一元二次方程與實(shí)際問題(2)

1、第 講 解一元二次方程【課前熱身】1方程的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是.2關(guān)于x的一元二次方程中，則一次項(xiàng)系數(shù)是.3一元二次方程的根是.4某地2005年外貿(mào)收入為2.5億元，2007年外貿(mào)收入達(dá)到了4億元，若平均每年的增長率為x，則可以列出方程為.5. 關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為1，則實(shí)數(shù)=（）AB或CD6古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為_尺，長為_尺，根據(jù)題意，得_ 整理、化簡，得：_知識(shí)點(diǎn)：1

2、、一元二次方程的概念 2、熟練掌握直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法3、判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系。重難點(diǎn) 1選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?2根與系數(shù)的關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的意義1一元二次方程：在整式方程中，只含個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次項(xiàng)，叫做一次項(xiàng)，叫做常數(shù)項(xiàng)；叫做二次項(xiàng)的系數(shù)， 叫做一次項(xiàng)的系數(shù).注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào).【典型例題】1:判斷下列方程是否為一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2)x2=4 (3)3x2-=0 (4)x2-

3、4=(x+2)2(5) ax2+bx+c=02將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)3求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程4.8個(gè)隊(duì)踢循環(huán)賽，每兩個(gè)隊(duì)踢一場，共需踢多少場比賽？（甲隊(duì)和乙隊(duì)踢是否重復(fù)）5.九年級(jí)2班共56人，畢業(yè)以互送照片作為紀(jì)念，問共送多少照片？【鞏固練習(xí)】1.下列方程中，肯定是一元二次方程的是（ ）A. B.C. D.2.已知是一元二次方程的一個(gè)解，則的值是（ ）A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或-1.3 將方程（x+1）2+（x-2）（x

4、+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)4關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是_知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程的常用解法：共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”【易錯(cuò)知識(shí)辨析】：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).（一） 直接開平方法：由應(yīng)用直接開平方法解形如

5、x2=p（p0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無解?！镜淅觥?：解方程：(1)(2x-1)2=5 (2)x2+6x+9=2 (3)x2-2x+4=-12如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_3解關(guān)于x的方程（x+m）2=n4.如圖，在ABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后PBQ的面積等于8cm2？

6、【鞏固練習(xí)】1若8x2-16=0，則x的值是_2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是_3.市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率（二）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)，配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，化原方程為的形式，如果是非負(fù)數(shù)，即，就可以用直接開平方求出方程的解.如果n0，則原方程無解.【典例精析】用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 分析：因?yàn)槿绻归_（6x+7）2，那么方程就變得

7、很復(fù)雜，如果把（6x+7）看為一個(gè)數(shù)y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法2如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值補(bǔ)充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則求x+y+z的值（2）求證：無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是正數(shù)【鞏固練習(xí)】若x、y、z是ABC的三條邊，而且x2+y2+z2+50=6x+8b+10c，判斷三角形的形狀。（三）公式法：一元二次方程的求根公式是.問題：已知ax2+bx+c=0（a0），試推導(dǎo)它的兩個(gè)

8、根x1=，x2=(這個(gè)方程一定有解嗎?什么情況下有解？) 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去 解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2=4a2>0，,當(dāng)b2-4ac0時(shí)0（x+）2=()2 直接開平方，得：x+=± 即x=x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，將a、b

9、、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。) （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【典例精析】用公式法解下列方程（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2【鞏固練習(xí)】（1）（x-2）（3x-5）=0 （2）4x2-3x+1=0【典例精析】設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）

10、+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值（四）因式分解法：因式分解法的一般步驟是：將方程的右邊化為；將方程的左邊化成兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式都等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.（一移、二分、三化、四解）【典型例題】如圖，在RtACB中，C=90°，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 分析：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半，PCQ也是直角三角形根據(jù)已知列出等式 解：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtACB面積

11、的一半 根據(jù)題意，得：（8-x）（6-x）=××8×6 整理，得：x2-14x+24=0【典例精析】1用因式分解法解下列方程 （1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3） （4）x2-12x+35=0【鞏固練習(xí)】（1）x2-12x-28=0 （2） （3）x2-3x-4=0 （4）x2-7x+6=0 【典型例題】1已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長2（拓展提高）已知：，求代數(shù)式的值。歸納小結(jié) （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用 （2）三種方法（配方法、公式法、因式分解

12、法）的聯(lián)系與區(qū)別： 聯(lián)系降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次公式法是由配方法推導(dǎo)而得到配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程 區(qū)別：配方法要先配方，再開方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0知識(shí)點(diǎn)三、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（一）判別一元二次方程根的情況（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即x1=，x2= （2）當(dāng)b-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根即x1=x2= （3）當(dāng)b

13、2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）沒有實(shí)數(shù)根【典型例題】不解方程，判定方程根的情況方程b2-4ac的值b2-4ac的符號(hào)x1、x2的關(guān)系（填相等、不等或不存在）2x2-3x=03x2-2x+1=04x2+x+1=0 （1）16x2+8x=-3 （2）x（2x-4）=5-8x （3）（5）x2-x-=0 （4）x2-7x-18=0【鞏固練習(xí)】不解方程，判定方程根的情況（1）x2-x-=0 （2）4x2-6x=0（3）x（2x-4）=5-8x （4） 9x2+6x+1=0【典型例題】根與系數(shù)的關(guān)系ax2+bx+c=0x1=，x2= =1（2010廣東廣州，19，10分

14、）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值。2.若關(guān)于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實(shí)數(shù)解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）3.已知關(guān)于x的二次方程的兩根之比為2：3，求證：【鞏固練習(xí)】1.設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，且=2，求m的值。2.方程中的兩根之差的絕對值等于1，求p的值?！具^關(guān)檢測】1方程 (5x2) (x7)9 (x7)的解是_.2已知2是關(guān)于x的方程x22 a0的一個(gè)解，則2a1的值是_.3關(guān)于的方程有一個(gè)根是，則關(guān)于的方程的解為_.4下列方程中是一元二次方程的有（ ）9 x2=7 x =8 3y(y-1)=y(3y+1) x2-

15、2y+6=0( x2+1)=-x-1=0A B. C. D. 5. 一元二次方程(4x1)(2x3)5x21化成一般形式ax2bxc0(a0)后a,b,c的值為A3，10，4 B. 3，12，2 C. 8，10，2 D. 8，12，46一元二次方程2x2(m1)x1x(x1) 化成一般形式后二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)為1，則m的值為（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 27若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ）Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-28方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C±3 D無實(shí)數(shù)根9用配方法解方程x2-x+1=