材料力學(xué)第三章

1、第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)目錄目錄3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3.3 純剪切純剪切 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 3.8 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 3.6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形 3.7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)（1）扭轉(zhuǎn)的概念，扭矩的計(jì)算，扭矩圖的繪制）扭轉(zhuǎn)的概念，扭矩的計(jì)算，扭矩圖的繪制（2）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與應(yīng)變（3）扭轉(zhuǎn)變形構(gòu)件的強(qiáng)度與剛度條件）扭轉(zhuǎn)變形

2、構(gòu)件的強(qiáng)度與剛度條件本章難點(diǎn)本章難點(diǎn) 矩形截面桿和開口、閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力及變形矩形截面桿和開口、閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力及變形特征，圓柱形密圈螺旋彈簧、自由扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)以及等特征，圓柱形密圈螺旋彈簧、自由扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)以及等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算。直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算。3.1 3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 作用于桿件上的外力，為兩個(gè)大小相等、方向相反、且作作用于桿件上的外力，為兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶時(shí)，桿件中任意兩個(gè)橫截面即會(huì)用平面垂直于桿件軸線的力偶時(shí)，桿件中任意兩個(gè)橫截面即會(huì)發(fā)生繞桿件軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這種形式的變形就稱為扭轉(zhuǎn)變形

3、。發(fā)生繞桿件軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這種形式的變形就稱為扭轉(zhuǎn)變形。 FFM1 引例引例2 概念概念工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例汽車方向盤汽車方向盤扭水龍頭扭水龍頭用鑰匙扭轉(zhuǎn)開門用鑰匙扭轉(zhuǎn)開門酒瓶軟木塞的開瓶器酒瓶軟木塞的開瓶器小轎車的方向盤工作小轎車的方向盤工作自行車的腳蹬工作自行車的腳蹬工作機(jī)器軸的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)器軸的轉(zhuǎn)動(dòng)改錐上螺絲釘改錐上螺絲釘常見的扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象常見的扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象軸軸是工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、是工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)

4、：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。 MeMe 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動(dòng)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動(dòng).扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任

5、意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖1 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 在工程實(shí)踐中，外力偶矩往往不是直接給出的。而直接給出的在工程實(shí)踐中，外力偶矩往往不是直接給出的。而直接給出的往往都是軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。例如：下圖中，外力偶矩沒往往都是軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。例如：下圖中，外力偶矩沒有給出，給出的僅僅是電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和輸出的功率。如果我們要分有給出，給出的僅僅是電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和輸出的功率。如果我們要分析傳動(dòng)軸中某點(diǎn)處的應(yīng)力情況，首先必須知道

6、析傳動(dòng)軸中某點(diǎn)處的應(yīng)力情況，首先必須知道A端皮帶輪上的外力端皮帶輪上的外力偶矩，下面我們來看看如何根據(jù)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和輸出功率來求解外偶矩，下面我們來看看如何根據(jù)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和輸出功率來求解外力偶矩力偶矩 Me的大小。的大小。 AB外力偶矩的直接計(jì)算外力偶矩的直接計(jì)算3-23-2已知：電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪輸給已知：電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪輸給AB軸的功率為軸的功率為N千瓦。千瓦。AB軸軸 的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分。分。則：則： 電動(dòng)機(jī)每秒鐘所作的功為：電動(dòng)機(jī)每秒鐘所作的功為：mNPW1000（a）設(shè)電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪作用于設(shè)電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪作用于AB軸上的外力偶矩為軸上的外力偶矩為則：則：m在每秒內(nèi)完成的功為：

7、在每秒內(nèi)完成的功為：）（mNMnWe602(b) 由于由于Me所作的功也就是電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪給所作的功也就是電動(dòng)機(jī)通過皮帶輪給AB軸輸入的功軸輸入的功故：WW min/9549rkwenPM 如果功率如果功率P以瓦為單位，代入以瓦為單位，代入c式則可得：式則可得：nPm7024將將(a)、(b)兩式代入上式，于是求得：兩式代入上式，于是求得：（3-1） (c)（Nm） 單位單位: P: P:千瓦千瓦; n: r/mim; m: Nm; n: r/mim; m: Nm 截面法求力偶矩截面法求力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法

8、求扭矩截面法求扭矩eexMTMTm00eee外力偶矩轉(zhuǎn)向的確定：外力偶矩轉(zhuǎn)向的確定： 主動(dòng)輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，主動(dòng)輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同， 從動(dòng)輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反從動(dòng)輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反 。（1）聯(lián)系扭轉(zhuǎn)變形來規(guī)定扭矩符號：桿因扭轉(zhuǎn)使某一段內(nèi)的縱）聯(lián)系扭轉(zhuǎn)變形來規(guī)定扭矩符號：桿因扭轉(zhuǎn)使某一段內(nèi)的縱向母線有變成右手螺旋的趨勢時(shí)，則該截面上的扭矩為正，反向母線有變成右手螺旋的趨勢時(shí)，則該截面上的扭矩為正，反之為負(fù)。之為負(fù)。（2）右手螺旋法則：若按右手螺旋法則把）右手螺旋法則：若按右手螺旋法則把Me表示為矢量，當(dāng)矢表示為矢量，當(dāng)矢量方

9、向與截面的外法線方向一致時(shí)，為正，反之為負(fù)。量方向與截面的外法線方向一致時(shí)，為正，反之為負(fù)。 扭轉(zhuǎn)正、負(fù)號的規(guī)定：扭轉(zhuǎn)正、負(fù)號的規(guī)定：右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)?正正(+),反之為反之為 負(fù)負(fù)(-)注意：右手螺旋法則表示的方向是扭矩的方向，不是外力偶矩方向注意：右手螺旋法則表示的方向是扭矩的方向，不是外力偶矩方向MexnnMeMexTMexT采用右手螺旋法則采用右手螺旋法則,當(dāng)力偶矩矢的指當(dāng)力偶矩矢的指 向背離截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)向背離截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù).2 2、扭矩符號的規(guī)定、扭矩符號的規(guī)定3 3、扭矩圖、扭矩圖用平行于桿軸線的坐標(biāo)用平行于桿軸線的坐標(biāo) x 表

10、示橫表示橫截面的位置；用垂直于桿軸線的截面的位置；用垂直于桿軸線的坐標(biāo)坐標(biāo) T 表示橫截面上的扭矩，正表示橫截面上的扭矩，正的扭矩畫在的扭矩畫在 x 軸上方，負(fù)的扭矩畫在軸上方，負(fù)的扭矩畫在 x 軸下方軸下方. T例題例題.1 傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪A輸入的功率為輸入的功率為P = 36kW . 從動(dòng)輪，輸出的功率分別為從動(dòng)輪，輸出的功率分別為P = 11 kW 、P = 14 kW ，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速 n = 300 r/min ，試做扭矩圖，試做扭矩圖.解解:計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩mNnPMe 9549mN446mN)300149549(mN503mN)30011

11、9549(mN1146mN)300369549(eDeCeBeAMMMM結(jié)果為負(fù)號，說明結(jié)果為負(fù)號，說明T 2 應(yīng)是負(fù)值扭矩應(yīng)是負(fù)值扭矩由平衡方程由平衡方程 002TMMmeCBexmN7002eCeBMMT同理，在同理，在 BC 段內(nèi)段內(nèi)mN3501eBMTxMeBMeCT2MeB1T01eBMT在在 AD 段內(nèi)段內(nèi)133注意：若假設(shè)扭矩為正值，則注意：若假設(shè)扭矩為正值，則扭矩的實(shí)際符號與計(jì)算符號相同扭矩的實(shí)際符號與計(jì)算符號相同.MeB03eDMT作出扭矩圖作出扭矩圖從圖可見，最大扭矩從圖可見，最大扭矩在在 CA段內(nèi)段內(nèi).mN700maxTMeCMeAMeDmN4463eDMT3.3 3.3

12、 純剪切純剪切 3-23-2 圓圓 筒筒 變變 形形3-23-2 圓圓 筒筒 單單 元元 體體薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 Me。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力推論推論橫截面上無正應(yīng)力，只橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；有切應(yīng)力；切應(yīng)力方向垂直半徑或與切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切圓周相切.dx 圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等，近似的認(rèn)為沿壁厚方向且數(shù)值相等，近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)

13、值無變化各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無變化.ABDC2.實(shí)驗(yàn)后：實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線。縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動(dòng)。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力 ： )2(dM errrAAA：平均半徑所作圓的面積：平均半徑所作圓的面積r： 圓筒平均半徑圓筒平均半徑T 22rMe即:eM

14、二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理2.1 在單元體左、右面（桿的橫截面）上在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向于只有切應(yīng)力，其方向于 y 軸平行軸平行.可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素 dy dz 大小相等，方向相反，將組成大小相等，方向相反，將組成 一個(gè)力偶。一個(gè)力偶。由平衡方程由平衡方程0 yF其矩為其矩為( dy dz) dx2.2 要滿足平衡方程要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素相等，指向相反的一對內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩此力偶矩與前一力偶矩?cái)?shù)

15、量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得( dy dz) dx00 xeFMzyxd)dd( 2.3 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理在單元體相互垂直的兩個(gè)平面在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。或共同背離該交線。 純剪切單元體：純剪切單元體：單元體平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，則稱為純剪切單元體單元體平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，則稱為純剪切單元體. 扭轉(zhuǎn)時(shí),單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了微小的相對錯(cuò)動(dòng)，引起單元體a

16、bcd的剪切變形。 如圖所示：ab邊對cd 邊相對錯(cuò)動(dòng)的距離是： dxdabeeeedRRdaa dxRdadaa直角abc的角度改變量：三、切應(yīng)變?nèi)⑶袘?yīng)變 剪切胡克定律剪切胡克定律lr acddxbdy 無正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：l式中，式中， r 為薄壁圓筒的外半徑為薄壁圓筒的外半徑. 由圖所示的幾何關(guān)系得到由圖所示的幾何關(guān)系得到薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶 Me在某一范圍內(nèi)時(shí)，在某一范圍內(nèi)時(shí)， 與與 Me（在數(shù)值上等于（在

17、數(shù)值上等于 T ）成正比）成正比. lr RlslstgrsrstgeM即: 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。acddxb dy tz 22rMelrG切應(yīng)力低于剪切比例極限時(shí)：切應(yīng)力低于剪切比例極限時(shí)：eMeM剪切胡克定律剪切胡克定律 E 當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的接切比例極限時(shí)當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的接切比例極限時(shí),切應(yīng)切應(yīng)變變與切應(yīng)力與切應(yīng)力成正比成正比.式中：式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因因 無量綱，故無量綱，故G的量

18、綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為值約為80GPa。比較比較:G鋼材的鋼材的E值約為值約為200GPa。 可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。就可以推算出來。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對各向同性材料，這三料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系:）1 (2EGE 彈性模量彈性模量G 切變模量切變模量 泊松比泊松比彈性體變

19、形過程中，外力所做的功在數(shù)值上等于儲(chǔ)存于彈性體內(nèi)的變形能。彈性體變形過程中，外力所做的功在數(shù)值上等于儲(chǔ)存于彈性體內(nèi)的變形能。dW等于單元體內(nèi)貯存的應(yīng)變能等于單元體內(nèi)貯存的應(yīng)變能dV。則有：。則有：四、剪切應(yīng)變能四、剪切應(yīng)變能(3.5)10dxddydzdW右側(cè)面向下的剪力右側(cè)面向下的剪力：dydz右側(cè)面向下錯(cuò)動(dòng)的距離右側(cè)面向下錯(cuò)動(dòng)的距離：dxd 剪力在位移上所做的功：剪力在位移上所做的功：111000)()()(dVddydzdxddxddydzdWdVdydzdxdV 四、剪切應(yīng)變能四、剪切應(yīng)變能111000)()()(dVddydzdxddxddydzdWdVdydzdxdV 單位體積內(nèi)的

20、剪切應(yīng)變能密度v：10ddVdVv21v GGv21(3.) 對一個(gè)受扭的材料，我們要想知道它到底能承受多大的對一個(gè)受扭的材料，我們要想知道它到底能承受多大的外載作用，首先必須知道其內(nèi)部的應(yīng)力分布規(guī)律，只有知道外載作用，首先必須知道其內(nèi)部的應(yīng)力分布規(guī)律，只有知道了其內(nèi)部的分布規(guī)律后才能夠較易地找出其內(nèi)部的最大應(yīng)力，了其內(nèi)部的分布規(guī)律后才能夠較易地找出其內(nèi)部的最大應(yīng)力，從而確定這種材料適合于什么樣的工程，能夠經(jīng)受什么樣的從而確定這種材料適合于什么樣的工程，能夠經(jīng)受什么樣的載荷。載荷。 在這里應(yīng)力分析屬于靜不定問題，須綜合研究幾何、物理在這里應(yīng)力分析屬于靜不定問題，須綜合研究幾何、物理和靜力學(xué)三個(gè)

21、方面。由變形幾何條件得到變形變化規(guī)律，再由和靜力學(xué)三個(gè)方面。由變形幾何條件得到變形變化規(guī)律，再由物理?xiàng)l件得到應(yīng)力變化規(guī)律，最后由靜力學(xué)平衡條件得到應(yīng)力物理?xiàng)l件得到應(yīng)力變化規(guī)律，最后由靜力學(xué)平衡條件得到應(yīng)力計(jì)算公式。計(jì)算公式。3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力1、變形幾何關(guān)系：、變形幾何關(guān)系：（1）圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：）圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)： 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形實(shí)驗(yàn)：同薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)相似，在圓軸表圓軸的扭轉(zhuǎn)變形實(shí)驗(yàn)：同薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)相似，在圓軸表面上作縱向線和圓周線，如圖所示：面上作縱向線和圓周線，如圖所示： 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：各圓周線繞軸線相對的旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果：各圓周線繞軸線相對的旋轉(zhuǎn)了一

22、個(gè)角度，但大小，形狀和相鄰兩圓周線之間的距離不變，在小變形的情況大小，形狀和相鄰兩圓周線之間的距離不變，在小變形的情況下，各縱向線仍近似的是一條直線，只是傾斜了一個(gè)微小的角下，各縱向線仍近似的是一條直線，只是傾斜了一個(gè)微小的角度，變形前，圓軸表面的方格，變形后扭歪成菱形。度，變形前，圓軸表面的方格，變形后扭歪成菱形。 結(jié)論：結(jié)論：圓軸變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大圓軸變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線，且相鄰兩截面間的距離不變。小不變，半徑仍保持為直線，且相鄰兩截面間的距離不變。 圓軸扭轉(zhuǎn)的基本假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)的基本假設(shè)：平面假設(shè)平面假設(shè)（2）剪應(yīng)

23、變的變化規(guī)律：）剪應(yīng)變的變化規(guī)律： 現(xiàn)從圓軸中取出長為現(xiàn)從圓軸中取出長為dx的微段，的微段，即上圖中的即上圖中的mm-nn之間微之間微段，再在上述微段中取單元體段，再在上述微段中取單元體abcd。截面。截面nn對對mm的相對轉(zhuǎn)角的相對轉(zhuǎn)角為為 , 根據(jù)平面假設(shè)，根據(jù)平面假設(shè)，橫截面橫截面 nn像剛性平面一樣像剛性平面一樣,相對于相對于mm繞軸線轉(zhuǎn)了一個(gè)角度繞軸線轉(zhuǎn)了一個(gè)角度 .dd 于是單元體于是單元體abcd的的ab邊相對于邊相對于cd也發(fā)生了微小的相對錯(cuò)也發(fā)生了微小的相對錯(cuò)動(dòng)，引起單元體動(dòng)，引起單元體abcd的剪切變形。的剪切變形。 如圖所示：如圖所示：ab邊對邊對cd 邊相對錯(cuò)動(dòng)的距離是

24、：邊相對錯(cuò)動(dòng)的距離是： dxdabeeeedRRdaa dxRdadaa直角直角abc的角度改變量：的角度改變量：dxdabeeeedR同樣道理同樣道理,在距離圓心在距離圓心處的切應(yīng)變?yōu)樘幍那袘?yīng)變?yōu)?距圓心為距圓心為 任一點(diǎn)處的任一點(diǎn)處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率xddtg2、物理關(guān)系：、物理關(guān)系：將剪切虎克定律代入上面的剪應(yīng)變公式將剪切虎克定律代入上面的剪應(yīng)變公式討論：由于對于某一特定的橫截面討論：由于對于某一特定的橫截面 dxd=常數(shù)。常數(shù)。 xGGdddxdpppGxGdd 橫截面任意點(diǎn)的切應(yīng)力橫截面任意點(diǎn)的切應(yīng)力

25、與該點(diǎn)到圓心的距離成正比與該點(diǎn)到圓心的距離成正比.(3.7)(3.7) 再根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知：在縱截面和橫截面上，沿半再根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知：在縱截面和橫截面上，沿半徑剪應(yīng)力的分布規(guī)律如圖所示：徑剪應(yīng)力的分布規(guī)律如圖所示： 對于某一特定的橫截面來說對于某一特定的橫截面來說 與與 成正比。又因?yàn)槌烧?。又因?yàn)?發(fā)生在垂直于半徑的平面發(fā)生在垂直于半徑的平面 內(nèi)，所以所以 也與半徑垂直。也與半徑垂直。xGdd 3、靜力關(guān)系：、靜力關(guān)系： 求求dxd橫截面內(nèi)取環(huán)形微分面積橫截面內(nèi)取環(huán)形微分面積dAdddAdA上的微內(nèi)力上的微內(nèi)力Adp對圓心的力矩為對圓心的力矩為:Adp積分得橫截面上內(nèi)力系對圓心

26、的力矩為積分得橫截面上內(nèi)力系對圓心的力矩為:ApdA根據(jù)扭矩的定義根據(jù)扭矩的定義,橫截面上內(nèi)力系對圓心的力矩就是截面的扭矩橫截面上內(nèi)力系對圓心的力矩就是截面的扭矩:dxdIpGddxdddxdGdTAAApAGA)(A2xGdd dxdGITp消去常量消去常量dxd得到得到:pITdAIAp2極慣性矩極慣性矩pITpIT RmaxRptIW 橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式在圓截面的邊緣在圓截面的邊緣為最大值為最大值R,則最大切應(yīng)力為：則最大切應(yīng)力為：引入抗扭截面系數(shù)引入抗扭截面系數(shù)得到：得到：tWTmax式中：式中： T橫截面上的扭矩，由截面法通

27、過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。pI(3.9)(3.9)(3.10)(3.10)(3.11)(3.11)適用范圍適用范圍: 以上推導(dǎo)時(shí)以平面假設(shè)為基礎(chǔ)以上推導(dǎo)時(shí)以平面假設(shè)為基礎(chǔ),只有對橫截面不只有對橫截面不變的圓軸平面假設(shè)才是正確的變的圓軸平面假設(shè)才是正確的,因此因此: 1. 公式只適用于圓截面的等直桿公式只適用于圓截面的等直桿(對沿軸線圓截對沿軸線圓截面變化緩慢的小錐度桿可近似使用面變化緩慢的小錐度桿可近似使用). 2. 僅適用于僅適用于max低于剪切比例極限的情

28、況低于剪切比例極限的情況(胡克胡克定律定律)tWTmax(3.11)(3.11)截面極慣性矩截面極慣性矩Ip和抗扭截面和抗扭截面Wt系數(shù)的計(jì)算系數(shù)的計(jì)算對于實(shí)心圓截面：對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：對于空心圓截面：163DRIWpt)1 (1643DRIWptDd322244032DRddAIRAp)1 (32)(32244442232DdDddAIDdApdddA(3.12)(3.12)(3.13)(3.13)(3.14)(3.14)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：tmaxmaxWTmaxtWT( 稱為許用剪應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)

29、度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實(shí)：433116 16 DDWt強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件max不超過材料的許用剪切應(yīng)力不超過材料的許用剪切應(yīng)力 。 故強(qiáng)度條件為：故強(qiáng)度條件為： 同拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算類似，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度要求同拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算類似，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度要求仍然是：仍然是： max討論：討論：的確定的確定max即：即：發(fā)生在發(fā)生在Tmax 處（扭轉(zhuǎn)最大的截面處處（扭轉(zhuǎn)最大的截面處) 對于等截面直桿，對于等截面直桿，max tWTmaxmax(3.15)(3.15)不一定發(fā)生

30、在不一定發(fā)生在Tmax 對于階梯形軸，因?yàn)閷τ陔A梯形軸，因?yàn)閃t不是常量，不是常量，所在的截面。這就要求綜合考慮扭矩所在的截面。這就要求綜合考慮扭矩T和抗扭截面模量和抗扭截面模量Wt兩者兩者的變化情況來確定。的變化情況來確定。max 軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。理論與試驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力理論與試驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力t與許與許用正應(yīng)力用正應(yīng)力之間存在下述關(guān)系：之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料對于塑性

31、材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l式中，式中， l 代表許用拉應(yīng)力。代表許用拉應(yīng)力。在作截面設(shè)計(jì)時(shí)，可以把桿件設(shè)計(jì)成空心桿件，以增大在作截面設(shè)計(jì)時(shí)，可以把桿件設(shè)計(jì)成空心桿件，以增大 Wt和和Ip的值，從而可減小的值，從而可減小max的值。的值。例題例題 圖示空心圓軸外徑圖示空心圓軸外徑D=100mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=80mm，M1=6kNm，M2=4kNm，材料的剪切彈性模量，材料的剪切彈性模量 G=80GPa.(1) 畫軸的扭矩圖；畫軸的扭矩圖；(2) 求軸的最大切應(yīng)力，并指出其位置求軸的最大切應(yīng)力，并指出其位置.M1M2ABCll（1）畫軸的扭

32、矩圖）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段段1Me2CT2T2+Me2=02Me2CMe1BT1T1+Me2-Me1=0T1 =2kNm AB段段T2 = -4kNm最大扭矩發(fā)生在最大扭矩發(fā)生在BC段段Tmax=4kNm4kNm2kNm+_T（2）求軸的最大切應(yīng)力，）求軸的最大切應(yīng)力，并指出其位置并指出其位置 max最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上，且垂直于半徑，且垂直于半徑.tmaxmaxWT Me1Me2ABCllMPa5 .34)1(1643max DT max受力特點(diǎn)受力特點(diǎn) 變形特征變形特征扭矩的符號規(guī)定和扭矩圖扭矩的符號規(guī)定和扭矩圖圓截面等直桿圓截面等直

33、桿扭轉(zhuǎn)的基本概念扭轉(zhuǎn)的基本概念已知力、力臂、或功率、轉(zhuǎn)速求力偶矩已知力、力臂、或功率、轉(zhuǎn)速求力偶矩nPMe954922rMe)1 (2EG外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面右手螺旋法則右手螺旋法則 控制面和突變關(guān)系控制面和突變關(guān)系純剪切純剪切薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律解釋不同的破壞現(xiàn)象解釋不同的破壞現(xiàn)象圓扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件maxmaxtWT抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù))1 (162/32)1 (4344DDDRIWptG16233DRRIW

34、pt作業(yè)：作業(yè)：3.1、3.5、3.6、3.7由公式：xGIT dpd 因此，長度為因此，長度為 l 的的 段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為為： d d0lpxGIT3.5 3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形pGI：圓軸的抗扭剛度：圓軸的抗扭剛度pGI越大，扭轉(zhuǎn)角越大，扭轉(zhuǎn)角越小越小pIGlT 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角形是用相對扭轉(zhuǎn)角 來度量的來度量的(3.16)(3.16)單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角 ： lIGT p/m)( 180 dd pIGTx 工程中習(xí)慣用()作為 的單位以 表示扭轉(zhuǎn)角的變化率表示扭轉(zhuǎn)角的變化率pIGTdxd(3.17)(3

35、.17)(rad/m) (3.18)(3.18)pIGlT比較比較: : pIGTdxd(相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角)剛度條件剛度條件 (rad/m) maxpxmaGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。(3.19)(3.20) 剛度條件的討論剛度條件的討論 對于傳動(dòng)軸，有時(shí)即使?jié)M足了強(qiáng)度條件，還不一定能保證它對于傳動(dòng)軸，有時(shí)即使?jié)M足了強(qiáng)度條件，還不一定能保證它正常工作。例如：機(jī)器的傳動(dòng)軸如有過大的扭轉(zhuǎn)角，將會(huì)使機(jī)器正常工作。例如：機(jī)器的傳動(dòng)

36、軸如有過大的扭轉(zhuǎn)角，將會(huì)使機(jī)器在運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生較大的振動(dòng)；精密機(jī)床上的軸若變形過大，則將影在運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生較大的振動(dòng)；精密機(jī)床上的軸若變形過大，則將影響機(jī)器的加工精度等。因此對傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形要加以限制。響機(jī)器的加工精度等。因此對傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形要加以限制。一般地說：標(biāo)志桿件扭轉(zhuǎn)變形的物理量有兩個(gè)：一般地說：標(biāo)志桿件扭轉(zhuǎn)變形的物理量有兩個(gè)： 絕對扭轉(zhuǎn)角絕對扭轉(zhuǎn)角 相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 dxd其中：其中： PGITL桿件中任一截面的變形程度，故而它不能作為衡量扭轉(zhuǎn)桿件中任一截面的變形程度，故而它不能作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的物理量。變形的物理量。；隨著隨著x的變化而變化，所以它不能夠完全的變化而變化，所以它不能

37、夠完全表明表明pIGlT /m)( 180 maxmaxpGIT PGITdxd；對于對于Tn值不變的等直桿來說，值不變的等直桿來說， dxd表示了表示了 桿件中單位長度上的扭轉(zhuǎn)角，在桿件中的任意長度上桿件中單位長度上的扭轉(zhuǎn)角，在桿件中的任意長度上 常量dxd的變形程度。故而可以作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的物理量的變形程度。故而可以作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的物理量。 ，因此它是完全表明了桿件內(nèi)部各截面處因此它是完全表明了桿件內(nèi)部各截面處若：記若：記 dxd；桿件因扭轉(zhuǎn)而破壞時(shí)的桿件因扭轉(zhuǎn)而破壞時(shí)的 值為 。 0則則： 允許扭轉(zhuǎn)角允許扭轉(zhuǎn)角 剛度條件剛度條件 0maxn max討論當(dāng)兩個(gè)截面之間當(dāng)兩個(gè)截面之間T值

38、不變，且軸為等直桿時(shí)，值不變，且軸為等直桿時(shí)， 常量PGIT式中： PGI圓桿的抗扭剛度抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱若在兩截面之間若在兩截面之間 常量nT，或軸為階梯軸（或軸為階梯軸（ 常量PI） 時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算各段的扭轉(zhuǎn)角，然后相加，此時(shí)上式為：時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算各段的扭轉(zhuǎn)角，然后相加，此時(shí)上式為：PIGLT（.16.16）故故：niPiiniGILT1討論討論對于等直桿來說：對于等直桿來說： 注意：此處由注意：此處由 PIGT得到的單位為弧度得到的單位為弧度/米。米。rad/m而而 的單位為度的單位為度/米米 0/m 故上面的剛度條件應(yīng)改為故上面的剛度

39、條件應(yīng)改為：關(guān)于空心軸的討論：關(guān)于空心軸的討論：maxpGIT、若、若G=常量，則：常量，則： 、若、若 =常量，則：常量，則：實(shí)p空pII實(shí)空TT實(shí)空GG節(jié)約材料節(jié)約材料 mGITP0maxmax180（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。剛度計(jì)算的三個(gè)方面：剛度計(jì)算的三個(gè)方面： 剛度校核：剛度校核： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選

40、材。dFDF2/DTsF2AA 為了保持取出部分的平衡，在簧絲橫截面上一定有一個(gè)與截為了保持取出部分的平衡，在簧絲橫截面上一定有一個(gè)與截面相切的內(nèi)力系，將這個(gè)內(nèi)力系向截面形心簡化，即可得到如面相切的內(nèi)力系，將這個(gè)內(nèi)力系向截面形心簡化，即可得到如圖所示的圖所示的Fs和和T。(a)(b)(c)(d)3. 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形12AA12AA1對圓柱形密圈螺旋彈簧的基本假設(shè)：對圓柱形密圈螺旋彈簧的基本假設(shè)： 1、 05時(shí)，可省略時(shí)，可省略 彈簧軸線在同一平面內(nèi)。彈簧軸線在同一平面內(nèi)。的影響，近似地認(rèn)為簧絲的橫截面與的影響，近似地認(rèn)為簧絲的橫截面與2、當(dāng)簧絲的橫

41、截面直徑當(dāng)簧絲的橫截面直徑d遠(yuǎn)小于彈簧圈的平均直徑遠(yuǎn)小于彈簧圈的平均直徑D時(shí)，還可略時(shí)，還可略 去簧絲曲率的影響，近似的用直桿公式計(jì)算。去簧絲曲率的影響，近似的用直桿公式計(jì)算。一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力1、內(nèi)力計(jì)算：、內(nèi)力計(jì)算： 如圖所示，為一密圈彈簧，沿其軸線作用壓力如圖所示，為一密圈彈簧，沿其軸線作用壓力F?，F(xiàn)以?，F(xiàn)以簧絲的任意橫截面假想地將彈簧分成兩部分，并取上一部分簧絲的任意橫截面假想地將彈簧分成兩部分，并取上一部分為研究對象，如圖所示：為研究對象，如圖所示：3. 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形dFDF2/DTsF2AA(a)(b)(

42、c)(d)13. 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力與變形2000FDTFFMYs由 2、應(yīng)力計(jì)算：、應(yīng)力計(jì)算： 與剪力與剪力Fs對應(yīng)的剪應(yīng)力對應(yīng)的剪應(yīng)力 1的計(jì)算：的計(jì)算：根據(jù)實(shí)用計(jì)算方法（即假設(shè)根據(jù)實(shí)用計(jì)算方法（即假設(shè) 1均勻分布于橫截面上），均勻分布于橫截面上），與扭矩與扭矩T 對應(yīng)的剪應(yīng)力對應(yīng)的剪應(yīng)力 2的計(jì)算的計(jì)算:214dFAFs3max28dFDWTt)12(884332max21DddFDdFDdF總應(yīng)力：總應(yīng)力：橫截面上的某一點(diǎn)處的應(yīng)力：橫截面上的某一點(diǎn)處的應(yīng)力： 在簧絲橫截面上，任意點(diǎn)處的總應(yīng)力是剪切和扭轉(zhuǎn)兩種剪在簧絲橫截面上，任意點(diǎn)處的總應(yīng)力是剪切和扭

43、轉(zhuǎn)兩種剪應(yīng)力的矢量和，在圖應(yīng)力的矢量和，在圖(c)、(d)所示的所示的A點(diǎn)處，達(dá)到最大值。點(diǎn)處，達(dá)到最大值。注：上式中，第一項(xiàng)代表剪切的影響，后一項(xiàng)代表扭轉(zhuǎn)的影響。注：上式中，第一項(xiàng)代表剪切的影響，后一項(xiàng)代表扭轉(zhuǎn)的影響。)12(884332max21DddFDdFDdF當(dāng)當(dāng) 10dD時(shí)時(shí)， Dd2與與1相比，顯然可以省略不計(jì)，從而相比，顯然可以省略不計(jì)，從而3max8dFD（.21.21） 修正公式修正公式 上面的應(yīng)力分析，用直桿扭轉(zhuǎn)公式計(jì)算上面的應(yīng)力分析，用直桿扭轉(zhuǎn)公式計(jì)算1，實(shí)際上沒考慮簧絲實(shí)際上沒考慮簧絲是個(gè)曲桿，假設(shè)是個(gè)曲桿，假設(shè)1在截面均勻分布兩種情況下進(jìn)行的，實(shí)質(zhì)上是個(gè)在截面均勻分

44、布兩種情況下進(jìn)行的，實(shí)質(zhì)上是個(gè)近似計(jì)算。近似計(jì)算。 如果考慮以上兩個(gè)因素，即可得修正公式如下：如果考慮以上兩個(gè)因素，即可得修正公式如下：33max88615. 04414dFDKdFDccc（3-22） 其中：彈簧指數(shù)彈簧指數(shù)dDc 曲度系數(shù)曲度系數(shù)cccK615. 04414 彈簧的彈簧的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：式中式中： max根據(jù)公式求出的最大切應(yīng)力根據(jù)公式求出的最大切應(yīng)力 材料許用切應(yīng)力材料許用切應(yīng)力 max83maxdFDKdDc 二、彈簧的變形二、彈簧的變形1、彈簧在變形過程中，外力功的計(jì)算：、彈簧在變形過程中，外力功的計(jì)算：2FW 在彈性范圍內(nèi)壓力在彈性范圍內(nèi)壓力F F與變形與變形成正

45、比成正比2、彈簧應(yīng)變能的計(jì)算、彈簧應(yīng)變能的計(jì)算彈簧單位體積的應(yīng)變能為彈簧單位體積的應(yīng)變能為:距圓心為距圓心為的任意點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的任意點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力:44163221dFddFDITp由（3.63.6）式）式: :Gv22dGDFGv22221282F2/DTsF2000FDTFFMYs積分積分:外力完成的功等于貯存在彈簧中的應(yīng)變能外力完成的功等于貯存在彈簧中的應(yīng)變能:nRGdnDGdC3434648則彈簧在壓縮或伸長時(shí)的變形量則彈簧在壓縮或伸長時(shí)的變形量:CF 討論：討論：由上面兩式可看出，減小由上面兩式可看出，減小d，增加，增加n和和D都都可取得增加彈簧變形量的效果。可取得增加彈簧變形量的

46、效果。(3.24)(3.25)4322/02822224128GdnDFdsdddDFdVvVdDnV 4324GdnDFF434364GdnFRGdnFD引入:(3.23)3.7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念 、基本概念：、基本概念： 1、翹曲、翹曲：取一橫截面為矩形的桿，在其側(cè)面上畫上縱向線和橫：取一橫截面為矩形的桿，在其側(cè)面上畫上縱向線和橫向周界線，扭轉(zhuǎn)后發(fā)現(xiàn)橫向周界線已變?yōu)榭臻g曲線，這表明變形向周界線，扭轉(zhuǎn)后發(fā)現(xiàn)橫向周界線已變?yōu)榭臻g曲線，這表明變形后桿的橫截面已不再保持為平面，而變?yōu)榍?，這種現(xiàn)象，就稱后桿的橫截面已不再保持為平面，而變?yōu)榍?，這種現(xiàn)象，就稱為翹曲。為翹曲。

47、注：注：從翹曲這種現(xiàn)象可以看出，平面假設(shè)對非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)從翹曲這種現(xiàn)象可以看出，平面假設(shè)對非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn) 已不再適用。已不再適用。2、自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：等直桿在兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，且其翹曲不受任何限制的情等直桿在兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，且其翹曲不受任何限制的情 況，屬于自由扭轉(zhuǎn)。況，屬于自由扭轉(zhuǎn)。 特特 點(diǎn)點(diǎn)：桿件各橫截面上的翹曲程度相同，縱向纖維的長度桿件各橫截面上的翹曲程度相同，縱向纖維的長度 無變化，故無變化，故 橫截面上沒有正應(yīng)力而只有剪應(yīng)力。橫截面上沒有正應(yīng)力而只有剪應(yīng)力。 3、約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力條件的限制，造成桿件各橫截面的翹曲程由于約束條件或受力條件的限

48、制，造成桿件各橫截面的翹曲程 度不同，這種情況屬于約束扭轉(zhuǎn)。度不同，這種情況屬于約束扭轉(zhuǎn)。 特特 點(diǎn)點(diǎn)：由于桿件各橫截面的翹曲程度不同，這勢必引起相鄰兩截面之由于桿件各橫截面的翹曲程度不同，這勢必引起相鄰兩截面之 間縱向纖維的長度改變。于是橫截面除剪應(yīng)力外還有正應(yīng)力。間縱向纖維的長度改變。于是橫截面除剪應(yīng)力外還有正應(yīng)力。 對于矩形截面桿中的截面上對于矩形截面桿中的截面上的應(yīng)力，如進(jìn)行詳細(xì)的理論分析的應(yīng)力，如進(jìn)行詳細(xì)的理論分析不僅非常困難，而且還要用到其不僅非常困難，而且還要用到其他方面的一些知識(shí)，因此，在這他方面的一些知識(shí)，因此，在這里我們就不加推導(dǎo)的直接的引用里我們就不加推導(dǎo)的直接的引用彈性

49、力學(xué)的結(jié)果。彈性力學(xué)的結(jié)果。4、薄壁桿件與實(shí)體桿件在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的差別：薄壁桿件與實(shí)體桿件在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的差別： 薄壁桿件（如工字鋼、槽鋼等）在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)正應(yīng)力相當(dāng)薄壁桿件（如工字鋼、槽鋼等）在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)正應(yīng)力相當(dāng)大大，而實(shí)體桿件（如矩形、橢圓形桿件）因約束扭轉(zhuǎn)而引起的，而實(shí)體桿件（如矩形、橢圓形桿件）因約束扭轉(zhuǎn)而引起的正應(yīng)力極小，與自由扭轉(zhuǎn)并不太大差別?；谶@個(gè)原因，我們正應(yīng)力極小，與自由扭轉(zhuǎn)并不太大差別?；谶@個(gè)原因，我們在實(shí)際工作中處理具體問題時(shí)，應(yīng)該劃清主次。在實(shí)際工作中處理具體問題時(shí)，應(yīng)該劃清主次。 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，它的橫截面上剪應(yīng)力的分布情況大致如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，它的橫截面上剪應(yīng)力

50、的分布情況大致如圖所示，整個(gè)截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形的長邊的中點(diǎn)，圖所示，整個(gè)截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形的長邊的中點(diǎn)，短邊上最大切應(yīng)力也發(fā)生在短邊的中點(diǎn)。短邊上最大切應(yīng)力也發(fā)生在短邊的中點(diǎn)。2maxhbTmax1、是和是和h/b有關(guān)的系數(shù)，見表有關(guān)的系數(shù)，見表3.2(3.26)(3.27)4、薄壁桿件與實(shí)體桿件在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的差別：薄壁桿件與實(shí)體桿件在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的差別： 薄壁桿件（如工字鋼、槽鋼等）在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)正應(yīng)力相當(dāng)薄壁桿件（如工字鋼、槽鋼等）在約束扭轉(zhuǎn)時(shí)正應(yīng)力相當(dāng)大大，而實(shí)體桿件（如矩形、橢圓形桿件）因約束扭轉(zhuǎn)而引起的，而實(shí)體桿件（如矩形、橢圓形桿件）因約束扭轉(zhuǎn)而引起的正應(yīng)力極小，與

51、自由扭轉(zhuǎn)并不太大差別?；谶@個(gè)原因，我們正應(yīng)力極小，與自由扭轉(zhuǎn)并不太大差別?；谶@個(gè)原因，我們在實(shí)際工作中處理具體問題時(shí)，應(yīng)該劃清主次。在實(shí)際工作中處理具體問題時(shí)，應(yīng)該劃清主次。 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，它的橫截面上剪應(yīng)力的分布情況大致如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，它的橫截面上剪應(yīng)力的分布情況大致如圖所示，整個(gè)截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形的長邊的中點(diǎn)，圖所示，整個(gè)截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形的長邊的中點(diǎn)，短邊上最大切應(yīng)力也發(fā)生在短邊的中點(diǎn)。短邊上最大切應(yīng)力也發(fā)生在短邊的中點(diǎn)。tGITLhbGTL3、和和是和是和h/b有關(guān)的系數(shù)，見表有關(guān)的系數(shù)，見表3.2扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算(3.28)受力特點(diǎn)受力特點(diǎn) 變

52、形特征變形特征扭矩的符號規(guī)定和扭矩圖扭矩的符號規(guī)定和扭矩圖圓截面等直桿圓截面等直桿扭轉(zhuǎn)的基本概念扭轉(zhuǎn)的基本概念已知力、力臂、或功率、轉(zhuǎn)速求力偶矩已知力、力臂、或功率、轉(zhuǎn)速求力偶矩nPMe954922rMe)1 (2EG外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面右手螺旋法則右手螺旋法則 控制面和突變關(guān)系控制面和突變關(guān)系純剪切純剪切薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律解釋不同的破壞現(xiàn)象解釋不同的破壞現(xiàn)象圓扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件maxmaxtWT抗扭截面系數(shù)抗扭截

53、面系數(shù))(16234實(shí)心軸DRRIWptG剪切應(yīng)變能剪切應(yīng)變能G2212180maxmaxpGIT) 12(83maxDddD抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù))()1 (162/32)1 (4344空心軸DDDRIWpt剛度條件剛度條件強(qiáng)度條件和剛度條件的應(yīng)用強(qiáng)度條件和剛度條件的應(yīng)用強(qiáng)度和剛度校核強(qiáng)度和剛度校核截面設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)許可載荷的確定許可載荷的確定注意兩種條件并用注意兩種條件并用矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論圓柱形密圈彈簧的應(yīng)力與變形圓柱形密圈彈簧的應(yīng)力與變形彈簧絲截面上的的應(yīng)力彈簧絲截面上的的應(yīng)力彈簧的變形彈簧的變形4364GdnR矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)2hbTtGITl圓扭轉(zhuǎn)

54、時(shí)的變形圓扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 MeMe 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動(dòng)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動(dòng).扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。第三章第三章 小結(jié)小結(jié)（1）聯(lián)系扭轉(zhuǎn)變形來規(guī)定扭矩符號：桿因扭轉(zhuǎn)使某一段內(nèi)的縱）聯(lián)系扭轉(zhuǎn)變形來規(guī)定扭矩符號：桿因扭轉(zhuǎn)使某一段內(nèi)的縱向母線有變成右手螺旋的趨勢時(shí)，則該截面上的扭矩為正，反向母線有變成右手螺旋的趨勢時(shí)，則該截面上的扭矩為正，反之為負(fù)。之為負(fù)。（2）右手螺旋法則：若按右手螺旋法則把）右手螺旋法則：若按右手螺旋法則把Me表示為矢量，當(dāng)矢表示為矢量，當(dāng)矢量方向與截面的外法線方向一致時(shí)，為正，反之為負(fù)。量方向與截面的外法線方向一致時(shí)，為正，反之為負(fù)。 正、負(fù)號的規(guī)定：正、負(fù)號的規(guī)定：右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)?正正