦即 此時(shí)直線過定點(diǎn)15 分2121106293k kyxk k2(0,)3當(dāng) k1k2=0 時(shí)，直線 MN 即為 y 軸，此時(shí)亦過點(diǎn)綜上，直線 MN 恒過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為 16 分

56、2(0,)32(0,)326.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，長軸在 x 軸上，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為. O(2,0)A23不過 A 點(diǎn)的動直線交橢圓于 P,Q 兩點(diǎn)12yxmO（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）證明 P,Q 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值；（3）過點(diǎn) A,P,Q 的動圓記為圓 C，動圓 C 過不同于 A 的定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意得.2 分分012222babyax23, 2ea, , 2 分分 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4 分分3c1b 1422 yx（2）證明：設(shè)點(diǎn) 將帶入橢圓，化簡得：),(),(2211yxQyxPmxy210) 1(

57、2222mmxx1,6 分分 , 212122 ,2(1)xxmx xm 222121212()24xxxxx xP,Q 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值 4.7 分分（3）(法一)設(shè)圓的一般方程為:,則圓心為（）,220 xyDxEyF,22DEPQ 中點(diǎn) M(), PQ 的垂直平分線的方程為:, 8 分分2,mmmxy232 圓心（）滿足，所以,9 分分2,2EDmxy232 322EDm2精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)O1C2Cxy. .圓過定點(diǎn)(2,0)，所以,10 分分420DF3圓過, 則 兩式相加得：1122(,),(,)P xyQ xy2211112222220,0,xy

58、DxEyFxyDxEyF 22221212121220,xxyyDxDxEyEyF,11 分分222212121212(1)(1)()()2044xxxxD xxE yyF, .12 分分12yym5220mDmEF4因?yàn)閯又本€與橢圓 C 交與 P,Q（均不與 A 點(diǎn)重合）所以，12yxm1m由解得: 13 分分2343(1)3335,42222mDEmFm 代入圓的方程為：,223(1)3335()042222mxyxmym整理得：,14 分分22335333()()0422422xyxymxy所以：15 分分 解得：或(舍). 223350,4223330,422xyxyxy0,1,xy2

59、,0 xy 所以圓過定點(diǎn)(0,1).16 分分( (法二法二) ) 設(shè)圓的一般方程為:,將代入的圓的方程:220 xyDxEyFmxy21.8 分分024522FmEmxEDmx5方程與方程為同解方程., 11 分分1522122(1)542EmmEFmDmm圓過定點(diǎn)(2,0)，所以 , 12 分分 024FD因?yàn)閯又本€與橢圓 C 交與 P,Q（均不與 A 點(diǎn)重合）所以.mxy211m解得: ,13 分分 (以下相同以下相同)3(1)3335,42222mDEmFm 27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓xOy1) 1( :221yxC. 1)4()3( :222yxC（1）若過點(diǎn)的直線

60、被圓截得的弦長為，求直線 的方程；)0 , 1(1Cl2C56l（2）設(shè)動圓同時(shí)平分圓的周長、圓的周長. 證明：動圓圓心在一條定直線上運(yùn)動； C1C2CC動圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.C解：思路一：設(shè)圓：（） ，C220 xyDxEyF2240DEF精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)OxyABl 易得圓：， 圓：，1C2220 xyx2C2268240 xyxy 由得，將代入得，(2)0DxEyF1( 1 0)C ，2FD 由得，將代入得， (6)(8)240DxEyF2(3 4)C，6ED 代入得，整理得， 22(6)20 xyDxDyD22(1)6