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文檔簡介

1、 某小區(qū)住宅設(shè)計,準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間,開辟某小區(qū)住宅設(shè)計,準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間,開辟周長周長為為900900米的一塊長方形綠地,并且長比寬多米的一塊長方形綠地,并且長比寬多1010米,那么綠米,那么綠地的長和寬各為多少?地的長和寬各為多少?問題問題1 1:解:設(shè)長方形綠地的寬為解:設(shè)長方形綠地的寬為x米,得米,得900102 xx整理可得: 900204x (1)變式:某小區(qū)住宅設(shè)計,準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間,開辟變式:某小區(qū)住宅設(shè)計,準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間,開辟面面積積為為900平方米的一塊長方形綠地,并且長比寬多平方米的一塊長方形綠地,并且長比寬多10米,那米,那么綠地的長和寬各為多少?么綠地

2、的長和寬各為多少?解:設(shè)長方形綠地的寬為解:設(shè)長方形綠地的寬為x米,得米,得90010 xx整理可得: 900102xx (2)思考思考1:方程(:方程(2)與一元一次方程的區(qū)別在哪里?)與一元一次方程的區(qū)別在哪里?思考思考2:方程(:方程(1)和方程()和方程(2)有什么共同點呢?)有什么共同點呢? 思考思考3:你能類比一元一次方程給方程(:你能類比一元一次方程給方程(2)起個)起個名稱嗎?名稱嗎? 思考思考4:根據(jù)以上討論的結(jié)果,你能說出什么方程是:根據(jù)以上討論的結(jié)果,你能說出什么方程是一元二次方程嗎?一元二次方程嗎? 只含有一個未知數(shù)只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的,并且未知數(shù)的最高次數(shù)最

3、高次數(shù)是是2的的整式方程整式方程,叫做一元二次方程。,叫做一元二次方程。 900204x900102xx一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同點相同點不同點不同點 ax=b (a0)ax2+bx+c=0 (a0)都是整式方程,只含有一個未知數(shù)都是整式方程,只含有一個未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是未知數(shù)最高次數(shù)是2整式整式方程方程一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像這樣的等號兩邊都是整式像這樣的等號兩邊都是整式, , 只含有只含有一個未知數(shù)一個未知數(shù)( (一元一元) ),并且未知數(shù)的最,并且未知數(shù)的最高次數(shù)是高次數(shù)是2(2(二次二次) )的

4、方程叫做的方程叫做一元二次一元二次方程。方程。 都是都是整式整式方程方程; ; 只含只含一一個未知數(shù)個未知數(shù); ;未知數(shù)的最高次數(shù)是未知數(shù)的最高次數(shù)是2.2.即:一元二次方程即:一元二次方程的特點的特點:(默(默1)20axbxc 20axbxc 為什么要限制為什么要限制 a x 2 + b x + c = 0(a 0)一次項系數(shù)一次項系數(shù)一元二次方程的一元二次方程的一般一般形式形式 二次二次項項一次一次項項“= =”的右邊必的右邊必須整理成須整理成0.0.(默(默2)ax2+bx=0 (a0,b0) 一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)完全的一元二次方

5、程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 不完全的不完全的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0 (a0,c0)ax2=0 (a0)例例1 1:212(4)0 xx (1)x2+x =36(2) x3+ x2=36(3)x+3y=36(5) x+1=0 63)6(2x22)32(14)7(xx062)(8(2xx 判斷一個方程是否是一元二次方程,關(guān)鍵是要將方程判斷一個方程是否是一元二次方程,關(guān)鍵是要將方程化為化為一般式一般式,然后根據(jù)一元二次方程必須同時滿足的,然后根據(jù)一元二次方程必須同時滿足的三個三個條件條件進(jìn)行判別。進(jìn)行判別。 (默(默3)05212 xx)(0

6、13422 yx)(032cbxax)(0214 )()(xx0152aa)(1262 )(m)(1)(4)(6可能為可能為0是分式是分式2(7)5xx2(8)2321x xx是二次是二次根式根式61.x化簡為:例題講解 例2 將下列方程化為一般形式,并分別指出它們將下列方程化為一般形式,并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù):的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù): (1) 例題講解)2(5) 1(3xxx105332xxx0105332xxx02x(2)解:解:010832 xx10常數(shù)項為88 ,其系數(shù)為一次項:x332,其系數(shù)為二次項:x12、系數(shù)為二次項: x00、系數(shù)為一

7、次項:0常數(shù)項:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是數(shù)項都是包括符號包括符號的的 ax2 + bx + c = 0注意注意:要確定一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項要確定一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項 ,必必須先將方程化為一般形式須先將方程化為一般形式二次項系數(shù)二次項系數(shù)一次項系數(shù)一次項系數(shù) 常數(shù)項常數(shù)項(a0) 在寫一元二次方程的一般形式時在寫一元二次方程的一般形式時, ,通常按未通常按未知數(shù)的知數(shù)的次數(shù)從高到低排列次數(shù)從高到低排列, ,即即先寫先寫二次項二次項, ,再寫再寫一次項一次項, ,最后是最后是常數(shù)項。常數(shù)項。例例3.把下列方程化為一元二

8、次方程的形式,并寫出它的二次把下列方程化為一元二次方程的形式,并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:方程方程一般形式一般形式二次項二次項系數(shù)系數(shù)一次項一次項系數(shù)系數(shù)常數(shù)項常數(shù)項3x2=5x-1(x+2)(x -1)=64-7x2=03x25x10 x2 x8035 111 835 11187x2 4070 4一元二次方程一元二次方程二次項二次項系數(shù)系數(shù)一次項一次項系數(shù)系數(shù)常數(shù)項常數(shù)項 42x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1搶答:搶答:4x2-5=040-5m-31-m-m(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3)3-8-

9、10 方程方程(2a4)x2 2bx+a=0, 在什么條件下此方程為在什么條件下此方程為一元二次一元二次方程?方程?在什么條件下此方程為在什么條件下此方程為一元一次一元一次方程?方程? 解:解:由題意得,由題意得,2a2a4040,解之得,解之得a2a2當(dāng)當(dāng)a2時是一元二次方程;時是一元二次方程; 2a2a4=0 a=24=0 a=2 2b0 2b0 b0由題意得,由題意得,解之得解之得當(dāng)當(dāng)a2且且b0時是一元一次方程時是一元一次方程.例例4:(默(默4)例例 2 2:當(dāng)m取什么值時,關(guān)于x的方程010222mxxmm 為一元二次方程。 解:根據(jù)題意得:222m 42m 2m 又02 m 2m

10、 2m 當(dāng)2m時,該方程是一元二次方程。 02222mm1.關(guān)于關(guān)于x的方程的方程(k3)x2 2x10,當(dāng)當(dāng)k時,是一元二次方程時,是一元二次方程2.關(guān)于關(guān)于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,當(dāng)當(dāng)k 時,是一元二次方程時,是一元二次方程當(dāng)當(dāng)k 時,是一元一次方程時,是一元一次方程311練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 4.當(dāng)m為何值時,方程 42(1)2750mmxmx是關(guān)于x的一元二次方程.+104-2=2mmm=13.3.下列方程中下列方程中, ,無論無論a a為何值為何值, ,總是關(guān)于總是關(guān)于x x的一元二次方程的是的一元二次方程的是( )( ) A.(2x-1)(x A.(

11、2x-1)(x2 2+3)=2x+3)=2x2 2-a B.ax-a B.ax2 2+2x+4=0+2x+4=0 C.ax C.ax2 2+x=x+x=x2 2-1 D.(a-1 D.(a2 2+1)x+1)x2 2=0=0D已知關(guān)于已知關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程(m1)x23x-5m40有一根為有一根為2,求求m.分析分析:一根為一根為2,即,即x2,只需把只需把x2代入原方程代入原方程.一元二次方程解的概念一元二次方程解的概念v方程解的定義是怎樣的呢方程解的定義是怎樣的呢? 能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就叫方程的能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就叫方程的解解. .一元二次方程的

12、一元二次方程的解解也叫做一元二次方程也叫做一元二次方程根根. .(默(默6)0456) 1(4mm6m已知關(guān)于已知關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0的一個根的一個根是是3 3,求,求a a的值。的值。解:由題意得解:由題意得把把x=3x=3代入方程代入方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0得,得,3 32 2+3+3a+a=0a+a=09+49+4a=0a=094a 4 4a=a=-9-9練一練練一練例例 4 4:關(guān)于x的一元二次方程01122mxxm 的一個根為 0,求m的值。 解:把0 x代入原方程,得: 012m 12m 1m 又01m

13、1m 1m 當(dāng)1m時,該方程的一個根為 0。 例例 3 3:判斷2,34,0 是不是一元二次方程 xx2832的根。 解:把2x分別代入方程xx2832的左邊和右邊,得 左邊的值為48128232; 右邊的值為422。 左邊的值與右邊的值相等 2x是這個一元二次方程的根。 6問題 2:在下列方程中,哪些方程有一個根為 0? 哪些方程有一個根為 1?哪些方程有一個根為-1? (1)022 xx; (2)0452 xx; (3)05232 xx; (4)0672 xx; (5)0452 xx; (6)05322 xx。 ? 的值為則的一根是的一元二次方程已知關(guān)于aaxxax0, 01)1()122

14、A.1 B.-1 C.1A.1 B.-1 C.1或或-1 D.0-1 D.0B B看誰眼力好!)0(0)7(0)6()2)(1(3)5(023)4(1) 3(1)2(1) 1 (222222的常數(shù)為不等于mmxcbxaxxxxyxxxxxxx先看是不是先看是不是整式方程,整式方程,然后整理看然后整理看是否符合另是否符合另外兩個條件外兩個條件1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是:本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是:2、學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法是、學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法是 3、如何理解一元二次方程的一般形式、如何理解一元二次方程的一般形式 20ax bx c (1)(2)(1)(2)一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的

15、一般形式一元二次方程的一般形式 轉(zhuǎn)化、建模思想。轉(zhuǎn)化、建模思想。(a0)(a0)是成為一元二次方程的必要條件是成為一元二次方程的必要條件找一元二次方程的二次項、一次項找一元二次方程的二次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項要先化為一般式系數(shù)及常數(shù)項要先化為一般式知識回顧知識回顧一、一元二次方程的概念一、一元二次方程的概念一般形式:一般形式:ax2+bx+c=0 (a0)對應(yīng)練習(xí)對應(yīng)練習(xí)1:1. 將一元二次方程將一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化為一般化為一般形式形式 .其中二次項系數(shù)其中二次項系數(shù) ,常數(shù)項,常數(shù)項 . 2. 當(dāng)當(dāng)m 時,方程時,方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二是一

16、元二次方程次方程. 當(dāng)當(dāng)m 時,方程時,方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是是一元一次方程一元一次方程.x2+3x-3=01-3221.下列方程中,關(guān)于下列方程中,關(guān)于x的一元二次方程是的一元二次方程是 ( )12132xx02112xx0 0c cbxbxaxax2 21222xxxA. B. C. D. A (1)三個特征:只含有一個未知數(shù);)三個特征:只含有一個未知數(shù); 方程的兩邊都是整式;方程的兩邊都是整式; 未知數(shù)的最高次數(shù)為未知數(shù)的最高次數(shù)為2次次.(2)形如)形如ax2 + bx + c=0(a0)叫做一元二次方程)叫做一元二次方程.2.關(guān)于關(guān)于x的方程(的方程(a-1)

17、x2 - 2x + 3=0是一元二次方程,則是一元二次方程,則 ( )A. a1 B. a1 C.a=1 D.a1D3.方程(方程(m1)x2mx1=0為關(guān)于為關(guān)于x的的一元二次方程一元二次方程,則則m的值為的值為( ) A . 任何實數(shù)任何實數(shù) B. m0 C. m1 D. m0 且且m1C4.4.下列方程中下列方程中, ,無論無論a a為何值為何值, ,總是關(guān)于總是關(guān)于x x的一元二次方程的是的一元二次方程的是( )( ) A.(2x-1)(x A.(2x-1)(x2 2+3)=2x+3)=2x2 2-a -a B.ax B.ax2 2+2x+4=0+2x+4=0 C.ax C.ax2 2

18、+x=x+x=x2 2-1 -1 D.(a D.(a2 2+1)x+1)x2 2=0=0D5、已知、已知x=2是一元二次方程是一元二次方程 的一個解,則的一個解,則m=_ 。 baba22221, 0 xbaa022mxx6、已知、已知 是方程是方程 的一個解,則的一個解,則 的的 值是值是_。0102bxax-357、方程方程mx2+5x+m=0一定是(一定是( )。)。(A)一元二次方程;一元二次方程; (B)一元一次方程一元一次方程;(C) 整式方程整式方程; (D)關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程C 已知方程已知方程 (m 2) (m 2)x 4 0(1)m為何值時它是一元二次方程?為何值時它是一元二次方程?(2)m為何值時它是一元一次方程?為何值時它是一元一次方程?分析:(分析:(1)由一元二次方程的一般形式,)由一元二次方程的一般形式,m2 2 2,故故m 2 0,故,故m2;(2)需分三種情況討論:)需分三種情況討論:m 2 0,此時,此時m 2;m2 2 1,此時,此時m ;顯然;顯然x 0,故若,故若m2 2 0,則原方程也是一元一次方程,則原方程也是一元一次方程322mx22mx 解:(解:(1)由)由m2 2 2,m 2 0得得m2;(2)分三種情況討論:)分三種情況討論:一元二次方程中一元二次方程中未知數(shù)的最高次未知數(shù)的最高次數(shù)是數(shù)是2,

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